Дисперсионный анализ

Сентябрь 14, 2022

Главная
Математика
Дисперсионный анализ

Содержание

2. Постановка проблемы Дисперсионный анализ является статистическим методом анализа результатов наблюдений, зависящих от различных одновременно действующих факторов,
3. Основной целью дисперсионного анализа является исследование значимости различия между средними. Установить различаются ли три группы или
4. Классификация методов дисперсионного анализа По количеству анализируемых признаков Однофакторный (ANOVA) (Анализ различий групп по одному признаку)
5. Классификация методов дисперсионного анализа По принципам анализа Параметрический (Для анализа нормально распределенных признаков в группах) Непараметрический
6. Классификация методов дисперсионного анализа По анализируемым данным Данные, полученные в несвязанных (независимых) выборках (в частности данные
7. Сравнить три или более группы по количественному нормально распределенному признаку В процедуре параметрического анализа вариаций общая
8. 1. Межгрупповая вариация – вариация между средним каждой группы и общим средним значением всей выборки 2.
9. Этапы выполнения: Проверка гипотез о равенстве дисперсий Собственно анализ вариаций Апостериорное сравнение групп с помощью специализированных
10. Происходит проверка нулевой гипотезы об отсутствии различий дисперсий в группах Если результат свидетельствует об отсутствии различия
11. Используется в случае необходимости сопоставить несколько групп по одному количественному или порядковому признаку независимо от вида
12. Мощность - вероятность отвергнуть Н0 в эксперименте, когда Н0 действительно неверна. Мощность
13. Мощность Мощность предполагаемого статистического теста - ключевой элемент планирования исследования «Реальное значение» параметра: Во всей мировой
14. Мощность Нарисуем распределения выборочных средних для μ = 90 и μ = 94 (стандартное отклонение σ
15. Мощность Как увеличить мощность? Большей МОЩНОСТИ критерия способствуют: Большой размер выборки; Большие различия между популяциями (effect
16. Базовая модель Математическая основа базовой модели: SSобщ = SSA + SSB + SSост Где SS –
18. Базовая модель Тогда общее число человек в выборке n = a x b x r
19. Базовая модель В основе лежит все та же основная модель дисперсионного анализа, что и в случае
20. Базовая модель
21. Модель с эффектом взаимодействия Эффект взаимодействия предусматривает то, что дисперсия общего влияния факторов не равна простой
22. Модель с эффектом взаимодействия
23. Модель со случайными эффектами Случайные факторы предусматривают другой подход к вычислению компонентов дисперсии. Если все факторы
24. Модель со случайными эффектами
25. Модель со случайными эффектами Поскольку подход к SSB иной, рассчитывается он тоже по-другому: Если в модели
26. Модель с несколькими эффектами Чем больше факторов в модели, тем сложнее ее расчет и построение. Так,
27. Немного терминологии Уровень (level) – это одно из возможных значений фактора. В англоязычной литературе фактор принято
28. Немного терминологии Полный перекрестный дизайн (Completely crossed design) – каждый уровень каждого фактора встречается в комбинации
29. Простой пример Изучаются 2 фактора, влияющих на сдачу экзамена: Употребление кофе (да/нет) Наличие конспекта (да/нет) Результат
30. Простой пример Основные эффекты:
31. Простой пример Основные эффекты и их взаимодействие
32. Простой пример Основные эффекты и их взаимодействие Эффекты факторов видны по наклону линий на графике (первый
33. Простой пример Единственный основной эффект за счет B (только кофе)
34. Простой пример Единственный основной эффект за счет А (только конспект)
35. Простой пример Оба основных эффекта A и B (кофе и конспект)
36. Однофакторный дисперсионный анализ Рассмотрим оценки различных дисперсий, возникающие при анализе таблицы результатов наблюдений. Для оценки дисперсии,
37. Если , то влияние A – значимо. Сравниваем и устанавливаем наличие влияния фактора A. Однофакторный дисперсионный
38. Двухфакторный дисперсионный анализ Рассмотренный ранее однофакторный дисперси-онный анализ обладает информативностью, не большей, чем методы множественного сравнения
39. Двухфакторный дисперсионный анализ Пусть результаты эксперимента представлены таблицей:
40. Если , то влияние фактора A признается значимым. Двухфакторный дисперсионный анализ Дисперсионный анализ для двухфакторных таблиц
41. Для оценки влияния взаимодействия факторов AB вычисляем дополнительную сумму: Двухфакторный дисперсионный анализ Приведенный анализ предполагает независимость
42. Планирование эксперимента при дисперсионном анализе Дисперсионный анализ тесно связан с соответствующим планированием эксперимента. Удачно спланированный эксперимент,
43. Планирование эксперимента при дисперсионном анализе Такие способы планирования существуют и притом не единственные; согласно Фишеру их
44. Планирование эксперимента при дисперсионном анализе Схема расчетов для латинского квадрата очень похожа на обычный двухфакторный анализ:
46. Скачать презентацию

