Презентация «Cлучайные события, виды событий. Алгебра событий»

Август 29, 2022

Главная
Математика
Презентация «Cлучайные события, виды событий. Алгебра событий»

Содержание

2. Испытания и события. Виды событий. Операции над событиями. Понятие вероятности случайного события. Классическое, статистическое и геометрическое
3. Основная литература. 1. Кремер Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика: учебник для вузов. М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2007.
4. Введение. Одной из важнейших сфер приложения теории вероятностей и математической статистики является экономика. В настоящее время
5. 1.Зарождение теории вероятностей и ее основоположники. Теория вероятностей – это математическая наука , изучающая закономерности случайных
6. Доказанная им теорема, получившая впоследствии название «Закон больших чисел», была первым теоретическим обоснованием накопленных ранее фактов.
7. В этот период теория вероятностей становится стройной математической наукой. Ее последующее развитие обязано в первую очередь
8. 2. Предмет теории вероятностей Предметом теории вероятностей являются закономерности массовых случайных событий, где под массовостью мы
9. Цель теории вероятностей – осуществление прогноза в области случайных явлений, влияние на ход этих явлений, контроль
10. Методы теории вероятностей широко применяются в различных отраслях естествознания и техники: в теории надежности, теории массового
11. Теория вероятностей служит также для обоснования математической и прикладной статистики, которая в свою очередь используется при
12. Первый учебный вопрос. Испытания и события. Полная группа событий. Противоположные события. Опыт, эксперимент, наблюдение явления называется
13. Событиями в наших примерах являются: выпадение герба или решки, попадание в цель или промах, появление того
14. Например, пусть в урне находятся только черные шары. Из урны извлекают один шар. Событие А={извлечен черный
15. Пример 2. Стрелок производит один выстрел по мишени, разделенной на 10 зон. Выстрел- это испытание; попадание
16. Случайным называется событие, которое в результате эксперимента может либо произойти, либо не произойти (в зависимости от
17. Определение. Два события называются совместимыми, если появление одного из них не исключает появление другого в одном
18. Определение. Два события называются несовместимыми, если появление одного из них исключает появление другого в одном и
19. Несовместимость более чем двух событий в испытании означает по определению их попарную несовместимость. Например, несовместимыми являются
20. Примеры. Выигрыш по одному билету денежно – вещевой лотереи двух ценных предметов – события несовместимые, а
21. Определение. Два события A и B называются противоположными, если в данном испытании они несовместимы и одно
22. Несколько событий образуют полную группу, если в результате испытания появится хотя бы одно из них. В
23. 1. Сумма двух и более событий. Суммой событий A и B называется событие A+B, состоящее в
24. Суммой нескольких событий называют событие, которое состоит в появлении хотя бы одного из этих событий. Например,
25. Например, если A- деталь годная, B- деталь окрашенная, то AB- деталь годна и окрашена. Произведением нескольких
26. Разностью событий A и B называется событие C=A-B, происходящее тогда и только тогда, когда происходит событие
28. Равновозможные и единственно возможные события. События называются равновозможными, если нет оснований считать, что одно из них
29. одинаковые шансы выпасть по сравнению с другими. А вот пример неравновозможных исходов: наудачу выбранного человека спрашивают,
30. Второй учебный вопрос Понятие вероятности случайного события. Вероятность события – это численная мера объективной возможности его
31. Третий учебный вопрос Классическое, статистическое и геометрическое определение вероятности. Элементы комбинаторики
32. Вероятность P(A) события A равняется отношению числа случаев m, благоприятствующих событию A, к общему числу всех
33. Из приведенного классического определения вероятности вытекают следующие ее свойства: Вероятность достоверного события равна единице. P(A)=1. Вероятность
34. Статистическое определение вероятности Относительной частотой (статистической вероятностью) события A отношение числа испытаний (наблюдений), в которых появилось
35. Геометрическая вероятность Пусть отрезок является частью отрезка Если на отрезке L yставится точка, то вероятность попадания
36. Элементы комбинаторики Комбинаторика – раздел математики, занимающийся вопросами о том, сколько комбинаций определенного типа можно получить
37. Напомним, что n!=n∙(n-1)∙∙∙∙3∙2∙1; 0!=1. Пример. Сколькими способами можно образом из лучших студентов курса выбрать двоих для
38. Их число определяется по формуле (*). Таким образом, искомое общее число способов будет равно: Перестановки –это
39. Сочетания- это комбинации, которые составлены из n различных элементов по m элементов, отличающиеся хотя бы одним
41. Скачать презентацию

Слайд 2

Испытания и события. Виды событий. Операции над событиями.
Понятие вероятности случайного события.

Классическое, статистическое и геометрическое определение вероятности. Элементы комбинаторики.

Слайд 3

Основная литература.
1. Кремер Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика: учебник

для вузов. М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2007.
2. Общий курс высшей математики для экономистов: учебник / под общей ред. В.И. Ермакова. М.: ИНФРА-М, 2010.
Дополнительная
1. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика: учеб. пособие для вузов. М.: Высш. шк., 2007.

Слайд 4

Введение.
Одной из важнейших сфер приложения теории вероятностей и математической статистики является

экономика. В настоящее время невозможно себе представить исследование и прогнозирование экономических явлений без использования эконометрического моделирования, регрессионного анализа, трендовых и других методов, опирающихся на закономерности, которые изучаются в курсах теории вероятностей и математической статистики.

Слайд 5

1.Зарождение теории вероятностей и ее основоположники.
Теория вероятностей – это математическая

наука , изучающая закономерности случайных событий.
Первые работы, в которых зарождались основные понятия теории вероятностей, представляли собой попытки создания теории азартных игр. Они принадлежали французским ученым Б. Паскалю и П.Ферма и голландскому ученому Х. Гюйгенсу в XVI –XVII вв.
Следующий этап развития теории вероятностей связан с именем Якоба Бернулли (1654-1705).

Слайд 6

Доказанная им теорема, получившая впоследствии название «Закон больших чисел», была первым

теоретическим обоснованием накопленных ранее фактов.
Дальнейшими успехами теория вероятностей обязана Муавру, Лапласу, Гауссу, Пуассону и др.
Новый, наиболее плодотворный период развития теории вероятностей связан с именами П. Л. Чебышева (1821-1894) и А. М. Ляпунова (1857-1918).

Слайд 7

В этот период теория вероятностей становится стройной математической наукой. Ее последующее

развитие обязано в первую очередь русским и советским математикам (С. Н. Бернштейн, В.И. Романовский, А.Н. Колмогоров, Н.Б. Смирнов и др.).

Слайд 8

2. Предмет теории вероятностей
Предметом теории вероятностей являются закономерности массовых случайных

событий, где под массовостью мы понимаем многократную повторяемость.
Примеры случайных событий: появление герба при бросании монеты; попадание в цель при выстреле; выигрыш по билету денежно - вещевой лотереи и т.д.

Слайд 9

Цель теории вероятностей – осуществление прогноза в области случайных явлений, влияние

на ход этих явлений, контроль их, ограничение сферы действия случайности. В настоящее время нет практически ни одной науки, в которой в той или иной степени не применялись бы методы теории вероятностей.

Слайд 10

Методы теории вероятностей широко применяются в различных отраслях естествознания и техники:

в теории надежности, теории массового обслуживания, в теоретической физике, астрономии, геодезии, теории стрельбы, теории ошибок наблюдений, теории автоматического управления, теории связи и во многих других теоретических и прикладных науках.

Слайд 11

Теория вероятностей служит также для обоснования математической и прикладной статистики, которая

в свою очередь используется при планировании и организации производства, при анализе технологических процессов, при предупредительном и приемочном контроле качества продукции и для многих других целей. В последние годы теория вероятностей все шире проникает в различные области науки и техники, способствуя их прогрессу.

Слайд 12

Первый учебный вопрос.
Испытания и события. Полная группа событий. Противоположные события.

Опыт, эксперимент, наблюдение явления называется испытанием. Испытаниями, например, являются: бросание монеты, выстрел из винтовки, бросание игральной кости (кубика с нанесенным на каждую грань числом очков от одного до шести).
Событие – это результат испытания.

Слайд 13

Событиями в наших примерах являются: выпадение герба или решки, попадание

в цель или промах, появление того или иного числа очков на брошенной игральной кости.
Для обозначения событий используются большие буквы латинского алфавита: A, B, C и т.д.
События можно подразделить на достоверные, невозможные и случайные.
Достоверным называется событие, которое обязательно произойдет при испытании.

Слайд 14

Например, пусть в урне находятся только черные шары. Из урны извлекают

один шар. Событие А={извлечен черный шар} является достоверным, так как других шаров в урне нет.
Невозможным называется событие , которое заведомо не произойдет при испытании.
Для предыдущего примера событие B=«извлечен белый шар» является невозможным, так как белых шаров в урне нет.

Слайд 15

Пример 2. Стрелок производит один выстрел по мишени, разделенной на 10

зон. Выстрел- это испытание; попадание в определенную зону, например, в «десятку» – событие; событие, состоящее в том, что мишень либо поражена, либо не поражена- достоверное событие; поражение одним выстрелом сразу трех зон – невозможное событие.

Слайд 16

Случайным называется событие, которое в результате эксперимента может либо произойти, либо

не произойти (в зависимости от случайных обстоятельств).
Например, если брошена монета, то она может упасть так, что сверху будет либо герб, либо решка. Поэтому событие «при бросании монеты выпал герб» - случайное.

Слайд 17

Определение. Два события называются совместимыми, если появление одного из них не

исключает появление другого в одном и том же испытании.
Пример. Испытание: однократное бросание игральной кости. Событие A- появление четырех очков, событие B-появление четного числа очков. События A и B совместимые.

Слайд 18

Определение. Два события называются несовместимыми, если появление одного из них исключает

появление другого в одном и том же испытании.
Пример. Испытание: однократное бросание монеты. Событие A - выпадение герба, событие B - выпадение решки. Эти события несовместимы, так как появление одного из них исключает появление другого.

Слайд 19

Несовместимость более чем двух событий в испытании означает по определению их

попарную несовместимость.
Например, несовместимыми являются события выпадения одного, двух, трех, четырех, пяти и шести очков при одном бросании игральной кости.

Слайд 20

Примеры.
Выигрыш по одному билету денежно – вещевой лотереи двух ценных предметов

– события несовместимые, а выигрыш тех же предметов по двум билетам – события совместимые.
Получение студентом на экзамене по одной дисциплине оценок «отлично», «хорошо» и «удовлетворительно» – события несовместимые, а получение тех же оценок на экзаменах по трем разным дисциплинам – события совместимые.

Слайд 21

Определение. Два события A и B называются противоположными, если в данном

испытании они несовместимы и одно из них обязательно происходит.
Событие, противоположное событию A , обозначают через
Например, «появление герба» и «появление решки» при подбрасывании монеты,
«отсутствие бракованных изделий» и «наличие хотя бы одного бракованного изделия» в партии – события противоположные.

Слайд 22

Несколько событий образуют полную группу, если в результате испытания появится хотя

бы одно из них. В частности , если события, образующие полную группу, попарно несовместимы, то в результате испытания появится одно и только одно из этих событий.
Пример. Стрелок произвел выстрел по мишени. Обязательно произойдет одно из следующих двух событий: попадание или промах. Эти два несовместных события образуют полную группу.

Слайд 23

1. Сумма двух и более событий.
Суммой событий A и B

называется событие A+B, состоящее в наступлении хотя бы одного из них (т.е. или A, или B, или A и B вместе).
Например, если из орудия произведены два выстрела и A – попадание при первом выстреле, B - попадание при втором выстреле, то A+B – попадание при первом выстреле, или при втором, или в обоих выстрелах.

Слайд 24

Суммой нескольких событий называют событие, которое состоит в появлении хотя бы

одного из этих событий. Например, событие A+B+C состоит в появлении одного следующих событий: A, B, C, A и B,A и C,B иС,A и B и C.
Произведение двух и более событий. Диаграммы Эйлера-Венна.
Произведением событий A и B называется событие C=A ·B , состоящее в совместном наступлении этих событий (т.е. и A и B одновременно).

Слайд 25

Например, если A- деталь годная, B- деталь окрашенная, то AB- деталь

годна и окрашена.
Произведением нескольких событий называют событие, состоящее в совместном появлении всех этих событий.
Например, если A,B,C- появление «герба» соответственно в первом, втором и третьем бросаниях монеты, то ABC- выпадение «герба» во всех трех испытаниях.

