Устойчивость линейных систем автоматического регулирования

Август 6, 2022

Главная
Разное
Устойчивость линейных систем автоматического регулирования

Содержание

2. . 1) Понятие устойчивости линейных систем Устойчивость – это свойство системы возвращаться в исходный или близкий
3. . Устойчивую систему можно определить также как систему, переходные процессы в которой являются затухающими. Приведенное понятие
4. - общее решение уравнения (1) без правой части, т. е. с правой частью, равной нулю (свободная
5. . Общее решение однородного уравнения в случае простых (различных) корней характеристического уравнения можно записать 1) Понятие
6. . Необходимо и достаточно, чтобы все корни характеристического уравнения имели отрицательные вещественные части. Условием устойчивости системы
7. . 1. Вещественный корень. При λ1=-α1, y(t)=Ce-αt Очевидно, что при t→∝ это слагаемое будет «затухать. При
8. . 3. Комплексные корни. Комплексные корни бывают попарно сопряженными. При отрицательной вещественной части два корня, например
9. . 1) Понятие устойчивости линейных систем
10. Различают два основных типа границы устойчивости: 1) наличие нулевого корня; 2) наличие пары чисто мнимых корней.
11. Для суждения об устойчивости системы практически не требуется находить корней ее характеристического уравнения в связи с
12. – Критерий устойчивости Гурвица 2) Алгебраические критерии устойчивости Пусть имеем характеристический полином вида Полагаем, что Составим
13. Правила построения матрицы Гурвица: Первая строка содержит все нечетные коэффициенты до последнего, после чего строка заполняется
14. Условие устойчивости заключается в требовании положительности определителя Гурвица и всех его диагональных миноров. 2) Алгебраические критерии
15. 2) Алгебраические критерии устойчивости Для n = 3 Условия устойчивости сводятся к неравенствам: (10) (11) Для
16. Критерий устойчивости Гурвица в общем виде сводится к тому, что при положительности коэффициента при старшей степени
17. 2) Алгебраические критерии устойчивости Рассмотрим замкнутую систему Характеристический полином замкнутой системы имеет вид Матрица Гурвица
18. 2) Алгебраические критерии устойчивости Проверим графически с помощью Matab зависимость корней характеристического уравнения от коэффициента k.
19. 2) Алгебраические критерии устойчивости K=2 K=8 K=9
20. 2) Алгебраические критерии устойчивости Пример 2. Используя критерий Гурвица построить область устойчивости в плоскости параметров (K,
21. Граница между областью устойчивости и неустойчивости в плоскости параметров K и T2 определяется уравнениями: При заданных
22. 2) Алгебраические критерии устойчивости Система будет устойчивой при любых настройках и любых значениях K, лежащих ниже
23. Пример 3. Используя критерий Гурвица построить область устойчивости в плоскости параметров (K2, T2) при следующих данных:
24. Главная передаточная функция замкнутой системы Характеристическое уравнение функции имеет вид
25. Определитель Гурвица для системы 3– го порядка имеет вид Условия устойчивости замкнутой системы запишем следующим образом:
26. Из этих условий найдем коэффициента K2gr
27. Построим область устойчивости системы в плоскости параметров (K2, T2) %----------------------------------- t2=0:0.01:0.45; k2=(T1+t2)./(T1*t2*K1*K3); plot(t2,k2), grid on,hold on
29. 3) Критерий устойчивости Михайлова Рассмотрим характеристическое уравнение : (13) (14) а мнимая – нечетные степени частоты
30. 3) Критерий устойчивости Михайлова Если заданы все коэффициенты и определенное значение частоты ω, то величина D(jω)
31. 3) Критерий устойчивости Михайлова Формулировка критерия Михайлова. Автоматическая система управления, описываемая уравнениями п-го порядка будет устойчивой,
32. 3) Критерий устойчивости Михайлова Характеристические кривые, соответствующие устойчивым системам (рисунок б), имеют плавную спиралеобразную форму и
33. Пример 4: Оценить устойчивость системы по критерию Михайлова. Заменим s = jω, получим характеристический комплекс Приравнивая
34. 3) Критерий устойчивости Михайлова Пример 5: Найти критическое значение коэффициента усиления системы по критерию Михайлова. Характеристическое
35. Определяем частоту Частота, соответствующая колебательной границе устойчивости Подставляем в первое уравнение
36. 4) Критерий устойчивости Найквиста Критерий устойчивости Найквиста — это также частотный критерий, предложенный в 1932 г.
37. 1,4- устойчивые системы, 2- на границе устойчивости, 3- неустойчивая
38. 4) Критерий устойчивости Найквиста В случае астатической системы формулировка критерия Найквиста сохраняется, однако при этом возникает
40. 5) Определение устойчивости по логарифмическим характеристикам Для нормального функционирования система управления должна обладать и некоторыми запасами
41. 5) Определение устойчивости по логарифмическим характеристикам Запас устойчивости по фазe -значение фазы при -частота среза Запас
42. ЛАХ должна пересечь ось абсцисс раньше, чем фаза, спадая, окончательно перейдет за значение –π. На частоте
43. 5) Определение устойчивости по логарифмическим характеристикам Для систем, неустойчивых в разомкнутом состоянии, требования к ЛАХ и
44. Запас устойчивости по фазе определяется величиной Δφ, на которую должно возрасти запаздывание по фазе в системе
45. Приведем формулы, с помощью которых можно по известным исходным данным рассчитать запасы устойчивости, оценить влияние параметров
46. 5) Определение устойчивости по логарифмическим характеристикам Расчетные формулы для системы с астатизмом второго порядка и передаточной
47. 5) Определение устойчивости по логарифмическим характеристикам Расчетные формулы для системы с астатизмом второго порядка и передаточной
48. 5) Определение устойчивости по логарифмическим характеристикам Расчетные формулы для системы с астатизмом первого порядка и передаточной
49. Расчетные формулы для системы, передаточная функция которых содержит звено запаздывания Структурная схема системы управления объектом, динамическая
50. 5) Определение устойчивости по логарифмическим характеристикам Передаточная функция разомкнутой системы: частотная амплитудная характеристика: частотная фазовая характеристика:
51. Проверим графически влияние Kpeg на частотные характеристики звена
54. Скачать презентацию

