Fuggvenyvizsgalat

- társadalmi törvényeknek függvény alakjában
megfogalmazott tulajdonságai felderítését is jelenti.

Általában a következő sorrend szerint végezzük a vizsgálatokat:

I. Az „elemi úton” meghatározható függvényjellemzők

1. Az értelmezési tartomány konkrét felírása (ha nem adták volna meg).

2. A zérushelyek, y tengelypont kiszámolása. (Zérushely: ahol y=0; y tengelypont: ahol x=0.)

3. A folytonosság vizsgálata. Szakadási helyek megadása.

4. Paritás vizsgálat (páros vagy a páratlan függvény, vagy egyik sem).

5. Egyéb elemi jellemzők: periodicitás, ill. más, a függvényutasítás által meghatározott
speciális tulajdonságok vizsgálata.

Példa: végezzük el az

függvény diszkusszióját (vizsgálatát)!

1. Az értelmezési tartomány konkrétan:

U.i.: a nevező nem lehet 0.

A képlet átalakítható:

A g(x) egy pont (x=4) kivételével meg-
egyezik f(x)-szel. Így elegendő a vizs-
gálatot a g(x) függvényen elvégezni.

2. Zérushely (ahol y=0): 2x2=0, azaz x=0.
y tengelypont (ahol x=0, helyettesítés): y=0.

a számlálóban is, ugyan-
úgy első fokon. Ezen helyen a függvénynek megszűntethető szakadása van.

Ez azt jelenti, hogy ha a g(x) függvényt ábrázoljuk, akkor az f(x)-et megkapjuk, annyi eltérés-
sel, hogy az f(x)-nél a 4 helyen „lyuk” van a függvénygörbén.

Az x–3 és az x+3 tényező nincs meg a számlálóban, így az x=3 és az x=–3 helyeken a
függvénynek nem megszűntethető szakadásai vannak.

A függvény másutt folytonos, mert folytonos függvények hányadosa (művelettartás).

4. A g függvény páros, mert g(–x)=g(x). (Az ábrázolásnál ezt az információt jól ki lehet használni.)

5. Egyéb jellemző közvetlenül nem látszik, nem keressük.

II. Helyi szélsőérték, monotonitás vizsgálat

A vizsgálathoz az első és a második deriváltakat használjuk fel:

Helyi szélsőérték ott lehet, ahol g’(x)=0, azaz –36x=0, x=0.

Mivel g”(0)<0, tehát az x=0 pontban van helyi szélsőérték és ez maximum.

Ebben a pontban a függvényérték is 0. Eredményünk írható így is: Pmax(0;0).

Másutt nincs helyi szélsőérték, mert ha lenne, az a deriválásos módszerünk kimutatná.

megszűntethető
szakadási helyek adják.

2. Az adott szakaszon a monotonitást legtöbbször az első derivált előjelével vizsgáljuk:
ha az f’(x)≥0 a szakaszon, akkor az f(x) növekvő, ha pedig f’(x)≤ 0, akkor az f(x) csökkenő.

Így: a ]–∞; –3] intervallumon g’(x)>0, tehát g(x) növekvő.

A [–3; 0] szakaszon g’(x)>0, a g(x) itt is nő.

Elegendő egy konkrét szakaszbeli pontban megvizsgálni a derivált előjelét. Az is belátható,
hogy minden negatív x esetén a g’ pozitív (kivéve az x= –3-at).

A függvény páros volta miatt az y tengelyre szimmetrikusan
minden hasonlóan történik. Az eddig megtalált jellemzőkkel
vázolhatjuk a függvény gráfját:

III. Inflexiós pontok, görbületi szakaszok meghatározása

Ott lehet inflexiós pont („görbületváltási hely”), ahol a második derivált értéke 0.

Akkor van ezen a helyen inflexiós pont, ha a harmadik derivált itt nem 0,

vagy: ha a második derivált ebben a pontban előjelet vált.

Általában az egyszerűbben végrehajtható módszert célszerű választani.

Mivel a második derivált (108x2+324)≠0, ezért a függvénynek nincs inflexiós pontja.

nem megszűntethető sza-
kadási helyek jelölik ki a szakaszhatárokat.

2. Az adott szakaszon a görbületet a második derivált előjele határozza meg: ha az f”(x) ≥ 0,
akkor konvex, ha az f”(x) ≤ 0, akkor konkáv az eredeti függvény az adott szakaszon.

Így: a ]–∞; –3[ intervallumon g”(x)>0, tehát g(x) konvex.

