схема Бернулли

Август 20, 2022

Главная
Разное
схема Бернулли

Содержание

2. Рассмотрим случай, когда одно и то же испытание повторяется несколько раз - проводится серия испытаний в
3. Примеры независимых испытаний 1. Несколько последовательных бросаний монеты. 2. Несколько последовательных выниманий карты из колоды, при
4. Пусть в результате случайного испытания может произойти или не произойти событие А. Если событие наступило, назовём
5. Рассмотрим несколько примеров: 1) 2)
11. По классическому определению вероятности: Таких испытаний по условию производится 4. Тогда вероятность, что в 4-х независимых
12. Используя т. сложения несовместных событий: Рассмотрим следующий пример, когда из двух очень похожих вопросов на один
13. Пример. Система радиолокационных станций ведет наблюдение за группой объектов, состоящей из 8 единиц. Каждый объект может
15. Наивероятнейшее число появлений события в независимых испытаниях Число k0 (наступление события в независимых испытаниях, в каждом
16. а) если число (np – q) – дробное, то существует одно наивероятнейшее число k0; б) если
17. Пример. В урне 10 белых и 40 чёрных шаров. Вынимают подряд 14 шаров, причём цвет вынутого
18. Пример. Вероятность попадания стрелком в цель равна 0,7. Сделано 25 выстрелов. Определить наивероятнейшее число попаданий в
19. Пример. Два равносильных шахматиста играют в шахматы. Что вероятнее – выиграть две партии из 4-х или
22. б) каждое испытание имеет три, а не два исхода: выпадение тройки, выпадение единицы, выпадение остальных граней.
24. Формула Пуассона В том случае, когда вероятность появления события p мала ( p Значения при фиксированных
26. Пример. Вероятность искажения одного символа при передаче сообщения по линии связи равна 0,001. Сообщение считают принятым,
27. успех: символ не искажается, р = 0,001 -вероятность успеха; m = 0 Вычислим λ = np
28. Пример. Известно, что процент брака для некоторой детали равен 0,5%. Контролер проверяет 1000 деталей. Какова вероятность
29. Ответ: вероятность обнаружить ровно 3 бракованные детали равна 0,14; обнаружить не менее 3-х бракованных деталей 0,875.
30. Пример (задача С. Пепайса). Пепайс предложил Ньютону следующую задачу. Какое из событий более вероятно: A =
34. Скачать презентацию

Слайд 2

Рассмотрим случай, когда одно и то же испытание повторяется несколько раз

- проводится серия испытаний в одинаковых условиях, т. е. вероятность появления события А во всех опытах одна и та же (const). Такие испытания называются повторными независимыми.
В задачах определим вероятность появления события А k раз (любое заданное количество раз), в серии из n опытов.

Слайд 3

Примеры независимых испытаний
1. Несколько последовательных бросаний монеты.
2. Несколько последовательных выниманий карты

из колоды, при условии, что карта возвращается каждый раз и колода перемешивается, т.е. выборка с возвращением (иначе испытания –зависимые).
3. Несколько последовательных бросаний игральной кости…

Слайд 4

Пусть в результате случайного испытания может произойти или не произойти событие

А. Если событие наступило, назовём испытание успешным, а событие – успехом. Испытание повторяется n раз. При этом соблюдаются условия:
вероятность успеха P(A) = p в каждом испытании одна и та же;
результат любого испытания не зависит от исходов предыдущих.

Слайд 5

Рассмотрим несколько примеров:
1)
2)

Слайд 6

Слайд 7

Слайд 8

Слайд 9

Слайд 10

Слайд 11

По классическому определению вероятности:
Таких испытаний по условию производится 4. Тогда

вероятность, что в 4-х независимых испытаниях будет 0 успехов:
Аналогично:

Слайд 12

Используя т. сложения несовместных событий:
Рассмотрим следующий пример, когда из двух очень

похожих вопросов на один можно ответить, пользуясь формулой Бернулли, а для другого этой формулы оказывается недостаточно.

Слайд 13

Пример. Система радиолокационных станций ведет наблюдение за группой объектов, состоящей из

8 единиц. Каждый объект может быть (независимо от других) потерян с вероятностью 0,1. Найти вероятность того, что хотя бы один из объектов будет потерян.
Решение: Пусть событие А = {потерять системой радиолокационных станций хотя бы один объект}, тогда: Р(А) = Р8(1) + Р8(2) + ... + P8(8) .