Слайд 2

.
1) Понятие устойчивости линейных систем
Устойчивость – это свойство

системы возвращаться в исходный или близкий к нему установившийся режим после всякого выхода из него в результате какого-либо воздействия.

В случае устойчивой системы (б) переходный процесс, вызванный каким-либо воздействием, со временем затухает апериодически (кривая 1) или колебательно (кривая 2), и система вновь возвращается в установившееся состояние.
Если система неустойчива, то достаточно любого толчка, чтобы в ней начался расходящийся процесс ухода из исходного установившегося состояния.

Слайд 3

.
Устойчивую систему можно определить также как систему, переходные

процессы в которой являются затухающими.
Приведенное понятие устойчивости определяет устойчивость установившегося режима системы.
Линейная система автоматического управления называется устойчивой, если ее выходная координата у(t) остается ограниченной при любых ограниченных по абсолютной величине входных воздействиях х(t) и f(t).
Устойчивость линейной системы определяется ее характеристиками и не зависит от действующих воздействий.
Для определения устойчивости линейной системы требуется найти изменение ее управляемой величины.

1) Понятие устойчивости линейных систем

Слайд 4

- общее решение уравнения (1) без правой части,

т. е. с правой частью, равной нулю (свободная составляющая).

Процессы в системе описываются дифференциальным уравнением вида

(1)

Решение линейного неоднородного уравнения (1) в общем виде имеет вид

(2)

- частное решение неоднородного уравнения (1) с правой частью (вынужденная составляющая)

Слайд 5

.
Общее решение однородного уравнения в случае простых (различных)

корней характеристического уравнения можно записать

1) Понятие устойчивости линейных систем

где - корни характеристического уравнения,
Сi - произвольные постоянные, определяемые через начальные условия

Изменение начальных условий влияет только на поведение свободной составляющей и не влияет на вынужденную, откуда следует, что устойчивость будет определяться поведением свободной составляющей.
- асимптотически устойчивый процесс
- неустойчивый процесс
Если при любом свободная составляющая ограничена, то процессы будут просто устойчивы.

