Дифференциальное исчисление функции нескольких переменных

Сентябрь 16, 2022

Главная
Математика
Дифференциальное исчисление функции нескольких переменных

Содержание

2. ФУНКЦИЯ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ Случаи функций двух переменных z = f(x, y) и трех переменных (например, распределение
10. ПРЕДЕЛ И НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
12. ЧАСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
13. ЧАСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ Для наглядности, здесь и далее все определения и утверждения будем формулировать для функции 2-х
14. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Предел при Δx → 0 отношения (если он существует и конечен) называется частной производной функции
15. Замечания. 1) Обозначения и надо понимать как целые символы, а не как частное двух величин. Отдельно
16. Соответствие и является функцией, определенной на D1(D2)⊆ D(f). Ее называют частной производной функции z = f(x,y)
18. Фактически, – это обыкновенная производная функции z = f(x,y), рассматриваемой как функция одной переменной x (соответственно
24. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ частных производных функции двух переменных. Пусть функция z = f(x,y) имеет в M0(x0,y0) частную
25. ГРАДИЕНТ
26. ЧАСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ 2-ГО ПОРЯДКА
27. ДИФФЕРЕНЦИАЛ 2-ГО ПОРЯДКА
29. Скачать презентацию

Слайд 2

ФУНКЦИЯ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ
Случаи функций двух переменных z = f(x, y) и

трех переменных (например, распределение

Следовательно, случаи функций двух и трёх переменных – это частные случаи функции многих переменных

Слайд 3

Слайд 4

Слайд 5

Слайд 6

Слайд 7

Слайд 8

Слайд 9

Слайд 10

ПРЕДЕЛ И НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ

Слайд 11

Слайд 12

ЧАСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ

Слайд 13

ЧАСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ
Для наглядности, здесь и далее все определения и

утверждения будем формулировать для функции 2-х (или 3-х) переменных. На случай большего числа неизвестных они обобщаются естественным образом.
Пусть z = f(x,y) , D(z) = D ⊆ xOy ,
Пусть ∀M0(x0,y0)∈D .
Придадим x0 приращение Δx, оставляя значение y0 неизмененным (так, чтобы точка M(x0 + Δx,y0)∈D).
При этом z = f(x,y) получит приращение
Δxz(M0) = f(M) – f(M0) = f(x0 + Δx,y0) – f(x0,y0).
Δxz(M0) называется частным приращением функции
z = f(x,y) по x в точке M0(x0,y0).

Слайд 14

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Предел при Δx → 0 отношения
(если он существует и конечен) называется

частной производной функции z = f(x,y) по переменной x в точке M0(x0,y0).
Обозначают:
или

Слайд 15

Замечания.
1) Обозначения
и
надо понимать как целые символы, а не

как частное двух величин. Отдельно взятые выражения ∂z(x0,y0) и ∂x смысла не имеют.
2) характеризует скорость изменения функции z = f(x,y) по x в точке M0(x0,y0) (физический смысл частной производной по x).
Аналогично определяется частная производная функции z = f(x,y) по переменной y в точке M0(x0,y0):
Обозначают:

Слайд 16

Соответствие
и
является функцией, определенной на D1(D2)⊆ D(f).
Ее называют частной

производной функции z = f(x,y) по переменной x (y) и обозначают
Операция нахождения для функции z = f(x,y) ее частных производных
называется дифференцированием функции z = f(x,y) по переменной x и y соответственно.

Слайд 17

Слайд 18

Фактически, – это обыкновенная производная функции z = f(x,y), рассматриваемой как функция одной

переменной x (соответственно y) при постоянном значении другой переменной.
Поэтому, вычисление частных производных производится по тем же самым правилам, что и для функции одной переменой. При этом, одна из переменных считается константой.

Слайд 19

Слайд 20

Слайд 21

Слайд 22

Слайд 23

Слайд 24

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ частных производных функции двух переменных.
Пусть функция z = f(x,y) имеет

в M0(x0,y0) частную производную по x (y).
Пусть поверхность S – график функции z = f(x,y).
Тогда
где α(β) – угол наклона к оси Ox(Oy) касательной, проведенной в точке P0(x0,y0, f(x0,y0)) к линии пересечения поверхности S и плоскости y = y0 (x = x0).

Слайд 25