Векторная алгебра. Скалярное произведение векторов

Июль 26, 2022

Главная
Математика
Векторная алгебра. Скалярное произведение векторов

Содержание

2. 2. ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА 2.1 Векторы, общие понятия 2.2 Скалярное произведение векторов 2.3 Векторное произведение векторов 2.4
3. 2.2 СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ ОПР. Скалярным произведением двух векторов называется число (скалярная величина), равная произведению модулей
4. 2.2 СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ Свойства скалярного произведения (продолжение) 4) Связь скалярного произведения с проекцией одного вектора
5. 2.2 СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ Свойства скалярного произведения (продолжение) 6) Нахождение угла между векторами: а) если ϕ
6. 2.2 СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ Свойства скалярного произведения (продолжение) 7) КРИТЕРИЙ ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТИ ВЕКТОРОВ !
7. 2.2 СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ Вычисление скалярного произведения векторов, заданных координатами По определению скалярного произведения:
8. 2.2 СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ Вычисление скалярного произведения векторов, заданных координатами Пусть заданы векторы: Найдем их скалярное
9. 2.2 СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ Примеры Даны векторы: Найти их скалярное произведение. Найти косинус угла между ними.
10. 2.3 ВЕКТОРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ ОПР. Векторным произведением вектора на вектор называется вектор , такой что: 1)
11. 2.3 ВЕКТОРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ Свойства векторного произведения (продолжение) 4) КРИТЕРИЙ КОЛЛИНЕАРНОСТИ ВЕКТОРОВ !!
12. 2.3 ВЕКТОРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ Вычисление векторного произведения векторов, заданных координатами По определению векторного произведения:
13. 2.3 ВЕКТОРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ Вычисление векторного произведения векторов, заданных координатами Пусть заданы векторы: Найдем их векторное
14. 2.3 ВЕКТОРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ Вычисление векторного произведения векторов, заданных координатами Сгруппируем по векторам: Получили разложение определителя
15. 2.3 ВЕКТОРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ Модуль векторного произведения двух векторов равен площади параллелограмма, построенного на этих векторах.
16. 2.3 ВЕКТОРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ Примеры 1) Даны векторы: Найти их векторное произведение.
17. 2.3 ВЕКТОРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ Примеры 2) Найти высоту BD треугольника ABC, если
18. 2.3 ВЕКТОРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ Примеры
19. 2.4 СМЕШАННОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ ОПР. Cмешанным произведением трех векторов называется число (скалярная величина): Обозначение: 1) 2)
20. 2.4 СМЕШАННОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ 3) Тройка векторов определяет знак смешанного произведения: В частности, смешанное произведение равно
21. 2.4 СМЕШАННОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ Вычисление смешанного произведения векторов, заданных координатами Пусть заданы векторы: Найдем их смешанное
22. 2.4 СМЕШАННОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ Вычисление смешанного произведения векторов, заданных координатами Используем формулу для нахождения скалярного произведения
23. 2.4 СМЕШАННОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ Объем параллелепипеда, построенного на трех векторах, равен абсолютной величине (модулю) их смешанного
24. 2.4 СМЕШАННОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ Пример Найти объём треугольной пирамиды с вершинами А В С D
25. 2.4 СМЕШАННОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ Пример
27. Скачать презентацию

Слайд 2

2. ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА
2.1 Векторы, общие понятия
2.2 Скалярное произведение векторов
2.3 Векторное произведение

векторов
2.4 Смешанное произведение векторов

Слайд 3

2.2 СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ
ОПР. Скалярным произведением двух векторов
называется число (скалярная величина),

равная произведению модулей этих векторов на косинус угла ϕ между ними:

Свойства скалярного произведения

1)

2)

3)

Обозначение:

Слайд 4

2.2 СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ
Свойства скалярного произведения (продолжение)
4) Связь скалярного произведения с

проекцией одного вектора на ось, задаваемую другим:

5) Связь скалярного произведения с длиной вектора:

длина вектора равна квадратному
корню из скалярного квадрата:

Слайд 5

2.2 СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ
Свойства скалярного произведения (продолжение)
6) Нахождение угла между векторами:
а)

если ϕ - острый угол, то

б) если ϕ - тупой угол, то

Слайд 6

2.2 СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ
Свойства скалярного произведения (продолжение)
7) КРИТЕРИЙ ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТИ ВЕКТОРОВ !