(3)

Слайд 6

.
Необходимо и достаточно, чтобы все корни характеристического уравнения

имели отрицательные вещественные части.
Условием устойчивости системы является расположение всех корней характеристического уравнения, т.е. полюсов передаточной функции системы, в левой комплексной полуплоскости или, все они должны быть левыми.

1) Понятие устойчивости линейных систем

Наличие корня на мнимой оси означает, что система находится на границе устойчивости.

Слайд 7

.
1. Вещественный корень.
При λ1=-α1, y(t)=Ce-αt
Очевидно, что при

t→∝ это слагаемое будет «затухать.
При λ1=α1, y(t)=Ceαt получим не затухающий, а расходящийся процесс .

1) Понятие устойчивости линейных систем

2. . Мнимые корни.
В этом случае λ1,2 = ± jβ.
Слагаемые, определяемые этими корнями, будут представлять собой незатухающие колебания, т.е. колебания с постоянной амплитудой

Слайд 8

.
3. Комплексные корни.
Комплексные корни бывают попарно сопряженными. При

отрицательной вещественной части два корня, например λ1 и λ2, будут иметь вид λ1,2 = –α ± jβ.
В этом случае слагаемые, определяемые этими корнями в уравнении (3), могут быть представлены в виде:

1) Понятие устойчивости линейных систем

Слайд 9

.

1) Понятие устойчивости линейных систем

Слайд 10

Различают два основных типа границы устойчивости:
1) наличие нулевого корня;
2) наличие пары

чисто мнимых корней.
На границе устойчивости первого типа вещественный корень попадает на границу устойчивости (ось мнимых) в начале координат.
Система будет устойчивой не относительно регулируемой величины Х, а относительно скорости ее изменения рХ. Величина же отклонения регулируемой величины может принимать произвольные значения. Такую систему называют нейтрально устойчивой, имея в виду её безразличие к значению самой регулируемой величины.
На границе устойчивости второго типа, которая называется колебательной границей устойчивости, два корня попадают на мнимую ось. Система в этом случае будет иметь незатухающие гармонические колебания с постоянной амплитудой

1) Понятие устойчивости линейных систем

Слайд 11

Для суждения об устойчивости системы практически не требуется находить корней ее

характеристического уравнения в связи с тем, что разработаны косвенные признаки, по которым можно судить о знаках действительных частей этих корней и тем самым об устойчивости системы, не решая самого характеристического уравнения.
Эти косвенные признаки называются критериями устойчивости.
Критерии устойчивости делятся на две группы:
Алгебраические
Частотные.

2) Алгебраические критерии устойчивости

Слайд 12

– Критерий устойчивости Гурвица
2) Алгебраические критерии устойчивости
Пусть имеем характеристический полином вида
Полагаем,

что

Составим из коэффициентов этого полинома определитель

(4)

(5)

Слайд 13

Правила построения матрицы Гурвица:
Первая строка содержит все нечетные коэффициенты до последнего,

после чего строка заполняется до положительного числа n элементов нулями.
Вторая строка включает все четные коэффициенты и тоже заканчивается нулями.
Третья строка получается из первой, а четвертая – из второй сдвигом вправо на один элемент
На освободившееся при этом слева место ставится нуль. Аналогично сдвигом вправо на элемент получаются все последующие нечетные и четные строки из предыдущих одноименных строк.
По диагонали от левого верхнего до правого нижнего углов выписываются все коэффициенты по порядку от а1 до аn.

2) Алгебраические критерии устойчивости

Слайд 14

Условие устойчивости заключается в требовании положительности определителя Гурвица и всех его

диагональных миноров.

