Содержание
- 2. Лемма 1. Степенной ряд равномерно сходится на любом отрезке Доказательство. Выберем По теореме Абеля ряд сходится.
- 3. Лемма 2. Степенной ряд, составленный из производных ряда (*) имеет тот же радиус сходимости, что и
- 4. Если составить ряд из производных ряда (**), то у него тоже радиус сходимости равен Т. е.
- 5. Свойства степенных рядов. 1) Сумма степенного ряда есть функция, непрерывная в интервале сходимости ряда. Пример. Функция
- 6. 13.4. Разложение функций в степенные ряды. 13.4.1 Ряд Тейлора. Сумма степенного ряда непрерывна и бесконечное число
- 7. Пусть где - коэффициенты, которые нужно определить. Тогда Следовательно (**)
- 8. Определение. Рядом Тейлора функции в окрестности точки называется степенной ряд (**) относительно разности коэффициенты которого выражаются
- 9. 13.4.2. Условие разложимости функций в ряд Тейлора. При каких условиях ряд Тейлора для функции сходится и
- 10. - ошибка аппроксимации функции многочленом . Пусть - многочлен -й степени. Продифференцируем раз. Последующие производные равны
- 11. Пример. Разложить функцию по степеням
- 12. 13.4.3. Остаточный член ряда Тейлора. Формула Тейлора. Запишем функцию в виде Докажем теорему о структуре ,
- 13. Теорема. Если во всех точках некоторого интервала, содержащего точку , имеет производную , то для всякой
- 14. Доказательство. Запишем остаточный член в виде Найдем такое, чтобы для всякого , принадлежащего интервалу, выполнялось Зафиксируем
- 15. Докажем, что это выражение равно При из теоремы Лагранжа Для других построим вспомогательную функцию удовлетворяющую теореме
- 16. Только подчеркнутые члены не сокращаются. Производная существует во всех точках интервала. Вынося общий множитель за скобки,
- 17. Формула Тейлора для функции в точке При выводе формулы предполагалось, что имеет производные до -й, где
- 18. Частные случаи 1) Это формула Лагранжа. 2) или Это линейная аппроксимация.
- 20. Скачать презентацию