Элементы квантовой статистики

Фазавое пространство. Элементарная ячейка как способ учёта в квантовой статистике корпускулярно-волновой природы частиц. Плотность состояний.

8.3. ЭЛЕМЕНТЫ КВАНТОВОЙ СТАТИСТИКИ

Если нельзя игнорировать квантовые законы движения частиц системы, то выбирают квантовую модель вещества, а распределение частиц по энергиям описывается квантовыми статистиками.

Квантовая статистика - это раздел статистической физики, изучающий системы, состоящие из огромного числа частиц, подчиняющихся законам квантовой механики.
Главные особенности квантовой статистики – это соблюдение принципа дополнительности (соотношений неопределённостей), принципа тождественности и принципа Паули (три принципа).

Некоторые явления природы достаточно хорошо описываются на основе классической модели вещества. Распределение частиц по энергиям в этом случае подчиняется классической статистике Максвелла-Больцмана.

в статистической физике описывается с помощью
воображаемого 6-мерного пространства,
осями которого являются координаты и проекции импульса.
Его называют фазовым μ-пространством.

В классической физике состоянию частицы
в μ-пространстве соответствует точка,
а состояние системы определяется тем, как
распределены в нём фазовые точки всех частиц системы.

Состояние квантовой частицы, благодаря соотношениям неопределённостей,
в фазовом μ-пространстве характеризуется не фазовой точкой, а элементарной ячейкой, имеющей объём Δx.Δy.Δz.Δpx.Δpy.Δpz = h3.
Элемент фазового объёма dГ не может быть меньше h3:
dГ = dx.dy.dz.dpx.dpy.dpz = dq.dp ≥ h3,

Состояние системы квантовых частиц определяется особенностями их размещения
в фазовом пространстве
по ячейкам с объёмом h3.

вероятностный характер.

Вероятность данного состояния системы, то есть того, что
её частица находится в элементе фазового объёма dГ, расположенного вблизи точки фазового пространства (x,y,z,px,py,pz), равна:

Число квантовых состояний
в фазовом объёме dГ равно:

где g - количество квантовых состояний, соответствующих заданной энергии.

Плотность числа состояний
(плотность состояний) равна:

где f(q,p) - функция распределения или иначе -
плотность вероятности определённого состояния системы.

Для функции распределения должно
выполняться условие нормировки:

(здесь интегрирование производится по всему фазовому пространству).

значения величин, характеризующих данную систему.
Среднее значение некоторой функции L(q,p) равно:

где А = const (определяется из условия нормировки),
n - совокупность всех квантовых чисел, характеризующих данное состояние.

Если энергия квантовой частицы имеет дискретный спектр - Wn,
то и функция распределения f (Wn) является дискретной.

В квантовой статистике
Каноническое распределение Гиббса имеет вид:

f (Wn) - определяет вероятность данного состояния,
а не вероятность того, что система обладает энергией Wn ,
т.к. данной энергии может соответствовать не одно, а несколько состояний.

Явное выражение функции распределения в самом общем виде получил американский физик Дж.Гиббс.

системы можно
с хорошим приближением считать идеальным газом.
Однако, в квантовой механике даже в отсутствие силового взаимодействия имеет место взаимное влияние частиц друг на друга - обменные эффекты. Так принцип Паули запрещает фермионам находиться в одном квантовом состоянии (с одинаковым набором квантовых чисел).
В связи с этим идеальные газы фермионов и бозонов
подчиняются разным квантовым статистикам.

Состояние квантового идеального газа характеризуется
так называемыми числами заполнения Ni ,
указывающими степень заполнения какого-либо квантового состояния
(с определённым набором квантовых чисел).

Для бозонов Ni = 0, 1, 2, 3, ... (любые целые положительные числа).
Для фермионов Ni = 0, 1 (для свободного и занятого состояний соответственно). Сумма всех чисел заполнения равна числу частиц системы - N.

Задачей квантовой статистики является
подсчёт среднего числа частиц в данном квантовом состоянии.

бозонов,
но среднее число бозонов, находящихся в состоянии с энергией Wi при температуре Т, равно :

Это распределение называется
распределением Бозе-Эйнштейна.

Здесь k - постоянная Больцмана; μ - химический потенциал *).
Для бозонов μ < 0 и зависит только от температуры Т и плотности числа частиц.

*) химический потенциал μ определяет изменение внутренней энергии системы при добавлении к ней одной частицы при постоянном объёме V и постоянной энтропии S, для бозонов μ < 0, иначе для некоторых чисел заполнения Ni < 0, что не имеет физического смысла.

бозе-газа и ферми-газа существенно отличается от поведения классического газа, подчиняющегося классическим статистикам.

Химический потенциал μ может иметь положительные и отрицательные значения.

Бозе-газ и ферми-газ являются вырожденными системами и подчиняются квантовым статистикам.