Вписанные и описанные окружности

Сентябрь 16, 2022

Главная
Математика
Вписанные и описанные окружности

Содержание

2. ОКРУЖНОСТЬ Окружностью называется фигура, состоящая из всех точек плоскости, находящихся от данной точки на данном расстоянии.
3. Вписанная окружность Окружность называется вписанной в угол, если она лежит внутри угла и касается его сторон.
4. Если в данный выпуклый многоугольник можно вписать окружность, то биссектрисы всех углов данного многоугольника пересекаются в
5. Описанная окружность Центр описанной окружности равноудалён От вершин многоугольника и лежит на серединных перпендикулярах к его
6. Окружность и треугольники Окружность называется вписанной в треугольник, если она касается всех трех его сторон, а
7. Окружность и прямоугольный треугольник Радиус вписанной окружности а с b o r a b c R
8. Вписанная окружность в четырёхугольник а b c d O r В четырёхугольник можно вписать окружность, если
9. Описанная окружность около четырёхугольника α β γ φ Около четырёхугольника можно описать окружность, если сумма противолежащих
10. Параллелограмм, ромб, трапеция Около параллелограмма можно описать окружность тогда и только тогда, когда он является прямоугольником;
11. r r r r А В Д О Если трапеция АВСД описана около окружности, то треугольники
12. Окружность и правильные многоугольники Виды правильных многоугольников Свойства правильного многоугольника. Правильный многоугольник является вписанным в окружность
13. Основные формулы для правильных многоугольников R r an – сторона многоугольника; R – радиус описанной окружности;
14. Список литературы Энциклопедия по математике АВАНТА+; Наглядный справочник по геометрии для 7-9 классов; .
16. Скачать презентацию

Слайд 2

ОКРУЖНОСТЬ
Окружностью называется фигура,
состоящая из всех точек плоскости,
находящихся от данной точки

на данном расстоянии.

Данная точка O называется центром окружности,
а отрезок OA, соединяющий центр с какой-либо точкой окружности— радиусом окружности.

Свойство биссектрисы.
Каждая точка биссектрисы неразвёрнутого угла равноудалена от сторон угла.
Верно и обратно.
Свойство серединного перпендикуляра.
Каждая точка серединного перпендикуляра
равноудалена от концов его отрезка.
Верно и обратно

Слайд 3

Вписанная окружность
Окружность называется вписанной в угол,
если она лежит внутри угла

и касается его сторон.
Центр окружности, вписанной в угол,
лежит на биссектрисе этого угла.

Окружность называется вписанной в выпуклый многоугольник,
если она лежит внутри данного многоугольника и касается всех прямых,
проходящих через его стороны.

Слайд 4

Если в данный выпуклый многоугольник
можно вписать окружность,
то биссектрисы всех

углов данного многоугольника
пересекаются в одной точке,
которая является центром вписанной окружности.

Сам многоугольник в таком случае называется
описанным около данной окружности.
Таким образом, в выпуклый многоугольник можно вписать не более одной окружности.

Для произвольного многоугольника невозможно вписать в него и описать около него окружность.
Для треугольника это всегда возможно.

Слайд 5

Описанная окружность
Центр описанной окружности равноудалён
От вершин многоугольника и лежит на серединных

перпендикулярах к его сторонам

Окружность называется описанной около многоугольника,
если она проходит через все его вершины.

Центр описанной окружности около треугольника,
лежит на пересечении серединных перпендикуляров,
проведённых к серединам сторон треугольника

оO

Вокруг любого треугольника можно описать окружность,
и только одну.

S - площадь треугольника.

Слайд 6

Окружность и треугольники
Окружность называется вписанной в треугольник,
если она касается всех

трех его сторон,
а её центр находится внутри окружности

Центр вписанной в треугольник окружности лежит
на пересечении биссектрис внутренних углов треугольника.

В любой треугольник можно вписать окружность, и только одну.

