Теория вероятностей. Текущий и итоговый контроль

Текущий и итоговый контроль

КОНТР.РАБ. 1 + САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА + КОНТР.РАБ.

Часть 2. Содержание

Предмет ТВ
Случайное событие
Вероятность события, классическое определение вероятности

Теория вероятностей (ТВ) – раздел математики, изучающий закономерности, присущие массовым

Предмет ТВ

Предметом теории вероятностей является изучение вероятностных закономерностей массовых однородных случайных

Случайный эксперимент
Случайным экспериментом называется некоторый опыт, который может быть неоднократно

Случайное событие

Событием в ТВ называется любой факт, который в результате

СЛУЧАЙНОЕ СОБЫТИЕ
Случайным событием будем называть высказывание о результатах случайного эксперимента.

Примеры

Бросание монеты – эксперимент
A={выпал герб}
B={выпала решка}
Бросание игральной кости
A={выпало 2 очка}
B={выпало

Стрельба по мишени
Вынимание шаров из урны
Различные игры (карты, домино и т.д.)
Экономические

Виды случайных событий

Событие называется невозможным, если оно никогда не может произойти.
Пример
Событие

Событие называется достоверным, если оно происходит при любом исходе эксперимента

События называются несовместными, если они не могут произойти одновременно.

Несколько событий называются единственно возможными, если хотя бы одно из

Несколько событий образуют полную группу, если они являются единственно возможными

Пример 1

Из ящика с деталями наудачу извлечена деталь. Появление стандартной детали

Пример 2

Брошена монета. Появление “ герба “ исключает появление надписи.

События

Пример 3

Приобретены два билета денежно –вещевой лотереи. Обязательно произойдет одно и

Пример 4

Стрелок произвел выстрел по цели. Обязательно произойдет одно из

Равновозможные события

События называют равновозможными, если нет оснований считать, что одно из

Пример 5

Появление “ герба “ и появление надписи при бросании монеты

Пример 6

Появление того или иного числа очков на брошенной игральной

Задание
Приведите примеры на все данные определения.

Классическое определение вероятности

Пример. Пусть в урне содержится 6 одинаковых, тщательно перемешанных

Вероятность есть число, характеризующее частоту появления события.

Событие A ={появление цветного шара}.
Каждый из простейших результатов испытания назовём

6 элементарных исходов:
- белый шар;
- красный шар;
- синий

Те элементарные исходы, в которых интересующее нас событие наступает, назовём благоприятствующими.
Благоприятствуют

Отношение числа благоприятствующих событию А элементарных исходов к их общему числу

Вероятность того, что взятый шар окажется цветным, равна
Р (А)= .

Классической вероятностью события А называют отношение числа благоприятствующих этому событию исходов

Формула классической вероятности
m – число элементарных исходов, благоприятствующих А;
n –

Свойства вероятности
Свойство 1. Вероятность достоверного события равна единице.

Свойство 2. Вероятность невозможного события равна нулю.

Важно!
Если количество всех исходов бесконечно, то классическое определение не

Пример.
Допустим, что 6 человек приобрели билеты на 10 местный самолет.

Размещениями называют комбинации, составленные из n различных элементов по m элементов,

В нашем случае

Примеры непосредственного вычисления вероятностей

Пример 1 Набирая номер телефона, абонент забыл одну

Решение
Обозначим через А событие – набрана нужная цифра. Абонент мог

Благоприятствует событию А лишь один исход (нужная цифра лишь одна).
Искомая

Пример 2
Набирая номер телефона, абонент забыл две последние цифры и,

Решение
Обозначим через В событие – набраны две нужные цифры.
Всего

Благоприятствует событию А лишь один исход .
Искомая вероятность равна отношению

Пример 3
Указать ошибку “решения” задачи:

«Брошены две игральные кости.

Решение (не правильное)
Возможны два исхода испытания: -сумма выпавших очков равна 4;

Правильное решение
Общее число равновозможных исходов: .
Среди этих исходов благоприятствуют

Задачи

Задача 1

Задумано двузначное число. Найти вероятность того, что задуманным числом

Решение

Всего двузначных чисел 90. То есть общее число исходов n=90.
Среди двузначных

Задача 2

Пятитомное собрание сочинений стоит на полке в случайном порядке.

Решение

Благоприятный исход у нас один (когда книги стоят по порядку), m=1.
Общее

Задача 3

Буквы Т,Е,Я,И,Р,О написаны на отдельных карточках. Ребенок берет карточки

Решение

Благоприятный исход у нас один, когда получилось слово ТЕОРИЯ, то есть

Задача 4

В ящике 15 деталей, среди которых 10 окрашенных. Наудачу

Решение

Так как все детали одинаковы, то мы имеем дело с неупорядоченной

Благоприятные исходы m – сколькими способами из 10 окрашенных деталей можно

Задача 5

Имеется 5 билетов стоимостью по 1 рублю, 3 билета

Решение

Благоприятные исходы – это те, когда в сумме можно получить из

Учитывая, что все билеты внешне одинаковы (неупорядоченная выборка), благоприятных исходов будет

Всего имеется 5+3+2=10 билетов. Общее число исходов n – сколькими способами

Искомая вероятность равна отношению благоприятных исходов к общему числу исходов, то

Решение

Общее число возможных элементарных исходов испытания равно числу способов, которыми

Число благоприятствующих исходов равно

Задача 7

Участники жеребьевки тянут из ящика жетоны с номерами от

Решение

Так как всего жетонов 100, то общее число исходов n=100.
Благоприятными исходами

Таких чисел 19. Тогда чисел без цифры 5 будет 100-19=81. То

Задача 8

Товаровед получил 50 одинаковых изделий, среди них 5 бракованных.

Решение

Общее количество исходов n – сколькими способами из 50 деталей можно

Число благоприятных исходов будет равно количеству бракованных изделий, m=5.
Искомая вероятность будет

Задача 9

Библиотека состоит из 10 различных книг, причем 5 книг

Решение

Найдем общее число исходов n – сколькими способами можно из 10

Задача 10

Бросают игральный кубик. Найти вероятность того, что на верхней

Решение

Общее число всех возможных исходов равно 6 (у кубика 6 граней,

Искомая вероятность есть отношение числа благоприятных исходов m=3 к общему

Контрольные вопросы к части 2

Что называется случайным событием?
Классическое определение вероятности события