Содержание
- 2. Определение числового ряда Рассмотрим некоторую числовую последовательность . Составим из членов этой последовательности бесконечную сумму Определение.
- 3. Понятие сходящегося ряда Опр. Конечные суммы , называются частичными суммами ряда (1). Опр. Если существует конечный
- 4. Пример сходящегося ряда Показать, что ряд сходится и найти его сумму. Общий член ряда . Тогда
- 5. Свойства сходящихся рядов 1) Сходящиеся ряды можно почленно складывать, т.е. . 2) Постоянный множитель можно вынести
- 6. Свойства сходящихся рядов От сходящегося ряда можно отбросить конечное число членов или наоборот прибавить конечное число
- 7. Примеры Геометрический ряд Известно, что геометрическая прогрессия со знаменателем, меньшим единицы, сходится
- 8. Гармонический ряд Ряд , называется гармоническим. Известно, что гармонический ряд расходится.
- 9. Признаки сходимости ряда Необходимое условие сходимости ряда. Если ряд сходится, то . Если же , то
- 10. Пример расходящегося ряда Пример 1. Ряд расходится, так как .
- 11. Знакоположительные ряды
- 12. Признак сравнения. Пусть даны ряды и . Если ряд с большими членами сходится, то сходится и
- 13. Признак сравнения в предельной форме Если существует конечный и отличный от нуля , то ряды и
- 14. Примеры В качестве рядов для сравнения берут гармонический ряд , который расходится, и ряд или ,о
- 15. Примеры Исследовать на сходимость ряды а) и б) . Найдем предел отношения членов данного ряда и
- 16. Примеры Ряд сравниваем с гармоническим рядом . Так как , то данный ряд расходится вместе с
- 17. Признак Даламбера Если существует конечный то 1)при ряд , где , сходится, 2)при ряд расходится, 3)при
- 18. Примеры Исследовать на сходимость ряд Так как , то и . Так как , то данный
- 19. Признак Коши Если существует конечный то 1) при ряд , где , сходится, 2)при ряд расходится,
- 20. Примеры Ряд исследуем с помощью признака Коши. Вычислим . Тогда и ряд согласно признаку Коши расходится.
- 21. Интегральный признак Пусть члены ряда положительны и при . Пусть функция при имеет значения , положительна,
- 22. Обобщенный гармонический ряд Исследуем ряд . Функция монотонно убывает. Несобственный интеграл = .Ряд расходится при p
- 23. Пример Исследовать на сходимость ряд . Члены ряда положительны и монотонно убывают. Функция , очевидно, также
- 24. Продолжение . Несобственный интеграл, а вместе с ним и числовой ряд расходятся.
- 25. Знакопеременные ряды
- 26. Признак Лейбница Пусть члены знакочередующегося ряда удовлетворяют условиям: 1) и 2) . Тогда знакочередующийся ряд сходится,
- 27. Примеры Исследовать на сходимость ряды: 1) , 2) . 1) члены знакочередующегося ряда монотонно убывают и
- 28. Примеры 2) общий член ряда не стремится к нулю, так как Следовательно, ряд расходится согласно необходимому
- 29. Достаточный признак сходимости знакопеременного ряда Если сходится ряд , то знакопеременный ряд также сходится.
- 30. Абсолютно сходящийся ряд Определение. Если сходится ряд , то знакопеременный ряд называется абсолютно сходящимся.
- 31. Условно сходящийся ряд Определение. Если сходится ряд , а ряд расходится, то знакопеременный ряд называется условно
- 33. Скачать презентацию