Содержание
- 2. Дадим аргументу х приращение Δх и найдем значение функции y+Δy: Находим приращение функции Используем схему нахождения
- 3. Составляем отношение Находим предел этого отношения: Сделаем замену:
- 4. Тогда В силу непрерывности логарифмической функции меняем местами знаки логарифма и предела:
- 5. производная натурального логарифма Для сложной функции:
- 6. ПРИМЕР.
- 7. Найдем производную для общего случая логарифмической функции:
- 8. По свойству логарифма Тогда Отсюда окончательно имеем
- 9. производная логарифмической функции Для сложной функции:
- 10. ПРИМЕР.
- 11. 2. Производная показательной функции Сначала рассмотрим частный случай показательной функции:
- 12. Логарифмируем обе части равенства по основанию e: Дифференцируем обе части равенства по х: Отсюда выражаем искомую
- 13. производная экспоненты Для сложной функции:
- 14. Кривая (экспонента) обладает свойством: в каждой точке х ордината у равна угловому коэффициенту касательной к кривой
- 15. ПРИМЕР.
- 16. Найдем производную для общего случая показательной функции:
- 17. Т.к.
- 18. производная показательной функции Для сложной функции:
- 19. ПРИМЕР.
- 20. 3. Производная степенной функции
- 21. Логарифмируем обе части равенства по основанию e: Дифференцируем обе части равенства по х:
- 22. Отсюда выражаем искомую производную: Т.к. то окончательно получаем:
- 23. производная степенной функции Для сложной функции:
- 24. 4. Производная степенно- показательной функции
- 25. Логарифмируем обе части равенства по основанию e: Дифференцируем обе части равенства по х, учитывая, что в
- 27. Т.к. то окончательно получаем:
- 28. Чтобы продифференцировать степенно-показательную функцию, ее сначала нужно продифференцировать как показательную функцию, а затем как степенную и
- 29. ПРИМЕР.
- 30. ЗАМЕЧАНИЕ Производная логарифмической функции называется логарифмической производной. Ее удобно использовать для дифференцирования функции, выражение которой существенно
- 31. ПРИМЕР.
- 32. Логарифмируем обе части равенства по основанию e: Используем свойства логарифма:
- 33. Дифференцируем обе части равенства по х:
- 34. 5. Производные тригонометрических функций
- 35. Дадим аргументу х приращение Δх и найдем значение функции y+Δy: Находим приращение функции Используем схему нахождения
- 36. Составляем отношение Находим предел этого отношения:
- 37. Первый предел сводим к первому замечательному:
- 38. производная синуса Для сложной функции:
- 39. Аналогично можно найти производную функции
- 40. производная косинуса Для сложной функции:
- 41. ПРИМЕР.
- 42. Найдем производную функции
- 43. Находим производную дроби:
- 44. производная тангенса Для сложной функции:
- 45. Аналогично можно найти производную функции
- 46. производная котангенса Для сложной функции:
- 47. ПРИМЕР.
- 48. 6. Производные обратных тригонометрических функций
- 49. Обратной к ней функцией будет Используем правило дифференцирования обратной функции: Теперь нужно выразить у через х
- 50. производная арксинуса Для сложной функции:
- 51. Аналогично можно найти производную функций
- 52. производная арккосинуса Для сложной функции:
- 53. производная арктангенса Для сложной функции:
- 54. производная арккотангенса Для сложной функции:
- 56. Скачать презентацию