2) Алгебраические критерии устойчивости

Для n = 1

Условия устойчивости сводятся к неравенствам:

(6)

(7)

Для n = 2

(8)

Условия устойчивости:

(9)

Слайд 15

2) Алгебраические критерии устойчивости
Для n = 3
Условия устойчивости сводятся к неравенствам:
(10)
(11)
Для

n = 4

Условия устойчивости:

(12)

Слайд 16

Критерий устойчивости Гурвица в общем виде сводится к тому, что при

положительности коэффициента при старшей степени a0 характеристического полинома должны быть больше нуля все n квадратичных определителей Гурвица, если хотя бы один из определителей меньше нуля, то система будет не устойчивой.
Если определитель Δn=0, то система находится на границе устойчивости.
Из условия Δn-1=0 можно определить параметры, при которых система находится на границе устойчивости.
Существенным недостатком алгебраических критериев является то, что для уравнений высоких порядков в лучшем случае можно получить ответ о том, устойчива или не устойчива система автоматического регулирования.
При этом в случае неустойчивой системы критерий не дает ответа на то, каким образом надо изменить параметры системы, чтобы сделать её устойчивой.

2) Алгебраические критерии устойчивости

Слайд 17

2) Алгебраические критерии устойчивости
Рассмотрим замкнутую систему
Характеристический полином замкнутой системы имеет вид
Матрица

Гурвица

Слайд 18

2) Алгебраические критерии устойчивости
Проверим графически с помощью Matab зависимость корней характеристического

уравнения от коэффициента k.

Слайд 19

2) Алгебраические критерии устойчивости
K=2
K=8
K=9

Слайд 20

2) Алгебраические критерии устойчивости
Пример 2. Используя критерий Гурвица построить область устойчивости

в плоскости параметров (K, T2) при следующих данных: Т1 = 0,25 с; Т3 = 0,1 с; ΔТ2 = 0,05Т2; коэффициент запаса устойчивости α = 3.

Характеристический полином замкнутой системы имеет вид

Условие устойчивости:

Слайд 21

Граница между областью устойчивости и неустойчивости в плоскости параметров K и

T2 определяется уравнениями:

При заданных исходных
данных имеем:

Граница устойчивости:

Слайд 22

2) Алгебраические критерии устойчивости
Система будет устойчивой при любых настройках
и любых

значениях K, лежащих ниже значений

При любых других значениях T2 и K система неустойчива.
Система склонна к неустойчивости при значениях коэффициента K близких к граничным и при неблагоприятных изменениях постоянных времени T1 и T3 может потерять устойчивость.
На номограммах выделяют область допустимых значений параметров, при которых в реальной системе гарантируется соблюдение условий устойчивости.

Слайд 23

Пример 3. Используя критерий Гурвица построить область устойчивости в плоскости параметров

(K2, T2) при следующих данных: Т1 = 0,25 с; Т2 = 0,4 с; K1= 4, K3= 1.

Передаточная функция разомкнутой системы определяется по выражению

Слайд 24

Главная передаточная функция замкнутой системы
Характеристическое уравнение функции имеет вид

Слайд 25

Определитель Гурвица для системы 3– го порядка имеет вид
Условия устойчивости замкнутой

системы запишем следующим образом:

Слайд 26

Из этих условий найдем коэффициента K2gr

Слайд 27

Построим область устойчивости системы в плоскости параметров (K2, T2)
%-----------------------------------
t2=0:0.01:0.45;
k2=(T1+t2)./(T1t2K1*K3);
plot(t2,k2), grid

on,hold on
plot(T2,K2_gr,'or')
gtext(['K2_gr= ',num2str(K2_gr)])

Слайд 28

Слайд 29

3) Критерий устойчивости Михайлова
Рассмотрим характеристическое уравнение :
(13)
(14)
а мнимая – нечетные

степени частоты

(15)

Подставим в этот полином чисто мнимое значение s = jω, где ω представляет собой угловую частоту колебаний, соответствующих чисто мнимому корню характеристического решения.
В этом случае получим характеристический комплекс

где вещественная часть будет содержать четные степени частоты

Слайд 30

3) Критерий устойчивости Михайлова
Если заданы все коэффициенты и определенное значение частоты

ω, то величина D(jω) изобразится на комплексной плоскости в виде точки с координатами U и V или в виде вектора, соединяющего эту точку с началом координат.
Если же значение частоты ω менять непрерывно от нуля до бесконечности, то вектор будет изменяться по величине и направлению, описывая своим концом некоторую кривую (годограф), которая называется кривой Михайлова .

Слайд 31

3) Критерий устойчивости Михайлова
Формулировка критерия Михайлова.
Автоматическая система управления, описываемая уравнениями

п-го порядка будет устойчивой, если при изменении частоты от 0 до ∞ характеристический вектор системы (годограф Михайлова) повернется против часовой стрелки на угол n (π / 2), не обращаясь при этом в нуль.
Для устойчивости линейной САР необходимо и достаточно, чтобы годограф Михайлова при изменении частоты от нуля до бесконечности, начавшись на положительной полуплоскости и не пересекая начала координат, последовательно пересек столько квадрантов комплексной плоскости, какой порядок имеет полином характеристического уравнения системы.

Слайд 32

3) Критерий устойчивости Михайлова
Характеристические кривые, соответствующие устойчивым системам (рисунок б), имеют

плавную спиралеобразную форму и уходят в бесконечность в том квадранте, номер которого равен порядку уравнения.
Если характеристическая кривая проходит п квадрантов не последовательно или проходит меньшее число квадрантов, то система неустойчива (рисунок в).

Слайд 33

Пример 4: Оценить устойчивость системы по критерию Михайлова.
Заменим s = jω, получим

характеристический комплекс

Приравнивая поочередно четную нечетную функции нулю, находим частоты 1,41 и 1,73, соответствующие пересечению кривой с осями координат.

Характеристическое уравнение имеет вид

Слайд 34

3) Критерий устойчивости Михайлова
Пример 5: Найти критическое значение коэффициента усиления системы

по критерию Михайлова.

Характеристическое уравнение имеет вид

Заменим s = jω, получим характеристический комплекс

Условия нахождения САУ на границе устойчивости

Слайд 35

Определяем частоту
Частота, соответствующая колебательной границе устойчивости
Подставляем в первое уравнение

Слайд 36

4) Критерий устойчивости Найквиста
Критерий устойчивости Найквиста — это также частотный критерий,

предложенный в 1932 г. Найквистом. Он позволяет судить об устойчивости замкнутой системы управления по виду АФЧХ разомкнутой системы.:

Кpитepий Hайквиста.
Если разомкнутая система автоматического управления имеет l правых корней, то для того, чтобы замкнутая система была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы АФЧХ разомкнутой системы W(jω) при изменении частоты ω от -∞ до +∞ охватывала точку (–1, j0) на комплексной плоскости в положительном направлении l раз.
Частный случай критерия Найквиста относится к системе, устойчивой в разомкнутом состоянии (l = 0). При этом годограф не должен охватывать точку (–1, j0).

Слайд 37

1,4- устойчивые системы, 2- на границе устойчивости, 3- неустойчивая

Слайд 38

4) Критерий устойчивости Найквиста
В случае астатической системы формулировка критерия Найквиста сохраняется,

однако при этом возникает проблема понятия охвата и неохвата точки (–1, j0), так как при ω —>0 годограф W(jω) уходит в бесконечность и кривая W(jω) не является замкнутой.
В этом случае АФЧХ дополняется дугой бесконечного радиуса по часовой стрелке и после этого проверяется выполнение условия критерия Найквиста.

Слайд 39

Слайд 40

5) Определение устойчивости по логарифмическим характеристикам
Для нормального функционирования система управления должна

обладать и некоторыми запасами устойчивости, т. е. при изменении параметров системы в процессе работы свойство устойчивости должно сохраняться.
Чем дальше находится кривая от точки (–1, j0), тем система будет находиться дальше от границы устойчивости.
Числовые величины, характеризующие это свойство, носят название запасов устойчивости и могут быть введены различными способами.
Запас устойчивости по фазе
Запас устойчивости по амплитуде

Слайд 41

5) Определение устойчивости по логарифмическим характеристикам
Запас устойчивости по фазe
-значение фазы при

-частота среза

Запас устойчивости по амплитуде ΔА

- величина отрезка оси абсцисс между критической точкой (-1, j0) и точкой C пересечения W(jω) с осью абсцисс, где

Слайд 42

ЛАХ должна пересечь ось абсцисс раньше, чем фаза, спадая, окончательно перейдет

за значение –π.
На частоте среза ωс величина фазы должна быть меньше π.

Слайд 43

5) Определение устойчивости по логарифмическим характеристикам
Для систем, неустойчивых в разомкнутом состоянии,

требования к ЛАХ и ЛФХ в отношении устойчивости можно сформулировать, исходя из соответствующих требований к АФЧХ. В частности, для систем, неустойчивых в разомкнутом состоянии, условием устойчивости в замкнутом состоянии является следующее:
При положительной ЛАХ число пересечений ЛФХ уровня –π снизу вверх должно быть на k/2 раз больше числа пересечений в обратном направлении.

Слайд 44

Запас устойчивости по фазе определяется величиной Δφ, на которую должно возрасти

запаздывание по фазе в системе на частоте среза ωс, чтобы система оказалась на границе устойчивости.
Запас устойчивости по амплитуде определяется величиной ΔL допустимого подъема ЛАХ, при котором система окажется на границе устойчивости. Таким образом, запас по амплитуде представляет собой запас по коэффициенту передачи k разомкнутой системы по отношению к его критическому по устойчивости значению.
При проектировании САУ рекомендуется выбирать Δφ ≥ 30о, ΔL ≥ 6 дБ.

Слайд 45

Приведем формулы, с помощью которых можно по известным исходным данным рассчитать

запасы устойчивости, оценить влияние параметров разомкнутой системы на эти запасы.
Расчетные формулы для системы с астатизмом второго порядка и передаточной функцией
Расчетные формулы для системы с астатизмом второго порядка и передаточной функцией
Расчетные формулы для системы с астатизмом первого порядка и передаточной функцией

Слайд 46

5) Определение устойчивости по логарифмическим характеристикам
Расчетные формулы для системы с астатизмом

второго порядка и передаточной функцией

Амплитудная частотная характеристика:

Базовая частота:

Фазовая частотная характеристика:

Частота среза при

при

Запас устойчивости по фазе:

Слайд 47

5) Определение устойчивости по логарифмическим характеристикам
Расчетные формулы для системы с астатизмом

второго порядка и передаточной функцией:

Амплитудная частотная характеристика:

Базовая частота:

Фазовая частотная характеристика:

Запас устойчивости по фазе:

Слайд 48

5) Определение устойчивости по логарифмическим характеристикам
Расчетные формулы для системы с астатизмом

первого порядка и передаточной функцией

Амплитудная частотная характеристика:

Базовая частота:

Фазовая частотная характеристика:

Запас устойчивости по фазе:

Частота среза

Слайд 49

Расчетные формулы для системы, передаточная функция которых содержит звено запаздывания
Структурная схема

системы управления объектом, динамическая характеристика которого аппроксимирована передаточной функцией с параметрами Kоб, Тоб и .
В устройстве управления реализован интегральный закон регулирования с параметрами настройки Kрег.

Слайд 50

5) Определение устойчивости по логарифмическим характеристикам
Передаточная функция разомкнутой системы:
частотная амплитудная

характеристика:

частотная фазовая характеристика:

частота среза:

запас устойчивости по фазе:

Слайд 51

Проверим графически влияние Kpeg на частотные характеристики звена

Слайд 52

Устойчивость линейных систем автоматического регулирования

Содержание

.1) Понятие устойчивости линейных системУстойчивость – это свойство

.Устойчивую систему можно определить также как систему, переходные

- общее решение уравнения (1) без правой части,

.Общее решение однородного уравнения в случае простых (различных)

