Кривые на плоскости

Июль 31, 2022

Главная
Математика
Кривые на плоскости

Содержание

2. Задача построения произвольных кривых Линия может быть задана в форме неявного уравнения или в параметрической форме
3. Задача построения произвольных кривых Однако на практике линия обычно задается некоторым множеством точек и задача ее
4. Задача интерполяции На заданном классе функций (например, полиномов указанной степени) ищется функция, обеспечивающая прохождение описываемой ею
5. Сплайны В этом случае широко применяется подход, основанный на использовании полиномов невысокой степени, называемых сплайнами Основная
6. Сплайновое приближение Вместо этого воспроизводится достаточно точное описание отдельных участков этой линии с обеспечением плавного перехода
7. Интерполяционные полиномы Лагранжа Пусть на плоскости задан набор точек (xi, yi), i = 0,1,…,n Кривая, проходящая
8. Недостатки многочлена Лагранжа Многочлен Лагранжа описывает кривую в целом, однако такое описание имеет ряд недостатков: высокая
9. Кубические сплайны Вместо интерполяционных полиномов Лагранжа используют кубические сплайны Кубическим сплайном называется функция S(x), обладающая следующими
10. Кубические сплайны Таким образом, задача сводится к построению n полиномов вида: y = ai3 * x3
11. Кубические сплайны Коэффициенты полиномов определяются системой линейных уравнений, которые получаются из следующих условий: прохождения через каждый
12. Кубические сплайны 2-х дополнительных условий в граничных узлах (например, равенства нулю первых производных) Тем самым, удается
13. Задача аппроксимации Задача заключается в построении гладкой кривой, наилучшим образом приближенной к некоторому множеству точек в
14. Методы аппроксимации Наиболее известные методы аппроксимации: метод наименьших квадратов метод кривых Безье метод B-сплайнов.
15. Метод наименьших квадратов На заданном классе функций (например, полиномов указанной степени) ищется функция, обеспечивающая минимальное значение
16. Аппроксимация полиномом
17. Аппроксимация полиномом
18. Аппроксимация полиномом
19. Кривые Безье Пусть в пространстве или на плоскости задан упорядоченный набор точек, определяемый векторами V0, V1,
20. Кривые Безье Кривой Безье, определяемой массивом V, называется линия задаваемая векторным уравнением где - биномиальные коэффициенты.
21. Свойства кривых Безье Гладкость Линия начинается в точке и заканчивается в точке касаясь при этом отрезков
22. Кубическая кривая Безье При m = 3 получаем кубическую кривую Безье, описываемую векторным параметрическим уравнением Порядок
27. Недостатки кривых Безье Степень функциональных коэффициентов связана с числом точек в заданном наборе При добавлении хотя
28. Составная кубическая кривая Безье В практических вычислениях оказывается удобным пользоваться кривыми, составленными из элементарных кривых Безье,
30. Скачать презентацию

Слайд 2

Задача построения произвольных кривых
Линия может быть задана в форме неявного уравнения

или в параметрической форме
Задача в этом случае сводится к нахождению соответствующих функциональных зависимостей

Слайд 3

Задача построения произвольных кривых
Однако на практике линия обычно задается некоторым множеством

точек и задача ее построения может быть сформулирована одним из двух способов:
как задача интерполяции
как задача аппроксимации

Слайд 4

Задача интерполяции
На заданном классе функций (например, полиномов указанной степени) ищется функция,

обеспечивающая прохождение описываемой ею кривой через заданное множество точек

Слайд 5

Сплайны
В этом случае широко применяется подход, основанный на использовании полиномов невысокой

степени, называемых сплайнами
Основная идея заключается в том, чтобы не пытаться найти функциональные зависимости, которые описывали бы линию в целом

Слайд 6

Сплайновое приближение
Вместо этого воспроизводится достаточно точное описание отдельных участков этой линии

с обеспечением плавного перехода между такими участками
Подобное кусочно-гладкое описание кривой, заданной конечным множеством своих точек, называется ее сплайновым приближением

Слайд 7

Интерполяционные полиномы Лагранжа
Пусть на плоскости задан набор точек (xi, yi), i

= 0,1,…,n
Кривая, проходящая через каждую из этих точек, описывается полиномом n-й степени - многочленом Лагранжа, который имеет вид:

Слайд 8

Недостатки многочлена Лагранжа
Многочлен Лагранжа описывает кривую в целом, однако такое описание

имеет ряд недостатков:
высокая степень полинома приводит к сильным колебаниям интерполирующей функции между узлами интерполяции
интерполирующая функция обладает высокой чувствительностью к узловым значениям
изменение одного из узлов приводит к необходимости пересчета всей функции

Слайд 9

Кубические сплайны
Вместо интерполяционных полиномов Лагранжа используют кубические сплайны
Кубическим сплайном называется функция

S(x), обладающая следующими свойствами:
описываемая ею кривая проходит через каждую точку заданного множества, т.е. S(xi)=yi
на каждом из отрезков [xi, xi+1] функция является многочленом 3-й степени
на всем отрезке [x0, xn] функция имеет непрерывную вторую производную

Слайд 10

Кубические сплайны
Таким образом, задача сводится к построению n полиномов вида:
y =

ai3 * x3 + ai2 * x2 + ai1 * x + ai0, i=1, 2,…,n
Соответственно, потребуется найти 4n коэффициентов aij (i=1,…,n; j=0,1,2,3) этих полиномов

Слайд 11

Кубические сплайны
Коэффициенты полиномов определяются системой линейных уравнений, которые получаются из следующих

условий:
прохождения через каждый из узлов (n+1 условие),
непрерывности функции в промежуточных узлах (n-1 условие),
непрерывности 1-й производной функции в промежуточных узлах (n-1 условие),
непрерывности 2-й производной функции в n-1 промежуточных узлах (n-1 условие),

Слайд 12

Кубические сплайны
2-х дополнительных условий в граничных узлах (например, равенства нулю первых

производных)
Тем самым, удается получить систему 4n линейных уравнений с 4n неизвестными, имеющую при ненулевом детерминанте единственное решение

Слайд 13

Задача аппроксимации
Задача заключается в построении гладкой кривой, наилучшим образом приближенной к

некоторому множеству точек в пространстве или на плоскости

Слайд 14

Методы аппроксимации
Наиболее известные методы аппроксимации:
метод наименьших квадратов
метод кривых Безье
метод B-сплайнов.

Слайд 15

Метод наименьших квадратов
На заданном классе функций (например, полиномов указанной степени) ищется

функция, обеспечивающая минимальное значение суммы квадратов отклонений на некотором множестве точек

Слайд 16

Аппроксимация полиномом

Слайд 17

Аппроксимация полиномом

Слайд 18

Аппроксимация полиномом

Слайд 19

Кривые Безье
Пусть в пространстве или на плоскости задан упорядоченный набор точек,

определяемый векторами V0, V1, … , Vm.
Ломаная V0V1 …Vm называется контрольной ломаной, порожденной массивом V ={ V0, V1, … , Vm }.

Слайд 20

Кривые Безье
Кривой Безье, определяемой массивом V, называется линия задаваемая векторным уравнением

где
- биномиальные коэффициенты.

Слайд 21

Свойства кривых Безье
Гладкость
Линия начинается в точке и заканчивается в точке

касаясь при этом отрезков и контрольной ломаной
Коэффициенты при вершинах Vi являются многочленами Бернштейна; они неотрицательны и их сумма равна 1.

Слайд 22

Кубическая кривая Безье
При m = 3 получаем кубическую кривую Безье, описываемую

векторным параметрическим уравнением
Порядок точек в заданном наборе существенно влияет на вид кривой Безье. что демонстрируется на следующих слайдах.

Слайд 23

Слайд 24

Слайд 25

Слайд 26

Слайд 27

Недостатки кривых Безье
Степень функциональных коэффициентов связана с числом точек в заданном

наборе
При добавлении хотя бы одной точки в набор все коэффициенты должны быть пересчитаны
Изменение хотя бы одной точки приводит к заметному изменению вида всей кривой.

Слайд 28

Составная кубическая кривая Безье
В практических вычислениях оказывается удобным пользоваться кривыми, составленными

из элементарных кривых Безье, как правило кубических. При этом обеспечить гладкость в точках стыковки.
Составная кривая называется G1–непрерывной, если вдоль нее непрерывен единичный вектор касательной и G2–непрерывной, если непрерывен также и вектор кривизны.

