Построение графиков функций

Содержание

Слайд 2

09.02.2022г. Задание высылать не позднее 16:00 09.02.2022г в личном сообщении в

09.02.2022г.
Задание высылать не позднее 16:00 09.02.2022г в личном сообщении в вк

или на почту SHPAK.IRINA.S@yandex.ru
Перед каждым заданием в тетради пишем ФИО, дата, тема урока
Слайд 3

План построения графика функции с помощью производной Найти область определения функции

План построения графика функции с помощью производной

Найти область определения функции и

определить точки разрыва если они существуют
Выяснить является ли функция четно или нечетной, проверить её на периодичность
Найти точки пересечения графика с осями координат, если это возможно
Найти стационарные и критические точки
Найти точки экстремума функции и промежутки монотонности
Определить промежутки вогнутости, выпуклости и точки перегиба графика функции
Найти координаты ещё нескольких точек (для большей точности)
Слайд 4

Как найти промежутки выпуклости, вогнутости и точку перегиба графика функции Промежутки

Как найти промежутки выпуклости, вогнутости и точку перегиба графика функции

Промежутки выпуклости

и вогнутости кривой можно находить с помощью производной.
Теорема. (признак вогнутости и выпуклости)
Если вторая производная функции у=f(х) в данном промежутке положительна, то кривая вогнута в этом промежутке, а если отрицательна – выпукла в этом промежутке.
Слайд 5

Для нахождения интервалов выпуклости графика функции используют следующий алгоритм: Находят f΄(х),

Для нахождения интервалов выпуклости графика функции используют следующий алгоритм:

Находят f΄(х), а

затем f ΄΄(х)
Находят точки, в которых f ΄΄(х) = 0
Отмечают полученные точки на числовой прямой и получают несколько промежутков области определения функции
Устанавливают знаки второй производной в каждом из полученных промежутков. Если f ΄΄(х) < 0, то на этом промежутке кривая выпукла; если
f ΄΄(х)>0 - вогнута
Слайд 6

Точкой перегиба кривой называется такая точка, которая отделяет выпуклую часть кривой

Точкой перегиба кривой называется такая точка, которая отделяет выпуклую часть

кривой от вогнутой её части.
Точкой перегиба кривой графика функции будут те точки, в которых
f ΄΄(х) = 0 и при переходе через неё вторая производная меняет знак.

0

х0

Слайд 7

Найти интервалы выпуклости и точку перегиба функции Решение. Найдем у΄(х) и

Найти интервалы выпуклости и точку перегиба функции

Решение.
Найдем у΄(х) и у΄΄(х):

у΄(х) = 4х³-12х => у΄΄(х) = 12х²-12=12(х²-1)
Найдём стационарные точки второго порядка,
т.е. у΄΄(х)=0 => 12(х²-1)=0 => х²-1=0 => х²=1
х = ±1
Значит: при х ϵ (-∞; -1) и (1;+ ∞ ) функция вогнута, а при х ϵ (-1:1) – выпукла; точки перегиба х= ±1

1

-1

у΄΄(х)

+

+

-

Слайд 8

Например: исследовать функцию у = 2х³+3х² -1 и построить её график

Например: исследовать функцию у = 2х³+3х² -1 и построить её график

Решение.

D(у)= (-∞; +∞), четность не определена
Найдем стационарные точки:
т.к. у΄=6х²+6х=6х(х+1) => 6х(х+1)=0
тогда х=0 и х=-1 стационарные точки
Найдем точки экстремума:
т.к.
и х=-1 – точка максимума
х= 0 – точка минимума

х

0

-1

f´(x)

+

+

-

f(x)

Слайд 9

Найдем промежутки монотонности: при x ϵ (-∞; -1] и [0; +

Найдем промежутки монотонности:
при x ϵ (-∞; -1] и [0; +

∞) - функция возрастает
при x ϵ [-1; 0] - функция убывает
Найдем точки пересечения графика с осями координат:
если х=0, то у=-1 => (0;-1)
если у=0, то х= -1 => (-1; 0)
Слайд 10

Найдем ещё некоторые точки (контрольные, дополнительные): т.к. х=-1 – точка максимума,

Найдем ещё некоторые точки (контрольные, дополнительные):
т.к. х=-1 – точка максимума,

то уmax=0 => (-1; 0) -точка локального максимума
т.к. х= 0 – точка минимума, уmin=-1
=> (0;-1) -точка локального минимума
если х=1, то у=4 => (1;4)
если х=-2, то у=-5 => (-2;-5)
Удобнее все эти данные заполнять в виде таблицы.
Слайд 11