.Необходимо и достаточно, чтобы все корни характеристического уравнения

.1. Вещественный корень. При λ1=-α1, y(t)=Ce-αt Очевидно, что при

.3. Комплексные корни. Комплексные корни бывают попарно сопряженными. При

. 1) Понятие устойчивости линейных систем

Различают два основных типа границы устойчивости:1) наличие нулевого корня;2) наличие пары

Для суждения об устойчивости системы практически не требуется находить корней ее

– Критерий устойчивости Гурвица2) Алгебраические критерии устойчивостиПусть имеем характеристический полином видаПолагаем,

Правила построения матрицы Гурвица:Первая строка содержит все нечетные коэффициенты до последнего,

Условие устойчивости заключается в требовании положительности определителя Гурвица и всех его

2) Алгебраические критерии устойчивостиДля n = 3Условия устойчивости сводятся к неравенствам:(10)(11)Для

Критерий устойчивости Гурвица в общем виде сводится к тому, что при

2) Алгебраические критерии устойчивостиРассмотрим замкнутую системуХарактеристический полином замкнутой системы имеет видМатрица

2) Алгебраические критерии устойчивостиПроверим графически с помощью Matab зависимость корней характеристического

2) Алгебраические критерии устойчивостиK=2K=8K=9

2) Алгебраические критерии устойчивостиПример 2. Используя критерий Гурвица построить область устойчивости

Граница между областью устойчивости и неустойчивости в плоскости параметров K и

2) Алгебраические критерии устойчивостиСистема будет устойчивой при любых настройках и любых

Пример 3. Используя критерий Гурвица построить область устойчивости в плоскости параметров

Главная передаточная функция замкнутой системыХарактеристическое уравнение функции имеет вид

Определитель Гурвица для системы 3– го порядка имеет видУсловия устойчивости замкнутой

Из этих условий найдем коэффициента K2gr

Построим область устойчивости системы в плоскости параметров (K2, T2) %-----------------------------------t2=0:0.01:0.45;k2=(T1+t2)./(T1*t2*K1*K3);plot(t2,k2), grid

3) Критерий устойчивости МихайловаРассмотрим характеристическое уравнение : (13)(14)а мнимая – нечетные

3) Критерий устойчивости МихайловаЕсли заданы все коэффициенты и определенное значение частоты

3) Критерий устойчивости МихайловаФормулировка критерия Михайлова. Автоматическая система управления, описываемая уравнениями

3) Критерий устойчивости МихайловаХарактеристические кривые, соответствующие устойчивым системам (рисунок б), имеют

Пример 4: Оценить устойчивость системы по критерию Михайлова. Заменим s = jω, получим

3) Критерий устойчивости МихайловаПример 5: Найти критическое значение коэффициента усиления системы

Определяем частоту Частота, соответствующая колебательной границе устойчивостиПодставляем в первое уравнение

4) Критерий устойчивости НайквистаКритерий устойчивости Найквиста — это также частотный критерий,

1,4- устойчивые системы, 2- на границе устойчивости, 3- неустойчивая

4) Критерий устойчивости НайквистаВ случае астатической системы формулировка критерия Найквиста сохраняется,

5) Определение устойчивости по логарифмическим характеристикамДля нормального функционирования система управления должна

5) Определение устойчивости по логарифмическим характеристикамЗапас устойчивости по фазe-значение фазы при

ЛАХ должна пересечь ось абсцисс раньше, чем фаза, спадая, окончательно перейдет

5) Определение устойчивости по логарифмическим характеристикамДля систем, неустойчивых в разомкнутом состоянии,

Запас устойчивости по фазе определяется величиной Δφ, на которую должно возрасти

Приведем формулы, с помощью которых можно по известным исходным данным рассчитать

5) Определение устойчивости по логарифмическим характеристикамРасчетные формулы для системы с астатизмом

5) Определение устойчивости по логарифмическим характеристикамРасчетные формулы для системы с астатизмом

5) Определение устойчивости по логарифмическим характеристикамРасчетные формулы для системы с астатизмом

Расчетные формулы для системы, передаточная функция которых содержит звено запаздыванияСтруктурная схема

