Применение производной. Монотонность функции. Точки экстремума, экстремумы функции

Сентябрь 13, 2022

Главная
Математика
Применение производной. Монотонность функции. Точки экстремума, экстремумы функции

Содержание

2. Содержание Монотонность функции Точки экстремума, экстремумы функции
3. Монотонность функции Функция f возрастает на множестве P, если для любых x1 и x2 из множества
4. Монотонность функции Функция f убывает на множестве P, если для любых x1 и x2 из множества
5. Достаточный признак возрастания (убывания)функции Если f‘ (x)> 0 в каждой точке интервала P , то функция
6. Исследование функции на монотонность с помощью производной D(y)=R x Функция убывает на промежутке ? Функция возрастает
7. Функция y=f(x) задана на отрезке [a; b].На рисунке изображен график ее производной. Исследуйте на монотонность функцию
10. На рисунке изображен график функции y=f(x). Укажите длину наибольшего промежутка возрастания этой функции. Ответ: 4
11. Функция y=f(x) задана на промежутке (-6; 5).На рисунке изображен график ее производной. Найдите наибольшую из длин
12. Точки экстремума. Экстремумы функции.
13. Точки экстремума, экстремумы функции Точка x0 называется точкой максимума функции, если для всех x из некоторой
14. Точки экстремума, экстремумы функции Точка x0 называется точкой минимума функции, если для всех x из некоторой
15. Точки экстремума Экстремумы функции
16. Критические точки Внутренние точки области определения функции, в которых ее производная равна нулю или не существует,
17. Признак максимума функции. Если функция f непрерывна в точке x0, а f‘(x)>0 на интервале (a;x0) и
18. Признак минимума функции. Если функция f непрерывна в точке x0, а f‘(x) 0 на интервале (x0;b),
19. Пример Найдите точки экстремума функции f(x)=3x-x3 D(y)=R Ответ: f‘ (x)= 0 x=±1 f‘ (x)- не существует
21. Скачать презентацию

Слайд 2

Содержание
Монотонность функции
Точки экстремума, экстремумы функции

Слайд 3

Монотонность функции
Функция f возрастает на множестве P, если для любых x1

и x2 из множества P, таких , что x1>x2, выполнено неравенство

f(x1)> f (x2 )

Повторим теорию

y

y

1

1

0

Слайд 4

Монотонность функции
Функция f убывает на множестве P, если для любых x1

и x2 из множества P, таких , что x1>x2, выполнено неравенство

f(x1)< f (x2 )

Повторим теорию

y

y

1

1

0

Слайд 5

Достаточный признак возрастания (убывания)функции
Если f‘ (x)> 0 в каждой точке интервала

P , то функция возрастает на P.

Если f‘ (x)< 0 в каждой точке интервала P , то функция убывает на P.

Слайд 6

Исследование функции на монотонность с помощью производной
D(y)=R
x
Функция убывает на промежутке ?
Функция

возрастает на промежутке ?

+

-

+

-

Слайд 7

Функция y=f(x) задана на отрезке [a; b].На рисунке изображен график ее

производной. Исследуйте на монотонность функцию y=f(x). В ответе укажите количество промежутков, на которых функция убывает.

y

a

b

Функция возрастает

f‘ (x)> 0

при

с

Функция убывает

f‘ (x)< 0

при

Ответ: 1

Слайд 8

Слайд 9

Слайд 10

На рисунке изображен график функции y=f(x).
Укажите длину наибольшего промежутка возрастания

этой функции.

Ответ: 4

Слайд 11

Функция y=f(x) задана на промежутке (-6; 5).На рисунке изображен график

ее производной. Найдите наибольшую из длин промежутков убывания функции.

y

x

1

1

0

f‘ (x)< 0

Ответ: 4

Слайд 12

Точки экстремума. Экстремумы функции.

Слайд 13

Точки экстремума, экстремумы функции
Точка x0 называется точкой максимума функции, если для

всех x из некоторой окрестности выполнено неравенство :

f(x0)- максимум функции

f(x0)≥ f (х )

x0

f(x0)

f(x0)≥ f (х )

Слайд 14

Точки экстремума, экстремумы функции
Точка x0 называется точкой минимума функции, если для

всех x из некоторой окрестности выполнено неравенство :

f(x0)- минимум функции

f(x0)≤ f (х )

x0

f(x0)

f(x0)≤ f (х )

Слайд 15

Точки экстремума
Экстремумы функции

Слайд 16

Критические точки
Внутренние точки области определения функции, в которых ее производная равна

нулю или не существует, называются критическими точками этой функции.

Необходимое условие экстремума
Если точка x0 является точкой экстремума функции f и в этой точке существует производная f‘ (x), то она равна нулю:
f‘ (x)= 0

Слайд 17

Признак максимума функции.
Если функция f непрерывна в точке x0, а f‘(x)>0

на интервале (a;x0) и f‘(x)<0 на интервале (x0;b), то точка x0 является точкой максимума функции f

Упрощенное правило:
Если в точке x0 производная меняет знак с плюса на минус, то x0 есть точка максимума .

Слайд 18

Признак минимума функции.
Если функция f непрерывна в точке x0, а f‘(x)<0

на интервале (a;x0) и f‘(x)>0 на интервале (x0;b), то точка x0 является точкой минимума функции f.

Упрощенное правило:
Если в точке x0 производная меняет знак с минуса на плюс, то x0 есть точка минимума .

Слайд 19

Пример
Найдите точки экстремума функции
f(x)=3x-x3
D(y)=R
Ответ:
f‘ (x)= 0
x=±1
f‘ (x)- не

существует
Таких значений x нет.

f‘ (x)=3-3x2

x

Критические точки