Составим таблицу: Найдем f ΄΄(х). f΄΄(х) =(6х(х+1))΄=12х+6 = 6(2х+1) f΄΄(х)=0 =>

Составим таблицу:
Найдем f ΄΄(х).
f΄΄(х) =(6х(х+1))΄=12х+6 = 6(2х+1)
f΄΄(х)=0 => 6(2х+1)=0

=> х = -0,5 - точка перегиба
т.к. при х=-1(левее х=-0,5) f΄΄(х) <0,
а при х=-0,1(правее х=-0,5) f΄΄(х) >0
Найдем её координаты: (-0,5; ? ), если это не трудно
Слайд 12

Построим график функции: х у 0 -1 -2 4 1 -5

Построим график
функции:

х

у

0

-1

-2

4

1

-5

Слайд 13

Исследовать функцию и построить её график 1) у = 3х² -

Исследовать функцию и построить её график

1) у = 3х² - х³
2)

у = - 9х + х³
3) у = х³ - 3х² + 2
4) у = - х³ + 6х² - 5
5) у = 3х³ + х² - 8х – 7
6) у = (х)/(1+х²)
Слайд 14

Работа с графиками функций

Работа
с графиками
функций

Слайд 15

№ 1. По графику функции ответьте на вопросы 1) Отметьте стационарные

№ 1. По графику функции ответьте на вопросы

1) Отметьте стационарные точки.
2)

Что можно сказать о производной в точке х2?
3) Назовите точки экстремума.
4) Что можно сказать о производной на (−∞; х2]?
5) Укажите промежутки возрастания функции.
6) Отметьте критические точки
Слайд 16

Проверим ответы 1. х1,х3,х4 2. не существует 3. х2,х3,х4 4. f′(х)

Проверим ответы

1. х1,х3,х4 2. не существует 3. х2,х3,х4 4. f′(х) ≤ 0 5. [х2;

х3]U [х4;+∞)функция возрастает
6. х2
Слайд 17

№ 2. Постройте график непрерывной функции у = f(х), определенной на

№ 2. Постройте график непрерывной функции у = f(х), определенной на

[а;в], удовлетворяющей следующим условиям: а) а=-1, в=4, f΄(х)>0 при -1<х<4, f(1)=0, f(4)=3 б) а=0, в=5, f΄(х)<0 при 0<х<5, f(2)=0, f(3)=-2

График.
а)

-1

1

1

3

4

Слайд 18

б) а=0, в=5, f΄(х) График. 0 -2 3 5 2 1

б) а=0, в=5, f΄(х)<0 при 0<х<5, f(2)=0, f(3)=-2

График.

0

-2

3

5

2

1

Слайд 19

№ 3. По графику производной некоторой функции укажите интервалы, на которых

№ 3. По графику производной некоторой функции укажите интервалы, на которых

функция монотонно возрастает, убывает, имеет максимум, имеет минимум.
Слайд 20

№ 4. На рисунке изображён график производной функции y=f(x). Сколько точек максимума имеет эта функция?

№ 4. На рисунке изображён график производной функции y=f(x). Сколько точек

максимума имеет эта функция?
Слайд 21

№ 5. Дан график производной некоторой функции. Определить промежутки, на которых функция убывает?

№ 5. Дан график производной некоторой функции. Определить промежутки, на которых

функция убывает?
Слайд 22

Верно или не верно ? №1 1. График производной. Точки х=

Верно или не верно ? №1

1. График производной. Точки х=

-1, х=1, х=2 являются точками максимума.
2. Производная функции в точке хо равна 0, значит хо - критическая точка.
3. Производная функции не существует в точке хо, значит хо - критическая точка.
Слайд 23

4. Критическая точка является точкой экстремума. 5. Точка экстремума является критической

4. Критическая точка является точкой экстремума.
5. Точка экстремума является критической

точкой.
6. Функция y(x) непрерывна в точке x=4, причем y' (x)>0 на (1;4) и y'(x)<0 на (4;7). Точка x=4 является точкой минимума.
Слайд 24

№ 2. По данному графику функции определить верно или нет высказывание

№ 2. По данному графику функции определить верно или нет высказывание

0

х

у

Х1

Х2

Х3

Х4

Слайд 25

Точка х1 – точка минимума. Точка х1 – точка перегиба. В

Точка х1 – точка минимума.
Точка х1 – точка перегиба.
В точках х2

и х4 касательная параллельна оси абсцисс
В точке х3 производной не существует.
Точка х4 – точка экстремума
Точка х4 – точка минимума
Точка х4 – стационарная точка
Точка х3 – точка экстремума
Точка х2 – точка максимума

Да

Да

Да

Да

Да

Да

Да

Нет

Нет