Слайд 14

Слайд 15

Наивероятнейшее число появлений события в независимых испытаниях
Число k0 (наступление события в

независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события равна p) называют наивероятнейшим если вероятность того, что событие наступит в этих испытаниях k0 раз, превышает вероятность остальных возможных исходов испытаний. Его определяют из двойного неравенства
np – q ≤ k0 ≤ np + p, причем:

Слайд 16

а) если число (np – q) – дробное, то существует одно

наивероятнейшее число k0;
б) если число (np – q) – целое, то существует два наивероятнейших числа, а именно k0 и k0+1;
в) если число np – целое, то наивероятнейшее число k0 = np.

Слайд 17

Пример. В урне 10 белых и 40 чёрных шаров. Вынимают подряд

14 шаров, причём цвет вынутого шара регистрируют, а затем шар возвращают в урну. Определить наивероятнейшее число появлений белого шара.
Решение. Здесь n = 14, p = 10/ 50 = 1/ 5, q = 1- p = = 4/ 5. Используя двойное неравенство np - q ≤ k0 ≤ np + p при указанных значениях n, р и q, получим 14 / 5 - 4 / 5 ≤ k0 ≤ 14/ 5 + 1/ 5, т.е. 2 ≤ k0 ≤ 3. Таким образом, задача имеет два решения: k0 = 2, k0 = 3.

Слайд 18

Пример. Вероятность попадания стрелком в цель равна 0,7. Сделано 25 выстрелов.

Определить наивероятнейшее число попаданий в цель.
Решение. Здесь n = 25, p = 0,7, q = 0,3. Следовательно,
25 · 0,7 – 0,3 ≤ k0 ≤ 25·0,7 + 0,7, т.е. 17,2 ≤ k0 ≤ 18, 2.
Так как k0 – целое число, то k0 = 18.

Слайд 19

Пример. Два равносильных шахматиста играют в шахматы. Что вероятнее – выиграть

две партии из 4-х или 4 из 6 (ничьи во внимание не принимают).
Решение. Т.к. играют равносильные шахматисты то вероятности выигрыша (p) и проигрыша (q) равны ½.
Так как во всех партиях вероятность выигрыша постоянна и безразлично, в какой последовательности будут выиграны партии – применима формула Бернулли.

Слайд 20

Слайд 21

Слайд 22

б) каждое испытание имеет три, а не два исхода: выпадение тройки,

выпадение единицы, выпадение остальных граней. Пусть в одном испытании возможны m исходов:1, 2, ..., m, и исход i в одном испытании случается с вероятностью pi, где p1 +. . .+ pm = 1
Обозначим через P (n1, . . . , nm) искомую вероятность того, что в n = n1 +. . .+nm независимых испытаниях исход 1 появился n1 раз, исход 2 - n2 раз, и т.д., исход m – nm раз.

Слайд 23

Слайд 24

Формула Пуассона
В том случае, когда вероятность появления события p мала (

p < 0,1 ), а число независимых испытаний велико, для оценки вероятности появления события ровно k раз в n независимых испытаниях используется асимптотическая формула Пуассона:
Значения при фиксированных k и λ можно найти с помощью таблицы.

Слайд 25

Слайд 26

Пример. Вероятность искажения одного символа при передаче сообщения по линии связи

равна 0,001. Сообщение считают принятым, если в нём отсутствуют искажения. Найти вероятность того, что будет принято сообщение, состоящее из 20 слов по 100 символов каждое.
Решение: Обозначим через А событие вероятность которого требуется найти в задаче. Переформулируем задачу в терминах схемы Бернулли n = 2000 - количество символов в сообщении;

Слайд 27

успех: символ не искажается, р = 0,001 -вероятность успеха; m =

0
Вычислим
λ = np = 2
или с помощью таблицы.

Слайд 28

Пример. Известно, что процент брака для некоторой детали равен 0,5%. Контролер

проверяет 1000 деталей. Какова вероятность обнаружить ровно 3 бракованные детали? Какова вероятность обнаружить не меньше трех бракованных деталей?
Решение. Имеем 1000 испытаний Бернулли с вероятностью «успеха» р = 0,005. Применяя пуассоновское приближение с λ= np = 5:

Слайд 29

Ответ: вероятность обнаружить ровно 3 бракованные детали равна 0,14;
обнаружить не

менее 3-х бракованных деталей 0,875.

Слайд 30

Пример (задача С. Пепайса). Пепайс предложил Ньютону следующую задачу. Какое из

событий более вероятно:
A = {появление по крайней мере одной шестерки при подбрасывании 6 костей},
B = { появление хотя бы двух шестерок при подбрасывании 12 костей} и
C = {появление не менее трех шестерок при бросании 18 костей}?

Слайд 31

Слайд 32