A ]–3; 3[ szakaszon g”(x)<0, azaz g(x) konkáv.

A ]3; ∞ [ intervallumon g”(x)>0, tehát g(x) konvex.

Ez az információ nem mond
ellent az eddig megismert
jellemzőknek.

IV. Határértékek

A határértékeket az ÉT „szélein” vizsgáljuk, azaz általában a + vagy – végtelenben, illet-
ve a nem megszűntethető szakadási helyeken. Esetünkben:

A határérték vizsgálatot a –3-nál és a 3-nál nem kötelező elvégezni, hiszen ha például –3-ig
állandóan nő a (folytonos) függvényünk, akkor itt a baloldali határérték csak végtelen lehet.

V. A függvénygörbe felrajzolása, értékkészlet megadása

Az I–IV. pontbeli információkból jó pontossággal felrajzolható a függvény gráfja.

rajz készítésekor a vázlatunkat pontosítottuk, ehhez a függ-
vénygörbén néhány „hitelesítő” pontot számolunk ki.
Például: P(–4; 2,94), P(–2; –1,6), P(–1; –0,25).

A függvénygörbe az x=4 helyen „lyukas” (szakadási pont).

Az értékkészlet: y >2 és y ≤ 0.

A függvényvizsgálat egyes lépéseit, eredményeit megjeleníthetjük táblázatos formában is,
például így:

Előfordul, hogy egyéb jellemzőkre is
kíváncsiak vagyunk, mint például a függ-
vény aszimptotái, a töréspontbeli bal- és
jobboldali differenciál hányadosok, vagy
egy-egy pontban a bal- és jobboldali foly-
tonosság.

A speciális jellemzőket külön kérésre megadhatjuk, viszont a függvényvizsgálatot a fenti
I–V. pontbeli teendők teljesítésével teljesnek tekinthetjük.

A gyakorlati problémáknál előfordul, hogy a feladathoz rendelt függvény vizsgálatánál
nem kell teljes diszkussziót végeznünk, elegendő általában csak a helyi szélsőértékek,
vagy a görbületek meghatározása.

Az eljárás ilyenkor a bemutatottal lényegében azonos.

úton” meghatározható függvényjellemzők

II. Helyi szélsőérték, monotonitás vizsgálat

III. Inflexiós pontok, görbületi szakaszok meghatározása

IV. Határértékek

V. A függvénygörbe felrajzolása, értékkészlet megadása

Megoldás

I. Értelmezési tartomány lehet: x∈R. Zérushely: x=1. y tengelypont: y=1. Szakadás nincs.

II. Deriválások:

Az f’=0=(x–1)(x+1), azaz:
x1=1 és x2=–1.

Az f’’(–1)<0 ⇒ Pmax(–1;2), és f’’(1)>0 ⇒ Pmin(1;0).

Monotonitási szakaszok:

] –∞;–1]: f’(x)>0 ⇒ f(x) növekvő.

[–1;1]: f’(x)<0 ⇒ f(x) csökkenő.

[1; ∞[: f’(x)>0 ⇒ f(x) növekvő.

III. Görbület, inflexió: ott lehet, ahol f’’(x)=0. Ebből: x3=0,

A görbületi szakaszok:

Az x3, x4, x5 helyek mindegyikénél görbületváltás volt, így mindhárom helyen inflexiós pont van.

IV. Határérték:

V. Értékkészlet, rajz: ÉK: 0≤y≤2.

A vizsgálat egyes lépéseit
táblázatba is foglalhatjuk.

kell „előállítanunk” a fel-
adat szövegéből és csak néhány függvényjellemzőt (általában szélsőértéket) kell számolni.

A függvényjellemzőket a szöveges (gyakorlati) feladatok esetén általában bizonyos induló
feltételek (például a változó csak pozitív szám lehet) mellett keressük.

Így ezeket a feladatokat szokták feltételes szélsőérték feladatoknak is nevezni.
Induló feltételeket nemcsak szöveges feladatokhoz lehet adni.

Példa:

a henger alakú, 1 liter térfogatú testek közül melyik a legkisebb felszínű?

V=1 liter=1 dm3.

A megoldás lépései

1. Eldöntjük, hogy mire keresünk szélsőértéket.

Ez most a henger felszíne.

2. Egyenletet írunk fel a keresett szélsőértékre.

F=2T+P=2r2π+2rπ∙m.

3. Egyváltozóssá tesszük a felvett függvényt.

Az adatok felhasználásával:

Tudjuk: V=T∙m=2r2πm és V=1,

Helyettesítés után:

4. Szélsőérték keresés.

A függvényvizsgálatnál látott módon. Feltétel: r>0.

