Углы с сонаправленными сторонами. Угол между прямыми

Слайд 3

Вспомнить все!!!!

Слайд 4

Ответьте на вопросы по чертежу:
Являются ли параллельными прямые АА1 и DD1;

АА1 и CC1, и почему?
Каково взаимное расположение прямых AA1 и DС?

Слайд 5

Скрещивающиеся прямые

Определение: Две прямые называются скрещивающимися, если они не лежат

в одной плоскости (т.е. не существует плоскости, содержащей эти прямые).

скрещивающиеся

Слайд 6

Признак скрещивающихся прямых
Если одна из двух прямых лежит в некоторой плоскости,

а другая прямая пересекает эту плоскость в точке, не лежащей на первой прямой, эти прямые скрещивающиеся.

Дано:
Доказать:

Слайд 7

Ответьте на вопросы по чертежу:
Каково взаимное расположение
прямых AB1 и DС;
прямой

DС и плоскости AА1 B1В;
прямой AB1 и плоскости DD1 C1C?

Слайд 8

Теорема о плоскостях, проходящих через скрещивающиеся прямые
Через каждую из двух скрещивающихся

прямых проходит плоскость, параллельная другой плоскости, и притом только одна.

Дано:
Построить:
CD║α
Доказать: α - единственная

Слайд 9

Группы аксиом
⋁
⋁

Слайд 10

1.1. На каждой прямой и в каждой плоскости имеются точки.
1.2. Имеются

по крайней мере три точки, не лежащие на одной прямой, и по крайней мере четыре точки, не лежащие в одной плоскости.
1.3. Через любые две точки проходит прямая, и притом только одна.
1.4. Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и притом только одна.
1.5. Если две точки прямой принадлежат плоскости, то и все точки прямой лежат в этой плоскости.

Аксиомы взаимного расположения точек, прямых и плоскостей.

Слайд 11

1.6. Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую

прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей. 1.7. Из трех точек прямой одна и только одна лежит между двумя другими. 1.8. Каждая точка прямой разделяет ее на две части (два луча) так, что любые две точки одного и того же луча лежат по одну сторону от данной точки, а любые две точки разных лучей лежат по разные стороны от данной точки. 1.9. Каждая прямая, лежащая в плоскости, разделяет эту плоскость на две части (две полуплоскости) так, что любые две точки одной и той же полуплоскости лежат по одну сторону от данной прямой, а любые две точки разных полуплоскостей лежат по разные стороны от данной прямой. 1.10. Каждая плоскость разделяет пространство на две части (два полупространства) так, что две точки одного и того же полупространства лежат по одну сторону от данной плоскости, а любые две точки разных полупространств лежат по разные стороны от данной плоскости.

Слайд 12

1.10. Каждая плоскость разделяет пространство на две части (два полупространства) так,

что две точки одного и того же полупространства лежат по одну сторону от данной плоскости, а любые две точки разных полупространств лежат по разные стороны от данной плоскости.

Слайд 13

полуплоскость
полуплоскость
граница
Любая прямая а, лежащая в плоскости, разделяет эту плоскость на две

части, называемые полуплоскостями.
Прямая а называется границей каждой из этих полуплоскостей.
Любые две точки одной и той же полуплоскости лежат ПО ОДНУ сторону от прямой
Разных полуплоскостей – по РАЗНЫЕ

Слайд 14

Сонаправленные лучи
Два луча ОА иО1А1,
не лежащие на одной прямой, называются сонаправленными,

если они параллельны и лежат в одной плоскости с границей ОО1.
Два луча ОА иО1А1,
лежащие на одной прямой, называются сонаправленными, если они совпадают или один из них содержит другой.

Слайд 15

Углы с сонаправленными сторонами
A
О
О1
О2
A1
В2
A2
О3
A3

Слайд 16

Если стороны двух углов соответственно сонаправлены, то такие углы равны.
Теорема об

углах с сонаправленными сторонами

Слайд 17

Слайд 18

П.9 Углы между прямыми

Слайд 19

Вспомнить все
Как могут быть расположены прямые в пространстве?
Прямые в

пространстве могут быть пересекающимися, параллельными, скрещивающимися.
Какие прямые в пространстве называются параллельными?
Две прямые в пространстве называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются.

Слайд 20

Расположение 2-х прямых на плоскости

а║b
пересекаются параллельны
a
b
a
b

Слайд 21

Любые две пересекающиеся прямые лежат в одной плоскости и образуют 4

пары неразвернутых угла

Слайд 22

Верно ли утверждение: если две прямые не имеют общих точек, то

они не пересекаются
Да, они параллельны или скрещиваются
Точка М не лежит на прямой а. Сколько прямых, не пересекающих прямую а, проходит через точку М? Сколько из них параллельны прямой а?
Бесконечно много. Одна
Каким может быть взаимное расположение двух прямых, одна из которых лежит в плоскости, а другая параллельна этой плоскости?
Параллельны или скрещиваются

Слайд 23

Угол между прямыми в пространстве
Углом между двумя пересекающимися прямыми в пространстве

называется наименьший из углов, образованных лучами этих прямых с вершиной в точке их пересечения.

Углом между скрещивающимися прямыми называется угол между пересекающимися прямыми, соответственно параллельными данным.

