Гидродинамика

Они создали основы гидродинамики!!!

Сверхтекучие (например, He II)

Нормальные (электронная жидкость в металле при T>Tc)

Сверхпроводящие (электронная жидкость в металле при T

сжимаемые

Вязкая жидкость: пренебрегается всеми процессами релаксации, кроме вязкости

линейная вязкость жидкость – закон
нелинейная вязкость

Вязкая теплопроводная жидкость: пренебрегается всеми процессами релаксации, кроме вязкости и теплопроводности

Последовательное усложнение моделей – нормальный процесс исследования природы
Но необходим принцип (бритва) Окама «не вводите сущностей без необходимости»

Отсутствие диссипации энергии в жидкости означает, что нет теплопереноса как между отдельными частями жидкости, так и между жидкостью и окружающей средой. Это в свою очередь означает, что движение происходит адиабатически в каждой части жидкости.
Адиабатичность означает, что энтропия каждой части жидкости остается постоянной при движении этой части:

Если в начальный момент времени энтропия одинакова во всех точках, то она сохраняется во все последующие моменты времени во всех точках, так что можно записать:
s=const

Такое движение жидкости носит название изоэнтропийного.

1. Гидродинамика идеальной жидкости

Усреднение по физически бесконечно малому объему

Сплошная среда

1.2. Описание динамики – поля плотности, давления и скорости (гидродинамика)

Физически бесконечно малый объем – содержит большое число молекул, атомов, …

1.3. Описание термодинамики – уравнения, связывающие термодинамические параметры (например, плотность, давление и температуру)

Всего пять величин – функций точки пространства и времени (три компоненты скорости, плотность и давление) описываю полностью состояние в гидродинамике

Таким образом:

Откуда:

- уравнение неразрывности (непрерывности)

Полная сила, действующая на некоторый объем V есть интеграл:

Таким образом, сила, действующая на некоторый объем dV есть

Таким образом, изменение импульса элемента объема жидкости есть:

Полная производная в уравнении относится к перемещаемому объему жидкости, а не к точке. Переход к изменению скорости в точке можно произвести введением конвективной производной:

Если жидкость находится в поле других объемных сил, то имеем:

В частности, если жидкость находится в поле сил тяжести :

Или:

Если имеются две несмешивающиеся жидкости (1 и 2), то на поверхности их раздела равны их нормальные компоненты скорости и выполняется равенство давлений:

Откуда:

Последнее уравнение описывает механическое равновесие жидкости в поле сил тяжести. Если внешние силы вообще отсутствуют, то

Задача 1: показать, что при давление в жидкости есть
Задача 2: определить форму поверхности жидкости в поле тяжести в цилиндрическом сосуде, вращающемся вокруг своей оси с постоянной угловой скоростью

Тогда:

Воспользуемся теперь изоэнтропийностью течений. В этом случае можно записать для тепловой функции (энтальпии):

Отсюда:

Поэтому:

Используя соотношение векторного анализа:

Даниил Бернулли
(1667-1748)

Если уравнение умножить на единичный вектор касательный к линии тока в каждой точке, то, поскольку градиент на некоторое направление равен производной, взятой по этому направлению, то (проекция равна нулю!)

Изменение со временем энергии есть:

Используя уравнения неразрывности и движения, получаем:

Изменение внутренней энергии со временем можно найти из термодинамического соотношения:

Но энтальпия (тепловая функция) есть

Откуда:

- вектор плотности потока энергии

Абсолютная величина вектора плотности потока энергии есть количество энергии, протекающей в единицу времени через единичную поверхность, расположенную перпендикулярно к направлению скорости

Запишем уравнение неразрывности в форме

Уравнение Эйлера в форме

Тогда получим

Можно записать

Слева стоит изменение в единицу времени i –компоненты импульса в объеме, а справа – количество импульса, протекающего в единицу времени через поверхность

Назовем эту величину циркуляцией скорости вдоль контура

Интеграл по замкнутого контуру от полного дифференциала!

Откуда окончательно находим:

Или, окончательно:

Таким образом, в идеальной жидкости циркуляция скорости вдоль замкнутого жидкого контура остается неизменной во времени (теорема Томсона, 1869) – закон сохранения циркуляции скорости

ТОМСОН (Thomson) лорд КЕЛЬВИН
1824- 1907 гг.

Если такой связи нет, то вектор может быть записан в виде градиента некоторой функции, что требуется для вывода теоремы Томсона.

Применим теорему Томсона к бесконечно малому замкнутому контуру и преобразуя интеграл по теореме Стокса, получим:

Вектор носит название завихренности течения жидкости в данной точке.
Соотношение означает, что завихренность переносится вместе с идеальной жидкостью

Линия тока

Тогда

Таким образом, если в какой-либо точке линии тока завихренность отсутствует, то она отсутствует и вдоль всей этой линии
Движение жидкости, при котором во всем пространстве
называется потенциальным (или безвихревым)

Если же , то движение относится к классу вихревых.
Таким образом, стационарное обтекание всякого тела однородным потоком жидкости должно быть потенциальным

В этом случае уравнение Эйлера в виде:

Может быть переписано с использованием потенциала скорости:

Откуда:

- первый интеграл уравнений потенциального течения жидкости

Отсюда получаем уравнение Бернулли:

Замечание:
Отличие последнего уравнение от уравнения Бернулли состоит в том, что const в правой части последнего уравнения вдоль каждой линии тока, в случае же потенциального движения эта константа постоянна во всех точках жидкости. Отсюда столь важна роль уравнения Бернулли для потенциальных течений жидкости

Поскольку плотность не является теперь неизвестной функцией, то можно выбрать уравнения, содержащие только скорость:

Для потенциального течения несжимаемой жидкости (ротор скорости равен нулю) с использованием потенциала скорости, получаем:

- уравнение Лапласа для потенциала скорости

Это открывает возможности решения задач потенциальных течений несжимаемой жидкости на базе теорий функций комплексного переменного в двумерном случае (см. учебник Ландау Лифшиц. Гидродинамика. с. 39-48)

Производная - квадрат скорости звука в жидкости c, откуда находим:

Жидкость можно считать несжимаемой, если

Отсюда необходимым условием несжимаемости жидкости является малость скорости ее движения по сравнению со скоростью звука:

- условие несжимаемости жидкости

Откуда:

В свою очередь, изменение плотности есть:

Из уравнения неразрывности, сравнивая термы , получаем:

Таким образом, нестационарное движение можно считать несжимаемым, если выполняются одновременно условия

и