Нормальный закон распределения. (Тема 6)

статистики − распределение Гаусса, или нормальное распределение

«Нормальный» можно понимать
как выражение нормы, некоторого стандарта, «образца поведения» СВ

Это так,
и этот ЗР действительно важен
вот почему:

1) Чаще всех в практических задачах («приложениях»)
2) Им часто аппроксимируют другие законы

to be continued

(биномиальный при ∞ числе испытаний)
4) Занимает центральное положение в семействе ЗР
(моделей распределений), центр симметрии (А, Е = 0)

Случайная величина X распределена нормально, когда все ее значения x формируются под суммарным воздействием очень большого числа случайных факторов, эффекты каждого из них малы, сравнимы по величине
и равновероятны по знаку

Часто встречается в связи с тем, что

Примеры:

− распределение выборочного среднего стремится к нормальному, даже если отдельные наблюдения не нормальны

Некоторые характеристики живых организмов подчинены нормальному закону

В производстве и контроле качества − % брака, производительность, размеры деталей …

В сфере финансов, рынка, в деловой практике − отношение «цена / доход», годовая зарплата …

и дисперсия
Это двухпараметрический закон →
если известно, что распределение нормально, знание μ и σ дает полное описание СВ
2) все нормальные СВ отличаются только μ и σ

Используют специальное обозначение нормальных величин − N: μ, σ

!

σ, тем > площадь
под кривой вблизи μ,
> вероятность значений
вблизи центра

У нормальных распределений с разными μ и σ

* колоколообразная
форма кривой,
с точкой перегиба
на расстоянии σ от μ

Общее:
* унимодальные,
высшая ордината
в точке μ = Мо = Ме,
хвосты → 0 в обоих
направлениях
(ПР → 0 при x → ± ∞)
* симметричные,
равноудаленные от μ
меньшие и большие х
имеют равные p

собственный стандарт

Это N: 0, 1 − нормальный закон с μ = 0 и σ = 1

стандартное (или единичное) нормальное распределение

Любое нормальное распределение можно записать
в стандартной форме с помощью нормализованной переменной

Узнаете стандартизованное (единичное) отклонение?
Измеряет в «сигмах» отклонения x от центра распределения

том, что

Из x = σz + μ → f(x) = f(z)/σ , dx = σ dz

F(x) = F(z)

И !

P { X < x} = P{Z < z } = F[z = (x- μ) / σ]

P {x1< X < x2} = F[z2= (x2 - μ)/σ] − F[z1= (x1 -μ)/σ]

!

раз и навсегда рассчитанные значения стандартной нормальной ФР

?

называется интеграл вероятности

есть таблицы значений

Однако,

вместо интеграла вероятности используется
функция Лапласа

обычно при расчете вероятностей значений нормальной величины
в том или ином интервале

функция, Φ(− z) = − Φ(z)

Поскольку F(z) = 0.5 + Φ(z), то

P {x1 < X < x2} = Φ(z2) − Φ(z1)

интервала
равна разности значений функции Лапласа
для нормализованных
верхней и нижней границ этого интервала

Пример

Производительность за смену (Y) распределена нормально, μ = 160 изд., σ = 20.
Экономическая целесообразность требует, чтобы выпускалось не более 200 и не менее 150 шт.

=(150-160)/20=-0.5] =
Φ(2) + Φ(0.5) = 0.4472 + 0.1915 = 0.6687

Это означает, что только 67% производственных ситуаций
отвечают требованиям

Для более надежного
выполнения требований
необходимо:
статистически ? −
увеличить μ, снизить σ !
организационно ???

− с обобщением

Соответствует
заштрихованной площади и равно вероятности
отклонений от μ
не более, чем на δ = 2

?

т.е., вероятности попасть в интервал симметричный относительно μ

(неизвестного истинного, предписанного … значения)
в обоих направлениях не превысит
максимально допустимого δ
равна удвоенному значению функции Лапласа
от «δ / σ стандартных отклонений»

σ = 1 → 2Φ(1) = 0. 6826
68.3% значений величины X оказываются
в интервале (μ - σ, μ + σ)

δ = 2σ → z = 2 → P(⏐X-μ⏐ < δ=2σ) = 0.9545

δ = 3σ
P(⏐X-μ⏐ < δ) = 0.9973

3σ)

Тогда

P(⏐X−μ⏐ > 3σ) = 1 − 0.9973 = 0.0027

только 27 из 10000 можно ожидать дальше от среднего, чем
3σ

Вспомнив про
уровень значимости,
можно считать это невозможным
событием