Слайд 2

Постановка проблемы
Дисперсионный анализ является статистическим методом анализа результатов наблюдений, зависящих от

различных одновременно действующих факторов, с целью выбора наиболее значимых факторов и оценки их влияния на исследуемый процесс.

Методами дисперсионного анализа устанавливается наличие влияния заданного фактора на изучаемый процесс (на выходную переменную процесса) за счёт статистической обработки наблюдаемой совокупности выборочных данных.

Слайд 3

Основной целью дисперсионного анализа является исследование значимости различия между средними.
Установить

различаются ли три группы или более по какому-либо одному количественному признаку
Например определить, зависит ли активность фермента от стадии заболевания

Слайд 4

Классификация методов дисперсионного анализа
По количеству анализируемых признаков
Однофакторный
(ANOVA)
(Анализ различий групп
по

одному признаку)

Многофакторный
(МANOVA)
(Анализ различий групп
Одновременно по двум
признакам и более)

Слайд 5

Классификация методов дисперсионного анализа
По принципам анализа
Параметрический
(Для анализа нормально
распределенных признаков

в группах)

Непараметрический
(для анализа количественного
признака независимо от
вида его распределения
в группах)

Слайд 6

Классификация методов дисперсионного анализа
По анализируемым данным
Данные, полученные в несвязанных
(независимых) выборках

(в частности данные
однократных наблюдении)

Данные, полученные в связанных
(зависимых) выборках (в частности данные
повторных наблюдений)

Слайд 7

Сравнить три или более группы по количественному нормально распределенному признаку
В

процедуре параметрического анализа вариаций общая вариация данных рассматривается как сумма двух видов вариаций:

Параметрический дисперсионный анализ

Слайд 8

1. Межгрупповая вариация – вариация между средним каждой группы и общим

средним значением всей выборки
2. Внутригрупповая вариация – вариация между каждым объектом исследования группы и средним значением соответствующей группы

Параметрический дисперсионный анализ

Слайд 9

Этапы выполнения:
Проверка гипотез о равенстве дисперсий
Собственно анализ вариаций
Апостериорное сравнение групп

с помощью специализированных процедур, отличных от Т-критерия

Параметрический дисперсионный анализ

Слайд 10

Происходит проверка нулевой гипотезы
об отсутствии различий дисперсий в группах
Если

результат свидетельствует об отсутствии различия дисперсий ( р>0,05), то применение параметрического дисперсионного анализа обосновано
Если различие дисперсий имеется ( р<0,05), то применять параметрический дисперсионный анализ не следует

Проверка гипотез о равенстве дисперсий ( тест Левена )

Слайд 11

Используется в случае необходимости сопоставить несколько групп по одному количественному

или порядковому признаку независимо от вида его распределения в группах

Непараметрические методы исследования независимых групп (м-д Краскела-Уоллиса, медианный тест)

Слайд 12

Мощность - вероятность отвергнуть Н0 в эксперименте, когда Н0 действительно неверна.
Мощность

Слайд 13

Мощность
Мощность предполагаемого статистического теста - ключевой элемент планирования исследования
«Реальное значение» параметра:
Во

всей мировой популяции землероек μ = 90 г.
Пусть «реальное значение» средней массы в заповеднике = 94 г.

