Линейная алгебра. Векторы

План лекции

Понятие n-мерного вектора
Действия над векторами и их свойства
Скалярное произведение векторов
Длина

Пространство n-мерных векторов.

Множество столбцов вещественных чисел высоты n:

Действия над n-мерными векторами

Суммой двух векторов  X и Y называется вектор, координаты

Действия над n-мерными векторами

Произведением числа λ и вектора X 
называется вектор, координаты которого равны соответствующим

n-мерное координатное пространство

Множество V n-мерных векторов вместе с введенными выше операциями

Свойства операций над векторами

X+Y=Y+X
(X+Y)+Z=X+(Y+Z)
X+0=X
X+(-X)=0
(λ+μ)X= λX+μX
λ(X+Y)= λX+ λY
(λ μ)X= λ (μX)
1 ∙X=X

Скалярное произведение

Скалярным произведением векторов
называется число

Свойства скалярного произведения

(X,Y)=(Y,X)
(λX,Y)= λ(X,Y)
(X+Y,Z)=(X,Z)+(Y,Z)
(X,X)≥0, причем (X,X)=0 тогда и только тогда, когда

Длина вектора

Длиной (нормой) вектора
называется число

Угол между векторами

Угол между векторами
Для ортогональных векторов (X,Y)=0.

Линейная комбинация векторов. Определение
Линейной комбинацией векторов называют вектор
при некоторых коэффициентах

Линейная зависимость и линейная независимость векторов

Определение
Совокупность векторов называется линейно зависимой (ЛЗС),

Показать, что система столбцов
линейно зависима.
Действительно,
Очевидно, что полученная СЛУ имеет нетривиальные решения.