5) Определение устойчивости по логарифмическим характеристикамПередаточная функция разомкнутой системы: частотная амплитудная

Проверим графически влияние Kpeg на частотные характеристики звена

Похожие презентации

.
1) Понятие устойчивости линейных систем
Устойчивость – это свойство

.
Устойчивую систему можно определить также как систему, переходные

.
Общее решение однородного уравнения в случае простых (различных)

.
Необходимо и достаточно, чтобы все корни характеристического уравнения

.
1. Вещественный корень.
При λ1=-α1, y(t)=Ce-αt
Очевидно, что при

.
3. Комплексные корни.
Комплексные корни бывают попарно сопряженными. При

.

1) Понятие устойчивости линейных систем

Различают два основных типа границы устойчивости:
1) наличие нулевого корня;
2) наличие пары

– Критерий устойчивости Гурвица
2) Алгебраические критерии устойчивости
Пусть имеем характеристический полином вида
Полагаем,

Правила построения матрицы Гурвица:
Первая строка содержит все нечетные коэффициенты до последнего,

2) Алгебраические критерии устойчивости
Для n = 3
Условия устойчивости сводятся к неравенствам:
(10)
(11)
Для

2) Алгебраические критерии устойчивости
Рассмотрим замкнутую систему
Характеристический полином замкнутой системы имеет вид
Матрица

2) Алгебраические критерии устойчивости
Проверим графически с помощью Matab зависимость корней характеристического

2) Алгебраические критерии устойчивости
K=2
K=8
K=9

2) Алгебраические критерии устойчивости
Пример 2. Используя критерий Гурвица построить область устойчивости

2) Алгебраические критерии устойчивости
Система будет устойчивой при любых настройках
и любых

Главная передаточная функция замкнутой системы
Характеристическое уравнение функции имеет вид

Определитель Гурвица для системы 3– го порядка имеет вид
Условия устойчивости замкнутой

Построим область устойчивости системы в плоскости параметров (K2, T2)
%-----------------------------------
t2=0:0.01:0.45;
k2=(T1+t2)./(T1t2K1*K3);
plot(t2,k2), grid

3) Критерий устойчивости Михайлова
Рассмотрим характеристическое уравнение :
(13)
(14)
а мнимая – нечетные

3) Критерий устойчивости Михайлова
Если заданы все коэффициенты и определенное значение частоты

3) Критерий устойчивости Михайлова
Формулировка критерия Михайлова.
Автоматическая система управления, описываемая уравнениями

3) Критерий устойчивости Михайлова
Характеристические кривые, соответствующие устойчивым системам (рисунок б), имеют

Пример 4: Оценить устойчивость системы по критерию Михайлова.
Заменим s = jω, получим

3) Критерий устойчивости Михайлова
Пример 5: Найти критическое значение коэффициента усиления системы

Определяем частоту
Частота, соответствующая колебательной границе устойчивости
Подставляем в первое уравнение

4) Критерий устойчивости Найквиста
Критерий устойчивости Найквиста — это также частотный критерий,

4) Критерий устойчивости Найквиста
В случае астатической системы формулировка критерия Найквиста сохраняется,

5) Определение устойчивости по логарифмическим характеристикам
Для нормального функционирования система управления должна

5) Определение устойчивости по логарифмическим характеристикам
Запас устойчивости по фазe
-значение фазы при

5) Определение устойчивости по логарифмическим характеристикам
Для систем, неустойчивых в разомкнутом состоянии,

5) Определение устойчивости по логарифмическим характеристикам
Расчетные формулы для системы с астатизмом

5) Определение устойчивости по логарифмическим характеристикам
Расчетные формулы для системы с астатизмом

5) Определение устойчивости по логарифмическим характеристикам
Расчетные формулы для системы с астатизмом

Расчетные формулы для системы, передаточная функция которых содержит звено запаздывания
Структурная схема

5) Определение устойчивости по логарифмическим характеристикам
Передаточная функция разомкнутой системы:
частотная амплитудная