Если прямые параллельны, то угол между ними считается равным 00

Слайд 24

Угол между скрещивающимися прямыми
Угол между прямыми – это градусная мера, а

не геометрическая фигура.
Угол между скрещивающимися прямыми АВ и CD определяется как угол между пересекающимися прямыми А1В1║АВ и C1D1║CD (от выбора точки М1 или М2 величина угла φ не зависит)

Слайд 25

Повторение:
формулу (теорема косинусов)
При нахождении угла
между пересекающимися прямыми
используют

Слайд 26

Слайд 27

В кубе AВСDA1B1C1D1 найдите угол между прямыми A1C1 и B1D1.
Ответ: 90o

Слайд 28

В кубе AВСDA1B1C1D1 найдите угол между прямыми AA1 и BC.
Ответ: 90o

Слайд 29

В кубе AВСDA1B1C1D1 найдите угол между прямыми AA1 и C1D1.
Ответ: 90o

Слайд 30

В кубе AВСDA1B1C1D1 найдите угол между прямыми AA1 и BC1.
Ответ: 45o

Слайд 31

В кубе AВСDA1B1C1D1 найдите угол между прямыми AA1 и CD1.
Ответ: 45o

Слайд 32

В кубе AВСDA1B1C1D1 найдите угол между прямыми AB1 и CD1.
Ответ: 90o

Слайд 33

В кубе AВСDA1B1C1D1 найдите угол между прямыми AB1 и BC1.
Через точку

A проведем прямую AD1, параллельную BC1. Искомый угол равен углу B1AD1. Треугольник B1AD1 – равносторонний. Следовательно, искомый угол равен 60о.

Ответ: 60о

Слайд 34

В правильной шестиугольной призме ABCDEFA1B1C1D1E1F1 все ребра равны 1. Найдите угол между

прямыми АВ и A1С1

Ответ:

Слайд 35

В правильной шестиугольной призме ABCDEFA1B1C1D1E1F1 все ребра равны 1. Найдите угол между

прямыми А1В и ED1

Ответ:

Слайд 36

Практикум

Слайд 37

1
1
1
О
О1
В правильной шестиугольной призме A … F1,
все ребра которой равны

1.
Постройте сечение, проходящее через точку А1
параллельное плоскости В1ВС1
АА1 параллельно ВВ1
А1D1 параллельно В1С1
АА1 и A1D1 пересекаются
Плоскость АА1D1D параллельна плоскости ВВ1С1С

Слайд 38

1
1
1
О
О1
В правильной шестиугольной призме A … F1,
все ребра которой равны

1.
Постройте в плоскости АА1D1
прямую, параллельную прямой ВС1

Плоскость (АА1D1) параллельна плоскости (ВВ1С1)
А1О1 =В1С1 (радиус окружности вписанной в правильный шестиугольник)
АО1=ВС1 и параллельны

Слайд 39

Решите задачи
В правильной шестиугольной
призме ABCDEFA1B1C1D1E1F1,
все ребра которой равны 1,

найдите косинус угла
между прямыми
AB1 и BC1

Слайд 40

1
1
1
О
О1
В правильной шестиугольной призме A … F1,
все ребра которой равны

1, найдите
косинус угла между прямыми AB1 и BC1

Построим плоскость
АА1D1D параллельную
плоскости ВВ1С1С.
Тогда прямая AO1
параллельна прямой BC1, и искомый угол φ между
прямыми AB1 и BC1
равен ∠B1AO1.

Слайд 41

3) По теореме косинусов
2 2 2
AO1 + AB1 - B1O1

Cos ∠B1AO1 = 2 AO1 AB1
Cos ∠B1AO1 =0,75

Ответ: 0,75

В правильной шестиугольной призме A … F1,
все ребра которой равны 1, найдите
косинус угла между прямыми AB1 и BC1

Слайд 42

Способы решения задачи на нахождение угла между скрещивающимися прямыми

Слайд 43

С помощью параллельного переноса
Углом между скрещивающимися прямыми называется угол между пересекающимися

прямыми, соответственно параллельными данным скрещивающимися.

Точку М можно выбрать произвольным образом.
В качестве точки М удобно взять любую точку на одной из скрещивающихся прямых.

№ 1

Слайд 44

В единичном кубе АВСДА1В1С1Д1 найдите
угол между прямыми АВ1 и ВС1.
№

1) Прямая AD1 параллельна прямой ВС1,

2) Треугольник В1AD1 – равносторонний, ⇒ ∠ В1AD1 = 600

⇒ Угол между прямыми АВ1 и ВС1 равен углу В1AD1.

Слайд 45

№ 2
D
А
В
С
С помощью тетраэдра

Слайд 46

№ 2
D
D1
А
А1
В
В1
С
С1
С помощью тетраэдра
В единичном кубе АВСДА1В1С1Д1 найдите
угол между прямыми

АВ1 и ВС1.

1.Построим тетраэдр
с противоположными
ребрами AB1 и BC1
2.Применяя формулу,
получаем
Cos ∠AB1,BC1 =0.5
∠AB1,BC1=60

Слайд 47

Построим
плоскость,
которой принадлежит
прямая а,
прямая b ее пересекает
2) Построим b1

проекцию прямой b на плоскость
3)Прямые a и b1 пересекаются,
прямые b и b1 пересекаются

№ 3

Cos ∠ab =Cos ∠ab1 Cos ∠bb1

Способ «в три косинуса»

Слайд 48

№ 3
Способ «в три косинуса»
Cos ∠AB1,BC1 =Cos ∠AB1B Cos ∠B1BC1
1.Прямая BC1

лежит
в плоскости (B1BC)
2.Построим проекцию
ребра АВ1 на плоскость
(B1BC)
3.Применяя формулу,
получаем
Cos ∠AB1,BC1 =0.5
∠AB1,BC1=60

В единичном кубе АВСДА1В1С1Д1 найдите
угол между прямыми АВ1 и ВС1.

Углы с сонаправленными сторонами. Угол между прямыми

Содержание