Слайд 14

Мощность
Нарисуем распределения выборочных средних для μ = 90 и μ =

94 (стандартное отклонение σ = 20).

Размер выборки n = 25 зверей

Слайд 15

Мощность
Как увеличить мощность?
Большей МОЩНОСТИ критерия способствуют:
Большой размер выборки;
Большие различия между популяциями

(effect size);
Маленькое стандартное отклонение;
Большой уровень значимости (α=0.05 а не α=0.01);
Выбор одностороннего теста вместо двустороннего

Слайд 16

Базовая модель
Математическая основа базовой модели:
SSобщ = SSA + SSB + SSост
Где

SS – это сумма квадратов отклонений от среднего.
Рассмотрим случай, когда комбинация определенных значений A и B встречается у равного количества человек r, число возможных значений B равно b и число возможных значений A равно a. (сбалансированная модель).

Слайд 17

Слайд 18

Базовая модель
Тогда общее число человек в выборке
n = a x

b x r

Слайд 19

Базовая модель
В основе лежит все та же основная модель дисперсионного анализа,

что и в случае однофакторной статистики, только теперь мы изучаем действие двух или более факторов:
x = m + α + β + … + ε

Слайд 20

Базовая модель

Слайд 21

Модель с эффектом взаимодействия
Эффект взаимодействия предусматривает то, что дисперсия общего влияния

факторов не равна простой сумме их дисперсий:
SSобщ = SSA + SSB + SSAB + SSост
Вводится еще один компонент – взаимодействие A и B.

Слайд 22

Модель с эффектом взаимодействия

Слайд 23

Модель со случайными эффектами
Случайные факторы предусматривают другой подход к вычислению компонентов

дисперсии. Если все факторы случайны, то в модели
x = m + a + b + e
при справедливости нулевой гипотезы a, b и e распределены нормально со средним = 0 и разными дисперсиями.

Слайд 24

Модель со случайными эффектами

Слайд 25

Модель со случайными эффектами
Поскольку подход к SSB иной, рассчитывается он тоже

по-другому:
Если в модели со случайными эффектами есть взаимодействия, их дисперсия считается так же, как и в модели постоянных эффектов.

Слайд 26

Модель с несколькими эффектами
Чем больше факторов в модели, тем сложнее ее

расчет и построение.
Так, например, если в модели три фактора, то оценка влияния одного фактора на модель в целом можно провести только после исключения его взаимодействия с другими факторами:
MSABC / MSост – взаимодействие всех факторов
MSAB / MSABC - взаимодействие двух факторов
MSAС / MSABC - взаимодействие двух факторов

Слайд 27

Немного терминологии
Уровень (level) – это одно из возможных значений фактора. В

англоязычной литературе фактор принято обозначать в виде его номера и количества уровней: 2x2, 3x4 и т.п.
Ячейка/гнездо (cell) – это группа значений при заданной комбинации факторов (например, ячейка A=1, B=2, C=10)

Слайд 28

Немного терминологии
Полный перекрестный дизайн (Completely crossed design) – каждый уровень каждого

фактора встречается в комбинации со всеми уровнями остальных факторов.
Сбалансированный дизайн (balanced design) - в каждой ячейке равное количество значений.
Ортогональный дизайн (orthogonal design) – сбалансированный, полный перекрестный дизайн при условии случайной выборки.

Слайд 29

Простой пример
Изучаются 2 фактора, влияющих на сдачу экзамена:
Употребление кофе (да/нет)
Наличие конспекта

(да/нет)
Результат оценивается в количестве правильных ответов на вопросы единого междисциплинарного теста.