Радиус вписанной в треугольник окружности
равен отношению площади треугольника и его полупериметра

Слайд 7

Окружность и прямоугольный треугольник Радиус вписанной окружности
а
с
b
o
r
a
b
c
R
O
Центр описанной окружности совпадает с

серединой гипотенузы,

а радиус равен
– половине гипотенузы
- медиане, проведённой к гипотенузе

Слайд 8

Вписанная окружность в четырёхугольник
а
b
c
d
O
r
В четырёхугольник можно вписать окружность,
если суммы противолежащих

сторон равны т. е. a + c = b + d
Верно и обратно
Если окружность вписана в четырёхугольник,
то суммы противолежащих сторон равны
a + c = b + d

Площадь:

r – радиус вписанной окружности

Слайд 9

Описанная окружность около четырёхугольника
α
β
γ
φ
Около четырёхугольника можно описать окружность,
если сумма

противолежащих углов равна 180°: α + γ =β + φ
Если четырёхугольник вписан в окружность, то суммы противолежащих углов равна 180°.

ТЕОРЕМА ПТОЛОМЕЯ
Сумма произведений противолежащих сторон
равна произведению диагоналей: ac + bd = d1 d2

ПЛОЩАДЬ ЧЕТЫРЁХУГОЛЬНИКА

где р – полупериметр четырёхугольника

Слайд 10

Параллелограмм, ромб, трапеция
Около параллелограмма можно описать окружность тогда и только тогда,

когда он является прямоугольником;
Радиус описанной окружности

В параллелограмм можно вписать окружность тогда и только тогда, когда он является ромбом.
Радиус r вписанной окружности удовлетворяет соотношениям
S=2ar

Около трапеции можно описать окружность тогда
и только тогда, когда эта трапеция — равнобедренная;
Центр окружности лежит на пересечении оси симметрии трапеции с серединным перпендикуляром к боковой стороне

Слайд 11

r
r
r
r
А
В
Д
О
Если трапеция АВСД описана около окружности,
то треугольники АОВ и ДОС

прямоугольные (угол О –прямой);
точка О – центр вписанной окружности.
Высоты этих треугольников опущены на гипотенузы,
равны радиусу вписанной окружности,
а высота трапеции равна диаметру вписанной окружности.

трапеция

Слайд 12

Окружность и правильные многоугольники
Виды правильных многоугольников
Свойства правильного многоугольника.
Правильный многоугольник является вписанным

в окружность и описанным около окружности,
при этом центры этих окружностей совпадают
Центр правильного многоугольника совпадает
с центрами вписанной и описанной окружностей.

Слайд 13

Основные формулы для правильных многоугольников
R
r
an – сторона многоугольника;
R – радиус описанной

окружности;
r – радиус вписанной окружности

Слайд 14

Вписанные и описанные окружности

Содержание

ОКРУЖНОСТЬОкружностью называется фигура,состоящая из всех точек плоскости, находящихся от данной точки

Вписанная окружностьОкружность называется вписанной в угол, если она лежит внутри угла

Если в данный выпуклый многоугольник можно вписать окружность, то биссектрисы всех

Описанная окружностьЦентр описанной окружности равноудалёнОт вершин многоугольника и лежит на серединных

Окружность и треугольникиОкружность называется вписанной в треугольник, если она касается всех

Окружность и прямоугольный треугольник Радиус вписанной окружностиасborabcROЦентр описанной окружности совпадает с

Вписанная окружность в четырёхугольникаbcdOrВ четырёхугольник можно вписать окружность, если суммы противолежащих

Описанная окружность около четырёхугольника αβγφОколо четырёхугольника можно описать окружность, если сумма

Параллелограмм, ромб, трапецияОколо параллелограмма можно описать окружность тогда и только тогда,

rrrrАВДОЕсли трапеция АВСД описана около окружности, то треугольники АОВ и ДОС

Окружность и правильные многоугольникиВиды правильных многоугольниковСвойства правильного многоугольника.Правильный многоугольник является вписанным

Основные формулы для правильных многоугольниковRran – сторона многоугольника;R – радиус описанной

Список литературыЭнциклопедия по математике АВАНТА+;Наглядный справочник по геометрии для 7-9 классов;.

Похожие презентации