Дискретные и непрерывные случайные величины

ВОПРОС 12:

Дискретные случайные величины

Определение: ξ – дискретная случайная величина, если:
R(ξ)= {x1, x2, ...,

Пример 1:

Свойство:

x

p(x)

1

6

2

3

4

5

Пример 2

случайная величина

- число наступления события A
при

Биномиальное распределение

Распределение Пуассона

Распределение Лапласа

Пример.

На завод прибыла партия деталей в количестве 1000 шт.
Вероятность того,

Пример.

Телефонистка в среднем за один час получает N вызовов. Какова

РЯД РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ

Пример.

] ξ — число наступлений события (А: s=1) при десяти

ВОПРОС 13:

Функция распределения вероятностей случайной величины и ее свойства

Определение:

называется функцией распределения вероятностей.

Функция

Пример:

Пример:

Основные свойства
функции распределения

1.

3.

2.

=>

ВОПРОС 14:

Непрерывные случайные величины

Определение: Случайная величина ξ
называется непрерывной, если для нее существует неотрицательная кусочно-непрерывная

СВОЙСТВА F(x)

1.

2.

3.

Свойства плотности распределения вероятностей

1.

2.

3.

.

Теорема. Вероятность того, что непрерывная случайная величина может принять любое

Следствие. События, заключающиеся в выполнении каждого из неравенств

,

,

имеют

Пример.

Решение

ВОПРОС 15:

Равномерное распределение

Зоччиэдр

Тетраэдр

Октаэдр

Додакаэдр

ИГРАЛЬНЫЕ КОСТИ - АСТРАГАЛЫ

Изобретение Паламеда

Куб

X

F(X)

a

b

ФУНКЦИИ РАВНОМЕРНОГО
РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ ДЛЯ
НЕПРЕРЫВНОЙ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ

ПЛОТНОСТЬ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

ВОПРОС 16:

Нормальное распределение

НОРМАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ

Иоганн Карл Фридрих Гаусс (1777, Брауншвейг —1855, Гёттинген) — немецкий математик,

ВИД ПЛОТНОСТИ НОРМАЛЬНОЙ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

ВИД ПЛОТНОСТИ НОРМАЛЬНОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

Свойства

при x=a

График имеет точки перегиба при

При

график функции

Теорема. Функция

удовлетворяет условию нормировки для любых a и

Доказательство

Определение. Функция

называется
интегралом вероятностей

Свойства интеграла вероятностей

1.

2.

4.

Ф(0)=0

Ф(-x)=-Ф(х)

3.

.

Утверждение.

Доказательство

Заменим переменную

интеграл
вероятности

=

Пример

ВОПРОС 17:

Математическое ожидание случайной величины и его свойства

ПРИМЕР. В БД хранится N файлов:
m1 - число файлов объемом

Определение:

Для непрерывной случайной величины

СВОЙСТВА МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОЖИДАНИЯ

Пример доказательства

Замечание 1

] x1, x2, ..., xn, ... –
бесконечная последовательность

Требуется,

ВОПРОС 18:

Дисперсия и ее свойства. Среднее квадратическое отклонение

Пример

Определение:

Утверждение.

Доказательство.

1.

2.

3.

СВОЙСТВА ДИСПЕРСИИ:

.

Определение:

ВОПРОС 19:

Моменты распределения
случайных величин

Определение.
Начальным моментом k-го порядка случайной величины X называется математическое ожидание

Определение. Центральным моментом k-го порядка случайной величины X называется математическое ожидание

ВОПРОС 20:

Примеры вычисления
моментов

Пример 1:

Случайная величина - число очков, выпадающих при однократном бросании

Решение:

Пример 2:

Найти математическое ожидание
и дисперсию.

Пример 3:

.

,

Пример 4:

Случайная величина распределенная подчинена закону Пуассона

Найти:

Пример 5:

Случайная величина распределенная подчинена равномерному закону

Найти математическое

Пример 6:

Случайная величина распределенная подчинена нормальному закону

Найти математическое ожидание,

Доказать самостоятельно!

ВОПРОС 21:

Линейные функции
случайных величин

Линейная функция гауссовской (нормально распределенной) случайной величины

Доказательство.

Замена переменной