Применение производной

ПРАВИЛО ЛОПИТАЛЯ

Теорема

Предел отношения двух бесконечно
малых или бесконечно больших
функций равен

То есть если существует неопределенность вида

то

ПРИМЕРЫ

Вычислить пределы, используя правило Лопиталя:

1

Решение:

2

Решение:

ВОЗРАСТАНИЕ И УБЫВАНИЕ ФУНКЦИЙ

ТЕОРЕМА 1 (достаточное условие возрастания функции)

Если производная дифференцируемой
функции положительна внутри
некоторого промежутка Х, то она
возрастает на

ТЕОРЕМА 2 (достаточное условие убывания функции)

Если производная дифференцируемой
функции отрицательна внутри

Геометрическая интерпретация

Если касательные к кривой на некотором
промежутке направлены под острыми

Функция возрастает

Функция убывает

Пример

Найти интервалы монотонности
функции

Решение:

Найдем производную этой функции:

Исследуем знак этой производной:

Следовательно, функция будет
возрастать на промежутке

Функция будет убывать на промежутке

ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИИ

Точка х0 называется точкой максимума функции f(x), если в

Точка х1 называется точкой минимума функции f(x), если в некоторой окрестности

Значения функции в точках х0 и х1
называются соответственно точками
максимума и минимума.

max

min

max

Если в некоторой точке х0 дифференцируемая функция f(x) имеет экстремум, то

Однако, функция может иметь экстремум в точке, в которой она не

Необходимое условие экстремума

Для того, чтобы функция y=f(x) имела
экстремум в точке

Точки, в которых выполняется необходимое
условие экстремума, называются
критическими или стационарными.

Если в какой-либо

Примеры

Найти критические точки и экстремумы
функций:

1

Решение:

Применим необходимое условие экстремума:

- критическая точка

min

2

Решение:

Применим необходимое условие экстремума:

- критическая точка

Первое достаточное условие экстремума

Если при переходе через точку х0 производная

Схема исследования функции на экстремум

1

Найти производную функции

2

Найти критические точки функции, в которых производная равна нулю или не

3

Исследовать знак производной слева и справа от каждой критической точки.

4

Найти экстремум функции.

Пример

Исследовать функцию на экстремум:

Решение:

Применим схему исследования функции на экстремум:

1

Находим производную функции:

2

Находим критические точки:

критические точки

3

Исследуем знак производной слева и справа от каждой критической точки:

min

В

4

Находим экстремум функции:

Второе достаточное условие экстремума

Если первая производная дифференцируемой
функции y=f(x) в

Схема исследования функции на экстремум в этом случае аналогична предыдущей, но

НАИБОЛЬШЕЕ И НАИМЕНЬШЕЕ ЗНАЧЕНИЯ ФУНКЦИИ НА ОТРЕЗКЕ

Согласно теореме Вейерштрасса, если

Схема нахождения наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке

1

Найти производную

2

Найти критические точки, в которых
производная равна нулю или не существует.

3

Найти значения

пример

Найти наибольшее и наименьшее
значения функции

на отрезке

решение:

1

Находим производную функции:

2

Находим критические точки:

критические точки

3

Находим значения функций в критических точках и на концах отрезка: