Функция y = cos x Ее свойства и график

Содержание

Слайд 2

Наумова Ирина Михайловна Сегодня мы рассмотрим Построение графика функции y =

Наумова Ирина Михайловна

Сегодня мы рассмотрим

Построение графика функции y = cos x;
Свойства

функции y = cos x;
Изменение графика функции y = cos x в зависимости от изменения функции и аргумента;
Изменение свойств функции y = cos x в зависимости от изменения функции и аргумента;
Примеры построения графиков функций путем анализа изменения их свойств.
Слайд 3

Наумова Ирина Михайловна Построение графика Функция y = cos x определена

Наумова Ирина Михайловна

Построение графика

Функция y = cos x определена на всей

числовой прямой и множеством ее значений является отрезок [-1; 1]. Следовательно, график этой функции расположен в полосе между прямыми у = -1 и у = 1.
Слайд 4

Наумова Ирина Михайловна Как использовать периодичность и четность при построении Так

Наумова Ирина Михайловна

Как использовать периодичность и четность при построении

Так как функция

периодическая с периодом 2π, то достаточно построить ее график на каком – нибудь промежутке длиной 2π, например на отрезке -π ≤ х ≤ π; тогда на промежутках, получаемых сдвигами выбранного отрезка на 2πn, n∈Z, график будет таким – же.

Функция y = cos x является четной. Поэтому ее график симметричен относительно оси OY. Для построения графика на отрезке -π ≤ х ≤ π достаточно построить его для 0 ≤ х ≤ π, а затем симметрично отразить относительно оси OY.

Слайд 5

Наумова Ирина Михайловна Найдем несколько точек для построения графика на отрезке

Наумова Ирина Михайловна

Найдем несколько точек для построения графика на отрезке [0;

π] и отразим, полученную часть графика симметрично относительно оси OY.
Слайд 6

Наумова Ирина Михайловна Распространим полученный график на всей числовой прямой с

Наумова Ирина Михайловна

Распространим полученный график на всей числовой прямой с помощью

сдвигов на 2π, 4π и т.д. вправо, на -2π, -4π и т.д. влево, т.е. вообще на 2πn, n∈Z.
Слайд 7

Наумова Ирина Михайловна Итак, график функции y = cos x построен

Наумова Ирина Михайловна

Итак, график функции y = cos x построен геометрически

на всей числовой прямой, начиная с построения его части на отрезке [0; π]. Поэтому свойства функции y = cos x можно получить , опираясь на свойства этой функции на отрезке [0; π]. Например, функция y = cos x возрастает на отрезке [-π; 0], так как она убывает на отрезке [0; π] и является четной. Перечислим основные свойства функции y = cos x.
Слайд 8

Наумова Ирина Михайловна Для этого нужно вспомнить Как найти область определения

Наумова Ирина Михайловна

Для этого нужно вспомнить

Как найти область определения и множество

значений тригонометрических функций;
Какие функции называются периодическими и как найти период функции;
Какие функции называются четными (нечетными);
Когда функция возрастает (убывает);
Как найти нули функции;
Как определить на каких промежутках функция принимает положительные (отрицательные) значения;
Как определить когда функция принимает наибольшее (наименьшее) значения.
Слайд 9

Наумова Ирина Михайловна Область определения Каждому действительному числу х соответствует единственная

Наумова Ирина Михайловна

Область определения

Каждому действительному числу х соответствует единственная точка единичной

окружности, получаемая поворотом точки (1; 0) на угол х радиан. Для этого угла определены sin x и cos x. Тем самым каждому действительному числу х поставлены в соответствие числа sin x и cos x, т.е. на множестве R всех действительных чисел определены функции y = sin x и y = cos x.
Таким образом, областью определения функций y = sin x и y = cos x является множество R всех действительных чисел.
Слайд 10

Наумова Ирина Михайловна Множество значений Чтобы найти множество значений функции y

Наумова Ирина Михайловна

Множество значений

Чтобы найти множество значений функции y = cos

x, нужно выяснить, какие значения может принимать y при различных значениях х, т.е. установить, для каких значений у есть такие значения х, при которых cos x = y. Известно, что уравнение cos x = a имеет корни, если |a| ≤ 1, и не имеет корней, если |a| > 1.
Следовательно множеством значений функции y = cos x является отрезок –1 ≤ у ≤ 1.
Слайд 11

Наумова Ирина Михайловна Периодичность Функция y = f (x) называется периодической,

Наумова Ирина Михайловна

Периодичность

Функция y = f (x) называется периодической, если существует

такое число Т ≠ 0, что для любого х из ее области определения выполняется равенство f (x – T) = f (x) = f (x + T). Число Т называется периодом функции.
Известно, что для любого значения х верны равенства sin(x + 2π)=sin x, cos(x + 2π)= cos x. Из этих равенств следует, что значения синуса и косинуса периодически повторяются при изменении аргумента на 2π. Такие функции называются периодическими с периодом 2π.
Слайд 12

Наумова Ирина Михайловна Четность, нечетность Функция y = f (x) называется

Наумова Ирина Михайловна

Четность, нечетность

Функция y = f (x) называется четной, если

для каждого значения х из ее области определения выполняется равенство f (-x) = f (x), график симметричен относительно оси ординат.
Функция y = f (x) называется нечетной, если для каждого значения х из ее области определения выполняется равенство f (-x) = -f (x), график симметричен относительно начала координат.
Слайд 13

Наумова Ирина Михайловна Возрастание, убывание Функция y = f(x) называется возрастающей,

Наумова Ирина Михайловна

Возрастание, убывание

Функция y = f(x) называется возрастающей, если наибольшему

(наименьшему) значению функции соответствует наибольшее (наименьшее) значение аргумента. Т.е. если у1 > y2 (y1 < y2), то x1 > x2 (x1 < x2).
Функция y = f(x) называется убывающей, если наибольшему (наименьшему) значению функции соответствует наименьшее (наибольшее) значение аргумента. Т.е. если у1 > y2 (y1 < y2), то x1 < x2 (x1 > x2).
Слайд 14

Наумова Ирина Михайловна Нули функции, положительные и отрицательные значения, наименьшее и

Наумова Ирина Михайловна

Нули функции, положительные и отрицательные значения, наименьшее и наибольшее

значения.

Для того чтобы определить когда функция y = cos x принимает значения, равные:
нулю;
положительные;
отрицательные;
наименьшее;
наибольшее,

необходимо решить:
уравнение cos x = 0;
неравенство cos x > 0;
неравенство cos x < 0;
уравнение cos x = -1;
уравнение cos x = 1;

Слайд 15

Наумова Ирина Михайловна Свойства функции y = cos x Область определения:

Наумова Ирина Михайловна

Свойства функции y = cos x

Область определения: D(f): х

∈ R;
Множество значений: у ∈ [-1;1];
Периодичность: Т = 2π;
Четность: четная, т.к. cos(-x) = cos x, график симметричен относительно оси ординат;
Функция возрастает при: π+2πn ≤ x ≤ 2π(n+1), n∈Z;
Функция убывает при: πn ≤ x ≤ π + 2πn, n ∈ Z.
Слайд 16

Наумова Ирина Михайловна Свойства функции y = cos x (продолжение) Функция

Наумова Ирина Михайловна

Свойства функции y = cos x (продолжение)

Функция принимает значения:
Равные

нулю при х=π/2+πn, n∈Z;
Положительные при -π/2+2πn < x < π/2+2πn, n∈Z;
Отрицательные при π/2+2πn < x < 3π/2+2πn, n∈Z;
Наибольшее, равное 1, при x = 2πn, n ∈ Z;
Наименьшее, равное –1, при x = π + 2πn, n ∈ Z.
Слайд 17

Наумова Ирина Михайловна Преобразование графика функции y = cos x Изменение

Наумова Ирина Михайловна

Преобразование графика функции y = cos x

Изменение функции
y =

cos x + A
y = k · cos x
y = - cos x
y = ⎜cos x ⎜

Изменение аргумента
y = cos (x – a)
y = cos (k · x)
y = cos (- x)
y = cos ⎢x ⎢

Слайд 18

Наумова Ирина Михайловна y = cos x + A Параллельный перенос

Наумова Ирина Михайловна

y = cos x + A

Параллельный перенос графика функции

у = соs x вдоль оси ординат на А единиц вверх, если А > 0 и на ⎢А ⎢ единиц вниз, если А < 0.
Например: y = cos x + 2; y = cos x – 1.
Слайд 19

Наумова Ирина Михайловна y = cos x + A (свойства) Изменяются

Наумова Ирина Михайловна

y = cos x + A (свойства)

Изменяются множество значений

функции; наибольшее (наименьшее) значения; нули функции; промежутки положительных (отрицательных) значений.
Например: y = cos x + 2.
E (f): cos x + 2 = a ⇒ cos x = a – 2, т.к. – 1 ≤ y ≤ 1, то –1 ≤ а – 2 ≤ 1 ⇒ 1 ≤ а ≤ 3, т.е. y ∈ [1; 3].
Нули функции: cos x + 2 = 0 ⇒ cos x = -2 данное уравнение не имеет корней т.к. |-2| > 1 ⇒ график данной функции не пересекает ось абсцисс.
f (x) > 0: при любом значении х.
f (x) < 0: нет.
y (наиб) = 3, при: x = 2πn, n ∈ Z (т.к. cos x + 2 = 3 ⇒ cos x = 1 ⇒ x = 2πn, n ∈Z).
y (наим) = 1, при: x = π + 2πn, n ∈Z (т.к. cos x + 2 = 1 ⇒ cos x = - 1 ⇒ x = π + 2πn, n ∈ Z).
Слайд 20

Наумова Ирина Михайловна y = k · cos x Растяжение графика

Наумова Ирина Михайловна

y = k · cos x

Растяжение графика функции у

= соs x вдоль оси ординат относительно оси абсцисс в k раз, если k > 0 и сжатие в 1/k раз, если 0 < k < 1.
Например: y = 3 • cos x; y = 0,5 • cos x.
Слайд 21

Наумова Ирина Михайловна y = k · cos x (свойства) Изменяется

Наумова Ирина Михайловна

y = k · cos x (свойства)

Изменяется множество значений

функции; наибольшее (наименьшее) значения.
Например: y = 3 • cos x
E (f): 3•cos x = a ⇒ cos x = a/3, т.к. – 1 ≤ y ≤ 1, то - 1 ≤ a/3 ≤ 1 ⇒ - 3 ≤ a ≤ 3, т.е. y ∈ [-3; 3].
Функция принимает наибольшее значение, равное 3, при: x = 2πn, n ∈ Z (т.к. 3cos x = 3 ⇒ cos x = 1 ⇒ x = 2πn, n ∈ Z).
Функция принимает наименьшее значение, равное – 3, при: x = π + 2πn, n ∈ Z (т.к. 3cos x = - 3 ⇒ cos x = - 1 ⇒ x = π + 2πn, n ∈ Z).
Слайд 22

Наумова Ирина Михайловна y = - cos x Симметричное отражение графика

Наумова Ирина Михайловна

y = - cos x

Симметричное отражение графика функции y

= cos x относительно оси абсцисс.
Слайд 23

Наумова Ирина Михайловна y = - cos x (свойства) Изменяются промежутки

Наумова Ирина Михайловна

y = - cos x (свойства)

Изменяются промежутки возрастания (убывания);

промежутки положительных (отрицательных) значений.
Функция возрастает на отрезке [0; π] и на отрезках, получаемых сдвигами этого отрезка на 2πn, n = ±1, ±2, ±3…
Функция убывает на отрезке [π; 2π] и на отрезках, получаемых сдвигами этого отрезка на 2πn, n = ±1, ±2, ±3…
Функция принимает положительные значения на интервале (π/2; 3π/2) и на интервалах, получаемых сдвигами этого интервала на 2πn, n = ±1, ±2…
Функция принимает отрицательные значения на интервале (- π/2; π/2) и на интервалах, получаемых сдвигами этого интервала на 2πn, n = ±1, ±2…
Слайд 24

Наумова Ирина Михайловна y = | cos x | Часть графика,

Наумова Ирина Михайловна

y = | cos x |

Часть графика, расположенная ниже

оси абсцисс симметрично отражается относительно этой оси, остальная его часть остается без изменения.
Слайд 25

Наумова Ирина Михайловна y = |cos x| (свойства) Изменяются: множество значений

Наумова Ирина Михайловна

y = |cos x| (свойства)

Изменяются: множество значений функции; период;

промежутки возрастания (убывания); наибольшее (наименьшее) значение.
E (f): y ∈[ 0; 1]
Периодичность: Т = π
Функция возрастает на промежутке (π/2; π)+ сдвиги на πn, n∈Z
Функция убывает на промежутке (0; π/2) + сдвиги на πn, n∈Z
f (x) > 0: при любом значении х
f (x) < 0: нет
y (наиб) = 1, при х = 2πn, n∈Z
y (наим) = 0, при х = π/2 + πn, n∈Z
Слайд 26

Наумова Ирина Михайловна y = cos (x – a) Параллельный перенос

Наумова Ирина Михайловна

y = cos (x – a)

Параллельный перенос графика функции

y = cos x вдоль оси абсцисс на а единиц вправо, если а > 0, на ⎢а ⎢ единиц влево, если а < 0.
Например: y = cos ( x - π/2 ); y = cos ( x +π/4 ).
Слайд 27

Наумова Ирина Михайловна y = cos (x – a) (свойства) Изменяются:

Наумова Ирина Михайловна

y = cos (x – a) (свойства)

Изменяются: четность; промежутки

возрастания (убывания); нули функции; промежутки положительных (отрицательных) значений.
Например: y = cos (x + π/4)
Четность: f (x) ≠ f (-x) ≠ -f (x), т.к. cos (-(x + π/4)) = cos (-x - π/4)
Функция возрастает на [ 3π/4; 11π/4] + сдвиги на 2πn, n∈Z
Функция убывает на [-π/4; 3π/4 ]+ сдвиги на 2πn, n∈Z
f (x) =0 при х = π/4 +πn, n∈Z
f (x) > 0 при х∈ (-3π/4; π/4) + сдвиги на 2πn, n∈Z
f( (x) <0 при х∈ (π/4; 5π/4) + сдвиги на 2πn, n∈Z
Слайд 28

Наумова Ирина Михайловна y = cos ( k · x )

Наумова Ирина Михайловна

y = cos ( k · x )

Сжатие графика

функции y = cos x вдоль оси абсцисс относительно оси ординат в k раз, если k > 1 , и растяжение в 1/k раз, если 0 < k < 1.
Например: y = cos 3x; y = cos 0,5x.
Слайд 29

Наумова Ирина Михайловна y = cos ( k · x )

Наумова Ирина Михайловна

y = cos ( k · x ) (свойства)

Изменяются:

период; промежутки возрастания (убывания); нули функции; промежутки положительных (отрицательных) значений.
Например: y = cos 3x
Период: Т = 2π/3, (т.к. наименьший положительный период функции y = cos x равен 2π, то 3Т = 2π ⇒ Т = 2π/3).
Функция возрастает на [π/3; 2π/3] + сдвиги на 2πn/3, n∈Z.
Функция убывает на [0; π/3] + сдвиги на 2πn/3, n∈Z.
f (x) = 0 при х = π/6 + πn/3.
f (x) > 0 при х∈ (-π/6; π/6) + сдвиги на 2πn/3, n ∈ Z.
f (x) < 0 при х∈ (π/6; π/2) + сдвиги на 2πn/3, n ∈ Z.
Слайд 30

Наумова Ирина Михайловна y = cos ( - x ) Симметричное отражение относительно оси абсцисс.

Наумова Ирина Михайловна

y = cos ( - x )

Симметричное отражение относительно

оси абсцисс.
Слайд 31

Наумова Ирина Михайловна y = cos (-x) (свойства) В данном случае

Наумова Ирина Михайловна

y = cos (-x) (свойства)

В данном случае свойства

функции не меняются, так как функция y = cos x – четная и cos (-x) = cos (x) ⇒ все свойства функции y = cos x справедливы и для функции y = cos (-x)
Слайд 32

Наумова Ирина Михайловна y = cos | x | Часть графика,

Наумова Ирина Михайловна

y = cos | x |

Часть графика, расположенная в

области х ≥ 0, остается без изменения, а его часть для области х ≤ 0 заменяется симметричным отображением относительно оси ординат части графика для х ≥ 0.
Слайд 33

Наумова Ирина Михайловна y = cos|x| (свойства) В данном случае свойства

Наумова Ирина Михайловна

y = cos|x| (свойства)

В данном случае свойства функции

не меняются, так как функция y = cos x – четная и cos |x| = cos (-x) = cos (x) ⇒ все свойства функции y = cos x справедливы и для функции y = cos |x|
Слайд 34

Наумова Ирина Михайловна y = 3 · cos x – 2

Наумова Ирина Михайловна

y = 3 · cos x – 2

Построить

график функции y = 3•cos x –2 (параллельный перенос графика y = 3•cos x вдоль оси OY на 2 единицы вниз).

Построить график функции y = cos x;
Построить график функции y = 3•cos x (растяжение графика функции y = cos x вдоль оси OY в 3 раза);

Слайд 35

Наумова Ирина Михайловна Свойства функции y = 3 · cos x

Наумова Ирина Михайловна

Свойства функции y = 3 · cos x –

2

Область определения: D(f): х ∈ R;
Множество значений: y ∈ [- 5; 1], т.к. –1 ≤ cos x ≤ 1 ⇒ - 3 ≤ 3cos x ≤ 3 ⇒ - 5 ≤ 3cos x – 2 ≤ 1;
Периодичность: Т = 2π;
Четность: четная, т.к. 3сos (-x) –2 = 3cos x – 2 ⇒ график функции симметричен относительно оси OY;
Возрастает: на отрезке [π; 2π] и на отрезках, получаемых сдвигами этого отрезка на 2πn, n = ±1, ±2; ±3…;
Убывает: на отрезке [0; π] и на отрезках, получаемых сдвигами этого отрезка на 2πn, n = ±1, ±2, ±3…

Слайд 36

Наумова Ирина Михайловна y = 3 – 2 · cos (x

Наумова Ирина Михайловна

y = 3 – 2 · cos (x +

π/2)

Построим график функции y = cos x;
Построим график функции y = cos (x + π/2)(параллельный перенос графика функции y = cos x вдоль оси абсцисс на π/2 единиц влево);
Построим график функции y = 2cos(x + π/2)(растяжение графика функции y = cos(x + π/2) вдоль оси OY в 2 раза);
Построим график функции y = - 2cos(x + π/2)(симметричное отражение графика функции y = 2cos (x + π/2) относительно оси OX);
Построим график функции y = 3 – 2cos (x + π/2) (параллельный перенос графика функции y = - 2cos (x + π/2) вдоль оси OY на 3 единицы вверх).

- Предыдущая
Курение - вид бытовой наркомании, наиболее распространенная форма которой – никотинизм – курение табака. Курение - вид бытово
Следующая -
Эгейское искусство Материалы к уроку МХК В 10 классе _

Похожие презентации

Здания и сооружения. Основные конструктивные элементы зданий
Повреждения. Нарушение обмена веществ в клетках и тканях
Презентация "Налоговая система государства и налоговая политика" - скачать презентации по Экономике
Развитие педагогики в России в современный период
Кроссворд на тему: «Парные согласные на конце слов»
Класс ПТИЦЫ AVES
Страхование дорожно-строительной техники как обязательное условия при заключении договоров лизинга
Презентация Влияние СМИ на политику
Россия. Национальность
Презентация на тему "Заболевания органов пищеварения" - скачать презентации по Медицине
Нейрофизиология НЕЙРОННЫЕ МЕХАНИЗМЫ
Functional HSE Management Review 2018
Строение электронных оболочек. Объяснение периодической системы Д.И.Менделеева.
Презентация "А ты знаешь как все начиналось" - скачать презентации по Экономике
Православная психология
Презентация «ГРАЖДАНЕ (ФИЗИЧЕСКИЕ ЛИЦА) КАК СУБЪЕКТЫ ГРАЖДАНСКОГО ПРАВА»
Презентация Договор комиссии
Базовые нормативные документы. Лаборатория
Театр Средневековья
Владислав II Ягайло
Учитель – логопед МБДОУ ДС №3 Чабан Ольга Игоревна
Відділ освіти Селидівської міської ради Дошкільний навчальний заклад №1 “Чайка” Використання казкотерапії в поєднанні з фітбол-гімнастикою як здоров’язбережувальна технологія
Смета ТСЖ и ЖСК: назначение, порядок составления и утверждения
Swimming isn`t hobby, swimming is diagnosis
Продукты Oracle
Пионерская организация
Системы безопасности эксплуатации автомобилей
Построение линии пересечения кривых поверхностей
Вы можете прислать нам Вашу презентацию и мы опубликуем ее на сайте.
Обратная связь
Для правообладателей
Email: Нажмите что бы посмотреть