Линейные электрические цепи однофазного синусоидального тока

источника питания одной частоты.
Если в электрической цепи существует источник питания форма которого близка к синусоидальной, то в линейной электрической цепи все токи и напряжения будут иметь синусоидальную форму

Т/2

Т

φ

Im

ωt+φ

i(t)

Im-амплитудное значение
i(t)- мгновенное значение
φ-начальная фаза

- угловая частота

i(t)

t

(ωt +φ )- фаза колебания

m Sin (ωt+φE)

e(t), u (t), i (t) – мгновенные значения тока, напряжения ЭДС.
I m, Um, E m –амплитудные значения тока, напряжения ЭДС.

φi, φu,φE- начальные фазы тока, напряжения ЭДС.

Максимальное, среднее и действующее значение синусоидальных тока, напряжения и ЭДС.

Под средним значением переменного синусоидального тока понимается его средне-интегральное значение за половину периода

Определение среднего значения:

значение

Определение:

в активном сопротивлении за одно и то же время выделается такая же мощность, как и на переменном токе.

Докажем ,что это так.

1. Пусть некоторое сопротивление обтекается постоянным током I

R

I

U

В этом сопротивлении выделяется мощность
P=I U=I2 R

мгновенной мощности
р=i(t) u(t).
Тогда активная мощность выделяющаяся в этом сопротивлении за время равное периоду

значение переменного тока

плоскости.

+Ј

+1

φ

ωt

b

a

- мнимая единица

- Мнимая часть комплексного числа

- действительная часть комплексного числа

А

А = a +Jb - комплексное число в алгебраической форме

А – модуль комплексного числа

то его проекция на мнимую ось может быть записана следующим образом Jm ( )=Asin(ωt+β), что совпадает с записью мгновенного значения тока [ i(t)=Imsin(ωt+φ) ]. Таким образом, мгновенное значение тока i(t) может быть изображено вектором, вращающимся на комплексной плоскости со скоростью ω .

А - комплексное число. Обозначается подчеркнутой буквой.

Векторные диаграммы

+ jb
a- действительная часть комплексного числа
b- мнимая часть комплексного числа
Показательной форме A=А e jβ
А-модуль комплексного числа (неподчеркнутая буква)
β-аргумент комплексного числа
Тригонометрической форме А= A cos β+jA sin β

A sin β; ;

Совокупность векторов, изображающих токи и напряжения на комплексной плоскости называется векторной диаграммой.

Векторная диаграмма может быть изображена и без комплексной плоскости и без соблюдения масштабов векторов. Такая диаграмма называется качественной. При построении качественной векторной диаграммы тем не менее выдерживается (если это возможно) точный относительный фазовый сдвиг векторов. Такая диаграмма используется для расчета электрических цепей переменного тока.

Замечание.

Векторные диаграммы

u (t) = I (t) R
u(t)=ImR sin (ωt+φ)

Обозначим ImR=Um , тогда u(t)= Um sin(ωt+φ)

ImR=Um -закон Ома для амплитудных значений

-действующее значение тока

-действующее значение напряжения

IR=U -закон Ома для действующих значений

в индуктивности

2.1 Индуктивность

H-напряженность магнитного поля [A/м]

В=μН -индукция магнитного поля [Гс ]

- магнитный поток [вб]

wФ -потокосцепление.

(2)

подставим в (2) ток i(t), т.е. (1)

Синусоидальный ток в элементах электрической цепи

ток в элементах электрической цепи

амплитуд

Качественная векторная диаграмма

iL(t)

UL(t)

L

I L

UL

В индуктивности напряжение опережает ток на угол 90 градусов.

элементах электрической цепи

для амплитудных и действующих значений на емкости

-реактивное сопротивление емкости

обозначим

ток опережает приложенное к ней напряжение на 90 градусов.

- индуктивное сопротивление

- емкостное сопротивление

(3) построим векторную диаграмму

напряжение UR=IR - совпадает по фазе с током I
напряжение UL=I jxL- опережает по фазе ток I на 900
напряжение Uc=I(–jxc) – отстает по фазе от тока на 900

- полное реактивное сопротивление участка электрической цепи

Z – полное сопротивление участка электрической цепи

U

суммарное активное сопротивление равно их сумме

R = R1+R2+R3 +…….+Rn

Если электрическая цепь содержит ряд последовательно соединенных индуктивных сопротивлений, то суммарное индуктивное сопротивление равно их сумме

XL=XL1+XL2+XL3….+XLn

Если электрическая цепь содержит ряд последовательно соединенных емкостных сопротивлений, то суммарное емкостное сопротивление равно их сумме

XC=XC1+XC2+XC3….+XCn

Кафедра ТОЭ НГТУ

ТОЭ НГТУ

Переменный ток

I

I jxL

-IjXC

φ

U

Рис1.

Если каждый вектор диаграммы рис1. разделить на ток, то получим вектора сопротивлений. (Рис2.)

XL

Рис2.

Некоторые формулы для сопротивлений.

R=Zcosφ; X= Z sinφ; X=XL-Xc

I R

амплитудных, либо действующих значений напряжения на концах участка к току в нем.

Полное сопротивление участка электрической цепи всегда положительно (Z>0).

Полное реактивное сопротивление участка электрической цепи (х) может быть как положительным, так и отрицательным.
Если х>0, то электрическая цепь носит индуктивный характер. В этом случае напряжение в цепи опережает ток и φ>0. (Рис.1).

Рис.1

ней напряжение отстает от тока на некоторый угол φ.(Рис 2.)

Параллельное соединение R,L,C.

Для мгновенных значений тока справедливы законы Кирхгофа. Первый закон Кирхгофа для узла 1

i(t)=iR(t)+ iL(t)+ic(t)

(1)

Рис 1.

IL, IC- действующие значения

Введем понятия активной и реактивной проводимости

g- активная проводимость

- реактивная проводимость индуктивности

- реактивная проводимость емкости

(3)

Рис.2

выражение имеет размерность проводимости, обозначим ее Y.

Y-полная проводимость участка электрической цепи.

b = (bL- bC)

Полная реактивная проводимость участка электрической цепи.

Если bL >bC , цепь носит индуктивный характер, в цепи напряжение опережает ток.

диаграмму проводимостей. (Рис.4)

φ

b L

b C

g

Y

g =Ycosφ

b =Ysinφ

b

Рис.4

Кафедра ТОЭ НГТУ

ТОЭ НГТУ

Z - полное сопротивление цепи

(1)

(2)

(3) и (4) найдем и b.

(5)

(6)

По формулам 5 и 6 производится пересчет сопротивлений последовательной схемы в параллельную

и х, то получим формулы для пересчета сопротивлений параллельной схемы в последовательную

φ)

Введем понятие мгновенной мощности
p = u(t) i(t) - мгновенная мощность

Активная мощность обозначается большой буквой Р и равна среднему значению мгновенной мощности за период.

0

T

=

P=UаR P=UIа

2.Реактивная мощность

Q=UIsinφ

Q=UрI

Q=UIp

Up, Iр - реактивные составляющие напряжения и тока соответственно

Q=I2Х

Q=U2b

COS φ

Q=S sinφ

Связь между активной, реактивной и полной мощностью

мощности

Активная мощность в электрической цепи измеряется приборами, которые называются ваттметрами.

В реактивных сопротивлениях активная мощность отсутствует

токовой обмотки практически равно нулю ( ZI=0 )

результатам измерений включенных в цепь приборов.

При расчетах будем предполагать, что сопротивление амперметра и токовой обмотки ваттметра равны нулю, а вольтметра и обмотки напряжения ваттметра равны бесконечности.

Кафедра ТОЭ НГТУ

Переменный ток

индуктивного сопротивлений ,то:

R

X

I

U

Известно:

I

V

U

W

Р

При параллельной схеме замещения

U

I

емкостное сопротивление хс~2x и вновь определяют полное реактивное сопротивление х'. Если х'>x, то цепь имеет емкостной характер и полное реактивное сопротивление - емкостное, если х'

При параллельной схеме замещения к цепи подключают параллельно емкостное сопротивление хс≥2х.Если при подключении емкости ток в цепи увеличивается, то характер цепи емкостной, если уменьшается , то индуктивный.