Схема независимых испытаний Бернулли

Пример. Производится 4 выстрела по мишени. Вероятность попадания при каждом выстреле

Так как испытания независимы, то

и т.д.

Кроме того события ППНН, ПНПН, …,

Теорема 1.

Вероятность того, что в n независимых испытаниях событие A появится

Доказательство.

Рассмотрим событие, состоящее в том, что A появится в первых m

Число таких исходов (в n испытаниях событие A появится m раз

Замечание.

Вероятность того, что событие A появится от до раз включительно, равна:

Пример.

Пусть в схеме Бернулли проводится n испытаний.

Вероятность наступления события A в

фиксированное

меняется

При увеличении m от 0 до n вероятность сначала растет, а

Если

то

Если

то

Пример. Бросаем 10 раз кубик. Рассмотрим событие

Найти наивероятнейшее число появлений события

Замечание.

Пусть проводится n независимых испытаний, в каждом из которых возможно наступление

п.2. Предельные теоремы в схеме Бернулли.

Вычисления в схеме Бернулли при больших

Теорема 2 (Пуассона).

Пусть в схеме Бернулли

число испытаний n неограниченно возрастает,

вероятность

Доказательство. Так как

то

Заметим, что

Поэтому,

Замечание.

Из теоремы 2 следует приближенная формула

Ее обычно применяют, когда n велико,

Пример. В грузовике перевозится 1000 бутылок. Вероятность того, что в дороге

Потоком событий называют последовательность событий, наступающих в случайные моменты времени.

Пример.

Потоком называют стационарным, если его интенсивность является постоянной величиной, т.е.

Потоком называют

Поток стационарный, ординарный поток событий с отсутствием последствий называется простейшим (пуассоновским).

Вероятность

Пример. Среднее число заказов такси, поступающих на диспетчерский пункт за одну

Теорема 3 (Локальная теорема Муавра–Лапласа).

Пусть в схеме Бернулли

число испытаний n неограниченно

Замечание.

Значения функции находят по специальной таблице, при этом учитывая, что

Пример. Вероятность

Теорема 4 (Интегральная теорема Муавра–Лапласа).

Пусть в схеме Бернулли

число испытаний n неограниченно

Замечание.

Рассмотрим функцию

— нормированная функция Лапласа.

Значения этой функции находят по специальной таблице,

Тогда

Поэтому,

Пример. Цех в среднем выпускает 4% брака. Приемщик проверяет партию из

Замечание.

Пусть событие A в n испытаниях появилось m раз.

Тогда вероятность отклонения

Доказательство. Рассмотрим неравенство

Тогда

Применим теорему 4: