Численные методы решения нелинейных уравнений с одним неизвестным

Сентябрь 3, 2022

Главная
Алгебра
Численные методы решения нелинейных уравнений с одним неизвестным

Содержание

2. Определение нелинейного уравнения В общем виде нелинейное уравнение с одним неизвестным можно записать в виде Y(x)
3. а) Алгебраическими называются уравнения Y(x)=0, которые могут быть представлены в форме канонического полинома: Типы нелинейных уравнений:
4. Примеры трансцендентных уравнений: Любимов Е.Б.
5. Решением или корнем уравнения Y(x)=0 (1) называется значения аргумента х, обращающее равенство (1) в тождество. Любимов
6. Методы решения нелинейных уравнений Аналитические (прямые, точные) методы решения: Методы, позволяющие записать решение уравнения в виде
7. Аналитические решения могут быть получены для алгебраических уравнений не выше четвертой степени и для некоторых видов
8. Алгебраические уравнения, имеющие аналитические решения: линейные уравнения: a*x+b=0 (или a0 + a1*x = 0); квадратные уравнения:
9. Итерационные методы – методы последовательных приближений, реализуют алгоритмы, обеспечивающие нахождение решения за несколько последовательно выполняемых шагов
10. Общий подход к решению нелинейных уравнений Решение нелинейных уравнений численными методами обычно осуществляется в два этапа:
11. Признак нахождения корня в интервале [a; b] Y(a)*Y(b) Обычно решение считается найденным, если | Y(xi) |
12. ε -ε Любимов Е.Б.
13. График исследуемой функции Любимов Е.Б.
14. График функции с точкой разрыва Любимов Е.Б.
15. 1a) интервал допустимых изменений аргумента x Є [-∞; +∞]; 1б) В интервале изменения функции Y(x) могут
16. Область допустимых значений аргумента Х(-∞;+∞); Любимов Е.Б.
17. 1-й корень Є(-2,5; -2,25); Y(-2,5) = -0,1250; Y(-2,25) = 2,8594 2-й корень Є(0,5;0,75); Y(0,5) = 0,6250;
18. Начальный интервал нахождения корня [a0;b0]: Y(a0)*Y(b0) Алгоритм метода дихотомии (деление пополам) Любимов Е.Б.
19. Реализация метода дихотомии в среде MS Excel Уточнение 2-го корня уравнения F(x)=X3-5X+3 методом дихотомии заголовок таблицы:
20. Формулы изменения граничных значений аi и bi по правилу метода дихотомии Заголовок, первая и вторая строки
21. Заголовок, первая и вторая строки таблицы (столбцы от F до J) d - длина интервала неопределённости
22. Результаты решения уравнения методом дихотомии Любимов Е.Б.
23. Блок-схема алгоритма уточнения корней методом дихотомии Любимов Е.Б.
24. ' Текст функции Dihotomia с отладочными выводами Public Function Dihotomia(a As Double, b As Double, _
25. i = 1 ' вход в цикл определения корня Do ' While ((Abs(b - a) >
26. Fm = Fa: Xm = a ' определение точки Xm с наименьшим Y(Xm) If (Abs(Fm) >
27. Результаты выполнения табличного решения и решения, полученного при обращении к функции Dihotomia() Любимов Е.Б.
28. Метод хорд Уравнение прямой, проходящей через точки Y(a) и Y(b): Точка пересечения этой прямой с осью
29. Завершение процесса уточнения корня Любимов Е.Б.
30. Любимов Е.Б.
31. Реализация метода хорд в среде MS Excel Уточнение 2-го корня уравнения F(x)=X3-5X+3 методом дихотомии заголовок таблицы:
32. Любимов Е.Б. Формулы реализации метода хорд в среде MS Excel столбцы от E до J
33. Уточнение значения наименьшего из корней уравнения F(x)=X3-5X+3 методом хорд при выборе начального интервала неопределённости [-3; -1]
35. Скачать презентацию

Слайд 2

Определение нелинейного уравнения
В общем виде нелинейное уравнение с одним неизвестным можно

записать в виде
Y(x) = 0, (1)
где х - действительное число,
а Y(x) - нелинейная функция.

Любимов Е.Б.

Слайд 3

а) Алгебраическими называются уравнения Y(x)=0, которые могут быть представлены в форме

канонического полинома:

Типы нелинейных уравнений:

где x – аргумент функции Y(x),
a0, a1, a2, …, an – коэффициенты уравнения .

б) Трансцендентными ("конечными") называются уравнения неприводимые к виду алгебраических, в которых функция Y(x) содержит тригонометрические, показательные, логарифмические и другие функции, не являющиеся алгебраическими.

Любимов Е.Б.

Слайд 4

Примеры трансцендентных уравнений:
Любимов Е.Б.

Слайд 5

Решением или корнем уравнения
Y(x)=0 (1)
называется значения аргумента х, обращающее равенство

(1) в тождество.

Любимов Е.Б.

Слайд 6

Методы решения нелинейных уравнений
Аналитические (прямые, точные) методы решения:
Методы, позволяющие записать решение

уравнения в виде некоторого соотношения (формулы).
Значения аналитических решений вычисляются за конечное число арифметических операций.
2. Итерационные методы позволяют получить приближенные значения корней с любой заданной точностью.
Число операций, необходимых для этого, не может быть определено заранее.

Любимов Е.Б.

Слайд 7

Аналитические решения могут быть получены для алгебраических уравнений не выше четвертой

степени и для некоторых видов трансцендентных уравнений

Алгебраические уравнения
(2)

Любимов Е.Б.

Слайд 8

Алгебраические уравнения, имеющие аналитические решения:
линейные уравнения: ax+b=0 (или a0 + a1x

= 0);
квадратные уравнения: a*x2+b*x + c=0 (или a0 + a1*x + a2*x2= 0);
кубичные уравнения: a0 + a1*x + a2*x2 + a3*x3 = 0 ;
уравнения четвертой степени: a0 +a1x + a2*x2 + a3*x3 + a4*x4 = 0.

Любимов Е.Б.

Слайд 9

Итерационные методы – методы последовательных приближений, реализуют алгоритмы, обеспечивающие нахождение решения

за несколько последовательно выполняемых шагов - итераций.
Число шагов итерации заранее не известно.
На каждом шаге итеративного процесса точность решения увеличивается.

Любимов Е.Б.

Слайд 10

Общий подход к решению нелинейных уравнений
Решение нелинейных уравнений численными методами обычно

осуществляется в два этапа:
1 этап – отделение (локализация) корней :
анализ функции - определение интервала(ов) допустимых изменений значений аргумента X функции (X0, Xk);
выделение на определённом(ых) в анализе интервале(ах) изменения аргумента [X0, Xk] подынтервалов [xi,xj], содержащих по одному корню.
2 этап - уточнение корня на выбранном промежутке [xi,xj], содержащем один корень.

Любимов Е.Б.

Слайд 11

Признак нахождения корня в интервале [a; b]
Y(a)*Y(b) <=0 (3)
Обычно решение считается

найденным, если
| Y(xi) | ≤ ε , (4)
либо, если
|(xi+1-xi)| ≤ δ, (5)
где ε и δ - некоторые положительные вещественные константы.

Любимов Е.Б.

Слайд 12

ε
-ε
Любимов Е.Б.

Слайд 13

График исследуемой функции
Любимов Е.Б.

Слайд 14

График функции с точкой разрыва
Любимов Е.Б.

Слайд 15

1a) интервал допустимых изменений аргумента x Є [-∞; +∞];
1б) В

интервале изменения функции Y(x) могут находиться один или три вещественных корня.

Пример. Выполнить предварительный анализ функции

Любимов Е.Б.

Слайд 16

Область допустимых значений аргумента
Х(-∞;+∞);
Любимов Е.Б.

Слайд 17

1-й корень Є(-2,5; -2,25);
Y(-2,5) = -0,1250; Y(-2,25) = 2,8594
2-й корень Є(0,5;0,75);
Y(0,5)

= 0,6250; Y(0,75) = -0,3281
3-й корень Є(1,75; 2,00);
Y(1,75) = -0,3906; Y(2,00) =1,0000

Любимов Е.Б.

Слайд 18

Начальный интервал нахождения корня [a0;b0]: Y(a0)*Y(b0)<0
Алгоритм метода дихотомии (деление пополам)
Любимов Е.Б.

Слайд 19

Реализация метода дихотомии в среде MS Excel
Уточнение 2-го корня уравнения F(x)=X3-5X+3

методом дихотомии заголовок таблицы: a0=0,5; b0= 0,75; ε = δ = 0,001

Формирование заголовка и первой строки таблицы (столбцы от А до F)

Ссылки на ячейки со значениями параметров а0 и b0

Формулы для вычисления значений Хср, F(a), F(b) и F(Xcp)

Любимов Е.Б.

Слайд 20

Формулы изменения граничных значений аi и bi по правилу метода дихотомии
Заголовок,

первая и вторая строки таблицы (столбцы от А до F)

Любимов Е.Б.

Слайд 21

Заголовок, первая и вторая строки таблицы (столбцы от F до

d - длина интервала
неопределённости

(d<ε)∩(|F(Xcp)|<=δ

Вывод сообщения о результате выполнения очередного шага итерационного процесса:
* - выводится, если решение ещё не получено;
текст "корень" и его значение

Любимов Е.Б.

Слайд 22

Результаты решения уравнения методом дихотомии
Любимов Е.Б.

Слайд 23

Блок-схема алгоритма уточнения корней методом дихотомии
Любимов Е.Б.

Слайд 24

' Текст функции Dihotomia с отладочными выводами
Public Function Dihotomia(a As Double,

b As Double, _
eps As Double, delta As Double) As Double
Dim i As Integer ' счётчик числа итераций
Dim c As Double, Fa As Double, Fb As Double, Fc As Double
Dim Fm As Double, Xm As Double
Fa = Y(a): Fb = Y(b)
If Fa * Fb > 0 Then
MsgBox ("Начальный выбор интервала [a,b] сделан _ неверно")
Exit Function
End If

Любимов Е.Б.

Слайд 25

i = 1 ' вход в цикл определения корня
Do

' While ((Abs(b - a) > eps) And (Abs(Fm) > delta))
c = (a + b) / 2: Fc = Y(c):
' MsgBox "i= " & i & " c= " & c & "; Fc= " & Fc
' выполнение шага метода дихотомии
If Fa * Fc < 0 Then b = c Else a = c
' вычисление новых значений функции на границах интервала
Fa = Y(a): Fb = Y(b):
' MsgBox "i= " & i & " | a=" & a & " ; Fa=" & Fa & _
' " | b=" & b & " ; Fb=" & Fb
i = i + 1
' выбор точки с наименьшим значением F(X)
c = (a + b) / 2: Fc = Y(c):
' MsgBox "i= " & i & " | a=" & a & " ; Fa=" & Fa & " | b=" & b _
& " ; Fb=" & Fb & " | c=" & c & " ; Fc=" & Fc

Любимов Е.Б.

Слайд 26

Fm = Fa: Xm = a ' определение точки Xm

с наименьшим Y(Xm)
If (Abs(Fm) > Abs(Fb)) Then
Xm = b: Fm = Y(Xm)
End If
If (Abs(Fm) > Abs(Fc)) Then
Xm = c: Fm = Y(Xm)
End If
If ((Abs(b - a) < eps) And (Abs(Fm) > delta * 100)) Then GoTo E
' MsgBox "i= " & i & " | корень Xm=" & Xm & " ; F(Хm) =" & Fm
Loop Until ((Abs(b - a) < eps) And (Abs(Fm) <= delta)): GoTo E1
E: MsgBox " Вероятная точка разрыва "
E1: 'MsgBox "число итераций i= " & i & " | Xm=" & Xm & _
" | Fm= " & Fm
Dihotomia = Xm
End Function

Любимов Е.Б.

Слайд 27

Результаты выполнения табличного решения и решения, полученного при обращении к функции

Dihotomia()

Любимов Е.Б.

Слайд 28

Метод хорд
Уравнение прямой, проходящей через точки Y(a) и Y(b):
Точка пересечения этой

прямой с осью абсцисс (х=х1, y=0):

Выбор интервала для продолжения итерационного процесса:

Y(a)

Любимов Е.Б.

Слайд 29

Завершение процесса уточнения корня
Любимов Е.Б.

Слайд 30

Любимов Е.Б.

Слайд 31

Реализация метода хорд в среде MS Excel
Уточнение 2-го корня уравнения F(x)=X3-5X+3

методом дихотомии заголовок таблицы: a0=-1; b0= -2,25; ε = δ = 0,001

Формирование заголовка, первой и второй строк таблицы (столбцы от А до F)

Ссылки на ячейки со значениями параметров а0 и b0

Формулы для вычисления значений Y(a), Y(b), Хi и Y(Хi )

Любимов Е.Б.

Слайд 32

Любимов Е.Б.
Формулы реализации метода хорд в среде MS Excel столбцы от

E до J

Слайд 33

Уточнение значения наименьшего из корней уравнения F(x)=X3-5X+3 методом хорд при выборе

начального интервала неопределённости [-3; -1]

Любимов Е.Б.

Численные методы решения нелинейных уравнений с одним неизвестным

Содержание

Определение нелинейного уравненияВ общем виде нелинейное уравнение с одним неизвестным можно

а) Алгебраическими называются уравнения Y(x)=0, которые могут быть представлены в форме

Примеры трансцендентных уравнений: Любимов Е.Б.

Решением или корнем уравнения Y(x)=0 (1) называется значения аргумента х, обращающее равенство

Методы решения нелинейных уравненийАналитические (прямые, точные) методы решения:Методы, позволяющие записать решение

Аналитические решения могут быть получены для алгебраических уравнений не выше четвертой

Алгебраические уравнения, имеющие аналитические решения:линейные уравнения: a*x+b=0 (или a0 + a1*x

Итерационные методы – методы последовательных приближений, реализуют алгоритмы, обеспечивающие нахождение решения

Общий подход к решению нелинейных уравнений Решение нелинейных уравнений численными методами обычно

Признак нахождения корня в интервале [a; b]Y(a)*Y(b) <=0 (3)Обычно решение считается

ε-εЛюбимов Е.Б.

График исследуемой функцииЛюбимов Е.Б.

График функции с точкой разрыва Любимов Е.Б.

1a) интервал допустимых изменений аргумента x Є [-∞; +∞]; 1б) В

Область допустимых значений аргумента Х(-∞;+∞);Любимов Е.Б.

1-й корень Є(-2,5; -2,25);Y(-2,5) = -0,1250; Y(-2,25) = 2,85942-й корень Є(0,5;0,75);Y(0,5)

Начальный интервал нахождения корня [a0;b0]: Y(a0)*Y(b0)<0 Алгоритм метода дихотомии (деление пополам) Любимов Е.Б.

Реализация метода дихотомии в среде MS ExcelУточнение 2-го корня уравнения F(x)=X3-5X+3

Формулы изменения граничных значений аi и bi по правилу метода дихотомии Заголовок,

Заголовок, первая и вторая строки таблицы (столбцы от F до

Результаты решения уравнения методом дихотомииЛюбимов Е.Б.

Блок-схема алгоритма уточнения корней методом дихотомии Любимов Е.Б.

' Текст функции Dihotomia с отладочными выводамиPublic Function Dihotomia(a As Double,

i = 1 ' вход в цикл определения корня Do

Fm = Fa: Xm = a ' определение точки Xm

Результаты выполнения табличного решения и решения, полученного при обращении к функции

Метод хордУравнение прямой, проходящей через точки Y(a) и Y(b):Точка пересечения этой

Завершение процесса уточнения корняЛюбимов Е.Б.

Любимов Е.Б.

Реализация метода хорд в среде MS ExcelУточнение 2-го корня уравнения F(x)=X3-5X+3

Любимов Е.Б.Формулы реализации метода хорд в среде MS Excel столбцы от

Уточнение значения наименьшего из корней уравнения F(x)=X3-5X+3 методом хорд при выборе

Похожие презентации

Определение нелинейного уравнения
В общем виде нелинейное уравнение с одним неизвестным можно

Примеры трансцендентных уравнений:
Любимов Е.Б.

Решением или корнем уравнения
Y(x)=0 (1)
называется значения аргумента х, обращающее равенство

Методы решения нелинейных уравнений
Аналитические (прямые, точные) методы решения:
Методы, позволяющие записать решение

Алгебраические уравнения, имеющие аналитические решения:
линейные уравнения: ax+b=0 (или a0 + a1x

Общий подход к решению нелинейных уравнений
Решение нелинейных уравнений численными методами обычно

Признак нахождения корня в интервале [a; b]
Y(a)*Y(b) <=0 (3)
Обычно решение считается

ε
-ε
Любимов Е.Б.

График исследуемой функции
Любимов Е.Б.

График функции с точкой разрыва
Любимов Е.Б.

1a) интервал допустимых изменений аргумента x Є [-∞; +∞];
1б) В

Область допустимых значений аргумента
Х(-∞;+∞);
Любимов Е.Б.

1-й корень Є(-2,5; -2,25);
Y(-2,5) = -0,1250; Y(-2,25) = 2,8594
2-й корень Є(0,5;0,75);
Y(0,5)

Начальный интервал нахождения корня [a0;b0]: Y(a0)*Y(b0)<0
Алгоритм метода дихотомии (деление пополам)
Любимов Е.Б.

Реализация метода дихотомии в среде MS Excel
Уточнение 2-го корня уравнения F(x)=X3-5X+3

Формулы изменения граничных значений аi и bi по правилу метода дихотомии
Заголовок,

Результаты решения уравнения методом дихотомии
Любимов Е.Б.

Блок-схема алгоритма уточнения корней методом дихотомии
Любимов Е.Б.

' Текст функции Dihotomia с отладочными выводами
Public Function Dihotomia(a As Double,

i = 1 ' вход в цикл определения корня
Do

Метод хорд
Уравнение прямой, проходящей через точки Y(a) и Y(b):
Точка пересечения этой

Завершение процесса уточнения корня
Любимов Е.Б.

Реализация метода хорд в среде MS Excel
Уточнение 2-го корня уравнения F(x)=X3-5X+3

Любимов Е.Б.
Формулы реализации метода хорд в среде MS Excel столбцы от