Слайд 26

Разностью событий A и B называется событие C=A-B, происходящее тогда и

только тогда, когда происходит событие A, но не происходит событие B.

Слайд 27

Слайд 28

Равновозможные и единственно возможные события.
События называются равновозможными, если нет оснований считать,

что одно из них происходит чаще других (т.е. у всех из них одинаковые шансы произойти) и неравновозможными – в противном случае. Например, из соображений симметрии можно считать, что у любой грани однородного (правильного) кубика

Слайд 29

одинаковые шансы выпасть по сравнению с другими.
А вот пример неравновозможных исходов:

наудачу выбранного человека спрашивают, в високосном или невисокосном году он родился. Ясно, что два раза элементарных исхода эксперимента неравновозможны. Исход «Год рождения високосный» имеет примерно в три раза меньше шансов, чем исход «Год рождения невисокосный».

Слайд 30

Второй учебный вопрос
Понятие вероятности случайного события.
Вероятность события – это численная

мера объективной возможности его появления.

Слайд 31

Третий учебный вопрос
Классическое, статистическое и геометрическое определение вероятности. Элементы комбинаторики

Слайд 32

Вероятность P(A) события A равняется отношению числа случаев m, благоприятствующих событию

A, к общему числу всех возможных исходов испытания n:
P(A)=m/n (1)
При этом полагают что:
испытание содержит конечное число исходов;
все исходы испытания равновозможным и несовместимы.

Слайд 33

Из приведенного классического определения вероятности вытекают следующие ее свойства:
Вероятность достоверного события

равна единице. P(A)=1.
Вероятность невозможного события равна нулю P(A)=0.
Вероятность случайного события есть положительное число, заключенное между нулем и единицей.
0≤P(A)≤1.

Слайд 34

Статистическое определение вероятности
Относительной частотой (статистической вероятностью) события A отношение числа испытаний

(наблюдений), в которых появилось событиеA, к общему числу произведенных испытаний:
W(A)=m/n,
где m-число испытаний, в которых появилось событие A;
n-общее число произведенных испытаний.

Слайд 35

Геометрическая вероятность
Пусть отрезок является частью отрезка
Если на отрезке L yставится

точка, то вероятность попадания этой точки на отрезок
определяется равенством:
P(A)= ( длина )/(длина L).
Полагается, что вероятность не зависит от расположения отрезка относительно L.

Слайд 36

Элементы комбинаторики
Комбинаторика – раздел математики, занимающийся вопросами о том, сколько комбинаций

определенного типа можно получить из данных предметов (элементов).
Размещениями из n различных элементов по m элементов (m≤n) называются комбинации, составленные из данных n элементов по m, которые отличаются либо самими элементами, либо порядком элементов.

Слайд 37

Напомним, что n!=n∙(n-1)∙∙∙∙3∙2∙1; 0!=1.
Пример. Сколькими способами можно образом из лучших студентов

курса выбрать двоих для поездки в Англию и Америку?
Решение. Так как в данном случае важно, не только какие 2 человека будут выбраны из 25 (состав элементов), но и кто из них поедет в Англию, а кто – в Америку (порядок следования элементов),то общее число комбинаций будет числом размещений из 25 элементов по 2.

Слайд 38

Их число определяется по формуле (*). Таким образом, искомое общее число

способов будет равно:
Перестановки –это комбинации, которые состоят из одних и тех же n различных элементов и отличаются только порядком их расположения. При этом число всех возможных перестановок равно
Pn=n!,

Слайд 39

Сочетания- это комбинации, которые составлены из n различных элементов по m

элементов, отличающиеся хотя бы одним элементом. Обозначим через
число сочетаний из n элементов по m.
Пример. Скольким способами можно из группы 25 человек случайным образом вызвать двух человек к доске?

Презентация «Cлучайные события, виды событий. Алгебра событий»

Содержание

Испытания и события. Виды событий. Операции над событиями.Понятие вероятности случайного события.

Основная литература. 1. Кремер Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика: учебник

Введение.Одной из важнейших сфер приложения теории вероятностей и математической статистики является

1.Зарождение теории вероятностей и ее основоположники. Теория вероятностей – это математическая