Ott lehet szélsőérték, ahol F’=0:

Tehát r≈0,542. Mivel F”(0,542)>0, ezért ezen a helyen minimum van.

5. Válasz a szövegben feltett kérdésre.

r≈5,42 cm, m≈10,84 cm, Fmin≈5,54dm2.

egybe az értelmezési tartományon vett
legnagyobb, illetve legkisebb függvényértékekkel, az abszolút (globális) szélsőértékekkel.

Példa:

adjuk meg az

szélsőértékeit a [–2; 2] intervallumon.

Ha elvégeztük a teljes függvényvizsgálatot, akkor a leszűkített értelmezési tartományú függ-
vényre vonatkozó információkat már egyszerű megadni.

A függvény gráfját korábban már felvettük:

A függvény folytonos, így a [–2; 2] intervallumon a legnagyobb
értékét –2-nél veszi fel, értéke itt≈2,3, ami nem helyi szélsőérték.

A legkisebb érték ez esetben a helyi szélsőérték pontban van.

Ha viszont a függvényünket a [–10; 2] szakaszon vizsgálnánk, akkor a legkisebb függvény-
érték már nem x=1-nél lenne, hiszen x=–10-nél y≈– 208,33.

2. Függvényvizsgálat az n-edik deriváltak (n>3) felhasználásával

Példa:

adjuk meg az f(x)=(x–1)4 helyi szélsőértékeit és inflexiós pontjait!

Deriválások, zérushelyek: f’(x)=4(x–1)3, f’(x)=0, xo=1, itt lehet szélsőérték.

f”(x)=12(x–1)2, f”(1)=0. Nincs szélsőérték?

f(x)=(x–1)4, a negyedfokú parabola képe:

A függvénynek
minimuma
van x=0-nál.

A deriválásokkal ilyen esetekben is elvégezhető a vizsgálat.

A szabály: ha a függvény deriváltjai az xo helyen az n-edik deriváltig nullák, de az
n+1-edik derivált ezen a helyen már nem nulla, akkor:

Ha az n páratlan, a függvénynek az xo pontban helyi szélsőértéke van, amelynek
minősége: ha az f(n+1)(xo)>0, akkor minimum, ha az f(n+1)(xo)<0, akkor maximum.

Ha az n páros, akkor a függvénynek az xo pontban inflexiós pontja van.

A példánk megoldása: az f(x) esetén: f ”’(1)=0, de f(4)(x)=24, így f(4)(1)≠0.

Az x=1 pontban tehát f(x)-nek helyi szélsőértéke van és: f(4)(1)>0, így a szélsőérték minimum.

Példa:

keressük a g(x)=(x–2)5 függvény helyi szélsőértékeit és inflexiós pontjait.

Deriválások: g’(x)=5(x–2)4, g”(x)=20(x–2)3, g”’(x)=60(x–2)2, g(4)(x)=120(x–2), g(5)(x)=120.

A negyedik deriválttal bezárólag az x=2 pontban az összes derivált értéke 0.

De az ötödik derivált nem nulla, így a g(x)-nek
az x=2 pontban inflexiós pontja van.

A függvény gráfja hasonlít a harmadfokú függvény
(jobbra 2-vel eltolt) képéhez.

f(x) függvény vizsgálatával analóg.

Tétel:

az f(x; y)-nak ott lehet szélsőértéke, ahol az első parciális deriváltak nullák:

Az egyenletrendszernek Po(xo;yo) legyen a megoldása.

A P0 pontban akkor van szélsőérték, ha a második deriváltakból képezett:

kifejezés a Po(xo; yo) pontban pozitív: D(xo; yo)>0.

A szélsőérték minősége:

van P0-ban.

Ha pedig D(xo; yo)<0, akkor a függvénynek nyeregpontja van a Po pontban.

(Ha D(xo; yo)=0, akkor más, további – nem részletezett – vizsgálatra van szükség.)

A kétváltozós függvény helyi maximuma
a függvénynek megfelelő felületen álta-
lában „hegycsúcs-szerű” kiemelkedés,
a minimum pedig „bemélyedés”.

A nyeregpont szemléletes kifejezés,
egyik irányú síkmetszete a felületnek
maximumot ad az illető pontban,
a másik irányú síkmetszet gráfján
ebben a pontban minimum lesz.

A felület a nyeregpontban
a „ló nyergéhez” hasonló.

f: f(x;y)=sin2xcosy