Слайд 7

2.2 СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ
Вычисление скалярного произведения векторов,
заданных координатами
По определению скалярного

произведения:

Слайд 8

2.2 СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ
Вычисление скалярного произведения векторов,
заданных координатами
Пусть заданы векторы:
Найдем

их скалярное произведение (выведем формулу):

Слайд 9

2.2 СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ
Примеры
Даны векторы:
Найти их скалярное произведение.
Найти косинус угла между

ними.
Найти проекцию вектора на вектор .

Слайд 10

2.3 ВЕКТОРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ
ОПР. Векторным произведением вектора на вектор
называется вектор ,

такой что:

1) (длина вектора)

2) (направление вектора)

3) (направление вектора)

1)

2)

3)

Обозначение:

Свойства векторного произведения

Слайд 11

2.3 ВЕКТОРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ
Свойства векторного произведения (продолжение)
4) КРИТЕРИЙ КОЛЛИНЕАРНОСТИ ВЕКТОРОВ !!

Слайд 12

2.3 ВЕКТОРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ
Вычисление векторного произведения векторов,
заданных координатами
По определению векторного

произведения:

Слайд 13

2.3 ВЕКТОРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ
Вычисление векторного произведения векторов,
заданных координатами
Пусть заданы векторы:
Найдем

их векторное произведение (выведем формулу):

Слайд 14

2.3 ВЕКТОРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ
Вычисление векторного произведения векторов,
заданных координатами
Сгруппируем по векторам:
Получили

разложение определителя по 1 строке:

Слайд 15

2.3 ВЕКТОРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ
Модуль векторного произведения двух векторов равен площади параллелограмма,

построенного на этих векторах.

Геометрический смысл векторного произведения

Площадь треугольника, построенного на векторах , равна половине длины векторного произведения этих векторов.

Слайд 16

2.3 ВЕКТОРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ
Примеры
1) Даны векторы:
Найти их векторное произведение.

Слайд 17

2.3 ВЕКТОРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ
Примеры
2) Найти высоту BD треугольника ABC, если

Слайд 18

2.3 ВЕКТОРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ
Примеры

Слайд 19

2.4 СМЕШАННОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ
ОПР. Cмешанным произведением трех векторов
называется число (скалярная

величина):

Обозначение:

1)

2)

3)

Свойства смешанного произведения

Закон круговой переместительности:

Слайд 20

2.4 СМЕШАННОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ
3)
Тройка векторов определяет знак смешанного произведения:
В частности, смешанное

произведение равно нулю, если в нем два множителя одинаковы:

4) КРИТЕРИЙ КОМПЛАНАРНОСТИ ВЕКТОРОВ !!!

Слайд 21

2.4 СМЕШАННОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ
Вычисление смешанного произведения векторов,
заданных координатами
Пусть заданы векторы:
Найдем

их смешанное произведение (выведем формулу):

Слайд 22

2.4 СМЕШАННОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ
Вычисление смешанного произведения векторов,
заданных координатами
Используем формулу для

нахождения скалярного произведения векторов, заданных координатами:

Получили разложение определителя по 1 строке:

Поменяем два раза местами строки: 1 и 2, 2 и 3

Слайд 23

2.4 СМЕШАННОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ
Объем параллелепипеда, построенного на трех векторах,
равен абсолютной

величине (модулю) их смешанного произведения:

Геометрический смысл смешанного произведения

Объём треугольной призмы:

Объём треугольной пирамиды:

Слайд 24

2.4 СМЕШАННОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ
Пример
Найти объём треугольной пирамиды с вершинами
А
В
С
D

Слайд 25

2.4 СМЕШАННОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ
Пример