Слайд 30

Простой пример
Основные эффекты:

Слайд 31

Простой пример
Основные эффекты и их взаимодействие

Слайд 32

Простой пример
Основные эффекты и их взаимодействие
Эффекты факторов видны по наклону линий

на графике (первый эффект) и точках пересечения линий с вертикальной осью (второй эффект)
Взаимодействие факторов проявляется в виде нарушения параллельности линий на графике.

Слайд 33

Простой пример Единственный основной эффект за счет B (только кофе)

Слайд 34

Простой пример Единственный основной эффект за счет А (только конспект)

Слайд 35

Простой пример Оба основных эффекта A и B (кофе и конспект)

Слайд 36

Однофакторный дисперсионный анализ
Рассмотрим оценки различных дисперсий, возникающие при анализе таблицы результатов

наблюдений. Для оценки дисперсии, характеризующей изменение данных на уровне Ai (по строкам таблицы), имеем:

Из предпосылок дисперсионного анализа следует, что должно иметь место равенство всех дисперсий. При выполнении этого условия находим оценку дисперсии, характеризующей рассеяние значений xij вне влияния фактора A, по формуле:

Слайд 37

Если , то влияние A – значимо.
Сравниваем и устанавливаем наличие влияния

фактора A.

Однофакторный дисперсионный анализ

Для упрощения вычислений приведем алгоритм их выполнения. Вычисляем последовательно суммы:

Слайд 38

Двухфакторный дисперсионный анализ
Рассмотренный ранее однофакторный дисперси-онный анализ обладает информативностью, не большей,

чем методы множественного сравнения средних. Информативность дисперсионного анализа возрастает при одновременном изучении влияния нескольких факторов.

Рассмотрим случай, когда анализируется влияние одновременно двух факторов A и B.

Слайд 39

Двухфакторный дисперсионный анализ
Пусть результаты эксперимента представлены таблицей:

Слайд 40

Если , то влияние фактора A признается значимым.
Двухфакторный дисперсионный анализ
Дисперсионный анализ

для двухфакторных таблиц проводится в следующей последовательности. Вычисляются суммы:

Далее находятся оценки дисперсий:

Если , то влияние фактора B признается значимым.

Слайд 41

Для оценки влияния взаимодействия факторов AB вычисляем дополнительную сумму:
Двухфакторный дисперсионный анализ
Приведенный

анализ предполагает независимость факторов A и B. Если они зависимы, то взаимодействие факторов C=AB также является фактором, которому соответствует своя дисперсия. Для того чтобы выделить такое взаимодействие, необходимы параллельные наблюдения в каждой клетке таблицы, т.е. при каждом сочетании факторов A и B на уровнях Ai и Bj соответственно необходимо не одно наблюдение, а серия наблюдений.

Далее анализ проводится, как и ранее, с той лишь разницей, что в клетках таблицы вместо отдельных значений используется их средние значения. Вычисляется оценка дисперсии и проверяется значимость взаимодействия факторов:

Слайд 42

Планирование эксперимента при дисперсионном анализе
Дисперсионный анализ тесно связан с соответствующим планированием

эксперимента. Удачно спланированный эксперимент, выявляя все необходимые эффекты, оказывается всегда либо более точным, либо менее трудоемким по сравнению с непродуманным экспериментом.

Если на результат эксперимента действуют одновременно несколько факторов, то наилучший эффект дает одновременный дисперсионный анализ всех этих факторов (многофакторный анализ).

Методы дисперсионного анализа позволяют исследовать и такой случай, когда некоторые сочетания уровней пропущены. Такой эксперимент называется дробным факторным экспериментом (ДФЭ). Планирование при ДФЭ приобретает особо важную роль, ибо пропущенные сочетания уровней не так-то просто нейтрализовать.

