Множества, операции над множествами. Отображение. Числовые множества и их свойства

подразумевается совокупность тех или иных объектов (элементов множества), объединенных каким-либо признаком или свойством.
Числовыми множествами называют множества, состоящие из чисел.
Множества, как правило, обозначают прописными буквами A, B, C,... , а их элементы – строчными:
a,b,c, … x,y, ... Множество, не содержащее элементов, называется нулевым или пустым и обозначается Ǿ.
Если объект a является элементом множества A, то пишут a ∈ A ; если не является, то a ∉ A .
Множество B является подмножеством множества A, если каждый элемент множества B является элементом множества A; пишут
B ⊂ A (множество B «включено» в множество A).

Ǿ ⊂ A , A ⊂ A
Если A ⊂ B и B ⊂ A , то, очевидно, множества A и B состоят из одних и тех же элементов и они считаются равными A = B
Задать множество – значит указать способ определения (нахождения) его элементов:
1) Перечислить: A = {1, 3, 5}
2) Указать их общее свойство: A = {x | P(x)} – множество элементов x, обладающих свойством P(x) . Например:
A={x | x = 2k, k = 1,2,3, ...} – множество четных чисел.
Общее свойство может быть указано и не формально: B – множество солнечных дней в году.
Различают конечные и бесконечные множества. В первом случае их элементы можно перечислить (хотя их и очень много, например множество молекул в 1 кг вещества), во втором – нельзя перечислить, например N – множество натуральных чисел.

такое, что для любого x ∈ X выполняется неравенство x ≤ k (x ≥ k) . Число k в этом случае называется верхней (нижней) гранью множества X .
Множества, ограниченные сверху и снизу, называются ограниченными.
Любой конечный промежуток ограничен; интервалы (a,+ ∞) и (−∞,b) представляют собой множества, ограниченные соответственно снизу и сверху. Вся числовая прямая не ограничена ни сверху, ни снизу.
Объединением двух множеств A и B называется множество C, любой элемент которого принадлежит хотя бы одному из множеств A или B; пишут C = A U B
Пересечением двух множеств A и B называется такое множество С, элементы которого принадлежат одновременно и множеству A и множеству B; пишут C = A ∩ B .
Разностью двух множеств A и B называют множество С, элементы которого принадлежат множеству A и при этом не принадлежат множеству B: пишут C = A \ B .
Если B ⊂ A , то множество D = A \ B называют дополнением множества B до множества A.

⊂ R , то декартовым произведением множеств A и B называют множество всевозможных пар (a,b) элементов a ∈ A и b∈ B ; пишут A x B
Пример. R1 – множество точек оси абсцисс ПДСК, R2 – множество точек оси ординат, тогда R1 x R2 − (x, y) – множество точек координатной плоскости.
Использование логической символики для записи математических выражений.
«любое x из множества X» записывать ∀x ∈ X
«существует элемент x из множества X » записывать ∃x ∈ X

связки, соответствующей союзу «если …, то»)
P ⇒ Q – «если P , то Q », или «для того, чтобы P , необходимо, чтобы Q », или «для того, чтобы Q , достаточно, чтобы P »;
Эквиваленция (равносильность) P ⇔ Q – если P , то Q и обратно», или «для того чтобы P , необходимо и достаточно, чтобы Q».
Отображение – одно из основных понятий математики. Пусть A и B – непустые множества. Если каждому x∈A по закону f ставится в соответствие один, определенный элемент y ∈ B , то имеет место отображение A в B .
f
Обозначают f : A → B или A → B ; y = f (x) – образ элемента x , x – прообраз элемента y . Множество всех y ∈ B (в которые переходят x ∈ A ) называется множеством значений отображения f и обозначается f (A) , f (A) ⊆ B . Если при этом каждому y ∈ B соответствует x ∈ A , то говорят, что A отображается на B .

≠ y2 (x1, x2 ∈ A; y1, y2 ∈ B). Для каждого образа (y) – единственный прообраз (x).
Множество действительных (вещественных) чисел состоит из рациональных и иррациональных чисел.
Всякое рациональное число либо является целым, либо представляет собой конечную или периодическую бесконечную десятичную дробь.
Иррациональное число представляет собой бесконечную непериодическую дробь; примеры иррациональных чисел:
π = 3,141592..., e = 2,718282...