Основные свойства функций и их графики

Функция. Область определения. Область значений

Пусть X и Y— два множества.
Функция у=f(х)

Если элементами множеств Х и У являются действительные числа, т. е.

Область определения функции f(х) (D(f(х)) – множество X, т.е. всевозможные значения

Пример

1)
Область определения .
Область значений .
2)
Область определения .
Область

График функции

Графиком функции
является множество всех точек
плоскости ,

Способы задания функций одной переменной

Задать функцию ‑ это значит указать множество

2. Графический.

аналитический, который имеет три разновидности:
А) явный способ задания ‑ с помощью

Свойства функций

Возрастание и убывание функций

Монотонные функции — возрастающие, убывающие, неубывающие и невозрастающие.
Промежутки монотонности функции f(х)

Четность и нечетность функции

Пример

1) - четная
2) - нечетная

Периодичность функций

Функция f(х) периодическая — существует такое число (период), что:
1)

Нули функции

Это значения аргумента x, при которых f(х)=0.
Геометрически нули функции

Промежутки знакопостоянства

Промежутки знакопостоянства f(х) –промежутки из , на которых либо

Экстремумы функции

Окрестность точки х0 — любой интервал, содержащий точку х0.

Точки экстремума — точки минимума и максимума.
Минимум f(х) — значение

Пример

Точки х1 и х3 — точки максимума f(х).
Точка х2 —

Свойства функций одной переменной

Четность и нечетность функции.
2. Периодичность функции.
3. Монотонность

Основные элементарные функции :

1) Степенная функция
2) Показательная функция
Логарифмическая функция
Тригонометрические

Графики элементарных функций

Степенная функция

Линейная при

Парабола при

Кубическая парабола при

Обратная пропорциональность

Функция

Показательная функция

Показательная функция у = ех

Показательная функция у = ех,
где е =

График у = ех

Логарифмическая функция

Тригонометрические функции

Обратные тригонометрические функции

Элементарными функциями называются все функции, которые можно получить из основных элементарных

Некоторые элементарные функции:
1) линейная функция
2) квадратичная функция
3) многочлены с

5) иррациональные функции ‑ функции в которых используется операция извлечения корня.
Некоторые

Квадратичная функция

Квадратичной функцией называется функция вида
Область определения функции, т.е. все значения,

График квадратичной функции

Любую квадратичную функцию
можно представить в виде

График функции — парабола.
Вершина параболы —
точка .
Ось симметрии — прямая

Свойства функции и вид ее графика определяются значениями коэффициента а и

Пример. На рисунке приведен график изменения суточной температуры