Слайд 43

Планирование эксперимента при дисперсионном анализе
Такие способы планирования существуют и притом не

единственные; согласно Фишеру их называют латинскими квадратами. Эти расположения приводятся в специальных справочниках; для примера приведен один вид такого квадрата:

Слайд 44

Планирование эксперимента при дисперсионном анализе
Схема расчетов для латинского квадрата очень похожа

на обычный двухфакторный анализ:

Находим сумму квадратов по столбцам, деленную на число наблюдений в столбце:

Находим сумму квадратов итогов по строкам, деленную на число наблюдений в строке:

Находим квадрат общего итога, деленный на число всех наблюдений:

Находим сумму квадратов итогов по уровням фактора C, деленную на число уровней:

Дисперсионный анализ

Содержание

Постановка проблемыДисперсионный анализ является статистическим методом анализа результатов наблюдений, зависящих от

Основной целью дисперсионного анализа является исследование значимости различия между средними. Установить

Классификация методов дисперсионного анализаПо количеству анализируемых признаковОднофакторный (ANOVA)(Анализ различий групп по

Классификация методов дисперсионного анализаПо принципам анализаПараметрический (Для анализа нормально распределенных признаков

Классификация методов дисперсионного анализаПо анализируемым даннымДанные, полученные в несвязанных (независимых) выборках

Сравнить три или более группы по количественному нормально распределенному признаку В

1. Межгрупповая вариация – вариация между средним каждой группы и общим

Этапы выполнения:Проверка гипотез о равенстве дисперсийСобственно анализ вариаций Апостериорное сравнение групп

Происходит проверка нулевой гипотезы об отсутствии различий дисперсий в группахЕсли

Используется в случае необходимости сопоставить несколько групп по одному количественному

Мощность - вероятность отвергнуть Н0 в эксперименте, когда Н0 действительно неверна.Мощность

МощностьМощность предполагаемого статистического теста - ключевой элемент планирования исследования«Реальное значение» параметра:Во

МощностьНарисуем распределения выборочных средних для μ = 90 и μ =

МощностьКак увеличить мощность?Большей МОЩНОСТИ критерия способствуют:Большой размер выборки;Большие различия между популяциями

Базовая модельМатематическая основа базовой модели:SSобщ = SSA + SSB + SSостГде

Базовая модельТогда общее число человек в выборке n = a x

Базовая модельВ основе лежит все та же основная модель дисперсионного анализа,

Базовая модель

Модель с эффектом взаимодействияЭффект взаимодействия предусматривает то, что дисперсия общего влияния

Модель с эффектом взаимодействия

Модель со случайными эффектамиСлучайные факторы предусматривают другой подход к вычислению компонентов

Модель со случайными эффектами

Модель со случайными эффектамиПоскольку подход к SSB иной, рассчитывается он тоже

Модель с несколькими эффектамиЧем больше факторов в модели, тем сложнее ее

Немного терминологииУровень (level) – это одно из возможных значений фактора. В

Немного терминологииПолный перекрестный дизайн (Completely crossed design) – каждый уровень каждого

Простой примерИзучаются 2 фактора, влияющих на сдачу экзамена:Употребление кофе (да/нет)Наличие конспекта

Простой примерОсновные эффекты:

Простой примерОсновные эффекты и их взаимодействие

Простой примерОсновные эффекты и их взаимодействиеЭффекты факторов видны по наклону линий

Простой пример Единственный основной эффект за счет B (только кофе)

Простой пример Единственный основной эффект за счет А (только конспект)

Простой пример Оба основных эффекта A и B (кофе и конспект)

Однофакторный дисперсионный анализРассмотрим оценки различных дисперсий, возникающие при анализе таблицы результатов

Если , то влияние A – значимо.Сравниваем и устанавливаем наличие влияния

Двухфакторный дисперсионный анализРассмотренный ранее однофакторный дисперси-онный анализ обладает информативностью, не большей,

Двухфакторный дисперсионный анализПусть результаты эксперимента представлены таблицей:

Если , то влияние фактора A признается значимым.Двухфакторный дисперсионный анализДисперсионный анализ