Кривые на плоскости

Содержание

Задача построения произвольных кривыхЛиния может быть задана в форме неявного уравнения

Задача построения произвольных кривыхОднако на практике линия обычно задается некоторым множеством

Задача интерполяцииНа заданном классе функций (например, полиномов указанной степени) ищется функция,

СплайныВ этом случае широко применяется подход, основанный на использовании полиномов невысокой

Сплайновое приближениеВместо этого воспроизводится достаточно точное описание отдельных участков этой линии

Интерполяционные полиномы ЛагранжаПусть на плоскости задан набор точек (xi, yi), i

Недостатки многочлена ЛагранжаМногочлен Лагранжа описывает кривую в целом, однако такое описание

Кубические сплайныВместо интерполяционных полиномов Лагранжа используют кубические сплайныКубическим сплайном называется функция

Кубические сплайныТаким образом, задача сводится к построению n полиномов вида: y =

Кубические сплайныКоэффициенты полиномов определяются системой линейных уравнений, которые получаются из следующих

Кубические сплайны2-х дополнительных условий в граничных узлах (например, равенства нулю первых

Задача аппроксимацииЗадача заключается в построении гладкой кривой, наилучшим образом приближенной к

Методы аппроксимацииНаиболее известные методы аппроксимации:метод наименьших квадратовметод кривых Безьеметод B-сплайнов.

Метод наименьших квадратовНа заданном классе функций (например, полиномов указанной степени) ищется

Аппроксимация полиномом

Аппроксимация полиномом

Аппроксимация полиномом

Кривые БезьеПусть в пространстве или на плоскости задан упорядоченный набор точек,

Кривые БезьеКривой Безье, определяемой массивом V, называется линия задаваемая векторным уравнением

Свойства кривых БезьеГладкость Линия начинается в точке и заканчивается в точке

Кубическая кривая БезьеПри m = 3 получаем кубическую кривую Безье, описываемую

Недостатки кривых БезьеСтепень функциональных коэффициентов связана с числом точек в заданном

Составная кубическая кривая БезьеВ практических вычислениях оказывается удобным пользоваться кривыми, составленными

Похожие презентации

Задача построения произвольных кривых
Линия может быть задана в форме неявного уравнения

Задача построения произвольных кривых
Однако на практике линия обычно задается некоторым множеством

Задача интерполяции
На заданном классе функций (например, полиномов указанной степени) ищется функция,

Сплайны
В этом случае широко применяется подход, основанный на использовании полиномов невысокой

Сплайновое приближение
Вместо этого воспроизводится достаточно точное описание отдельных участков этой линии

Интерполяционные полиномы Лагранжа
Пусть на плоскости задан набор точек (xi, yi), i

Недостатки многочлена Лагранжа
Многочлен Лагранжа описывает кривую в целом, однако такое описание

Кубические сплайны
Вместо интерполяционных полиномов Лагранжа используют кубические сплайны
Кубическим сплайном называется функция

Кубические сплайны
Таким образом, задача сводится к построению n полиномов вида:
y =

Кубические сплайны
Коэффициенты полиномов определяются системой линейных уравнений, которые получаются из следующих

Кубические сплайны
2-х дополнительных условий в граничных узлах (например, равенства нулю первых

Задача аппроксимации
Задача заключается в построении гладкой кривой, наилучшим образом приближенной к

Методы аппроксимации
Наиболее известные методы аппроксимации:
метод наименьших квадратов
метод кривых Безье
метод B-сплайнов.

Метод наименьших квадратов
На заданном классе функций (например, полиномов указанной степени) ищется

Кривые Безье
Пусть в пространстве или на плоскости задан упорядоченный набор точек,

Кривые Безье
Кривой Безье, определяемой массивом V, называется линия задаваемая векторным уравнением

Свойства кривых Безье
Гладкость
Линия начинается в точке и заканчивается в точке

Кубическая кривая Безье
При m = 3 получаем кубическую кривую Безье, описываемую

Недостатки кривых Безье
Степень функциональных коэффициентов связана с числом точек в заданном

Составная кубическая кривая Безье
В практических вычислениях оказывается удобным пользоваться кривыми, составленными