Для оценки влияния взаимодействия факторов AB вычисляем дополнительную сумму:Двухфакторный дисперсионный анализПриведенный

Планирование эксперимента при дисперсионном анализеДисперсионный анализ тесно связан с соответствующим планированием

Планирование эксперимента при дисперсионном анализеТакие способы планирования существуют и притом не

Планирование эксперимента при дисперсионном анализеСхема расчетов для латинского квадрата очень похожа

Похожие презентации

Постановка проблемы
Дисперсионный анализ является статистическим методом анализа результатов наблюдений, зависящих от

Основной целью дисперсионного анализа является исследование значимости различия между средними.
Установить

Классификация методов дисперсионного анализа
По количеству анализируемых признаков
Однофакторный
(ANOVA)
(Анализ различий групп
по

Классификация методов дисперсионного анализа
По принципам анализа
Параметрический
(Для анализа нормально
распределенных признаков

Классификация методов дисперсионного анализа
По анализируемым данным
Данные, полученные в несвязанных
(независимых) выборках

Сравнить три или более группы по количественному нормально распределенному признаку
В

Этапы выполнения:
Проверка гипотез о равенстве дисперсий
Собственно анализ вариаций
Апостериорное сравнение групп

Происходит проверка нулевой гипотезы
об отсутствии различий дисперсий в группах
Если

Мощность - вероятность отвергнуть Н0 в эксперименте, когда Н0 действительно неверна.
Мощность

Мощность
Мощность предполагаемого статистического теста - ключевой элемент планирования исследования
«Реальное значение» параметра:
Во

Мощность
Нарисуем распределения выборочных средних для μ = 90 и μ =

Мощность
Как увеличить мощность?
Большей МОЩНОСТИ критерия способствуют:
Большой размер выборки;
Большие различия между популяциями

Базовая модель
Математическая основа базовой модели:
SSобщ = SSA + SSB + SSост
Где

Базовая модель
Тогда общее число человек в выборке
n = a x

Базовая модель
В основе лежит все та же основная модель дисперсионного анализа,

Модель с эффектом взаимодействия
Эффект взаимодействия предусматривает то, что дисперсия общего влияния

Модель со случайными эффектами
Случайные факторы предусматривают другой подход к вычислению компонентов

Модель со случайными эффектами
Поскольку подход к SSB иной, рассчитывается он тоже

Модель с несколькими эффектами
Чем больше факторов в модели, тем сложнее ее

Немного терминологии
Уровень (level) – это одно из возможных значений фактора. В

Немного терминологии
Полный перекрестный дизайн (Completely crossed design) – каждый уровень каждого

Простой пример
Изучаются 2 фактора, влияющих на сдачу экзамена:
Употребление кофе (да/нет)
Наличие конспекта

Простой пример
Основные эффекты:

Простой пример
Основные эффекты и их взаимодействие

Простой пример
Основные эффекты и их взаимодействие
Эффекты факторов видны по наклону линий

Однофакторный дисперсионный анализ
Рассмотрим оценки различных дисперсий, возникающие при анализе таблицы результатов

Если , то влияние A – значимо.
Сравниваем и устанавливаем наличие влияния

Двухфакторный дисперсионный анализ
Рассмотренный ранее однофакторный дисперси-онный анализ обладает информативностью, не большей,

Двухфакторный дисперсионный анализ
Пусть результаты эксперимента представлены таблицей:

Если , то влияние фактора A признается значимым.
Двухфакторный дисперсионный анализ
Дисперсионный анализ

Для оценки влияния взаимодействия факторов AB вычисляем дополнительную сумму:
Двухфакторный дисперсионный анализ
Приведенный

Планирование эксперимента при дисперсионном анализе
Дисперсионный анализ тесно связан с соответствующим планированием

Планирование эксперимента при дисперсионном анализе
Такие способы планирования существуют и притом не

Планирование эксперимента при дисперсионном анализе
Схема расчетов для латинского квадрата очень похожа