Классическая электродинамика

Дж.Максвелл (1831-1879)

Все электрические и магнитные явления, открытые экспериментально, могут быть описаны единым образом, если ввести понятие электромагнитного поля
Дж. Максвелл

© Дмитриев А.С. МЭИ. 2010

Эволюция точечных объектов описывается уравнением Ньютона:

квантовая механика – описывает дуальные объекты, состояния описываются уже не координатами и импульсами (они одновременно, согласно принципу неопределенности Гейзенберга, не существуют), а волновой функцией

Эволюция дуальных объектов описывается уравнением Шредингера:

ИНФОРМАЦИЯ К РАЗМЫШЛЕНИЮ

ФОТОНИКА

© Дмитриев А.С. МЭИ. 2007

Электродинамика – наука о поведении в пространстве и времени электромагнитных полей, которые описываются векторными функциями

© Дмитриев А.С. МЭИ. 2007

ФОТОНИКА

Покажем, что по потоку и циркуляции можно восстановить и само поле. Пусть - известная функция координат, тогда, согласно теореме Гаусса-Остроградского:

Отсюда, поскольку объем интегрирования произволен, имеем:

Таким образом, задание потока вектора через замкнутую поверхность в каждой точке пространства эквивалентно заданию дивергенции этого вектора.

© Дмитриев А.С. МЭИ. 2007

ФОТОНИКА

Способы интегрирования

ФОТОНИКА

© Дмитриев А.С. МЭИ. 2007

Соотношения между системами единиц:

ФОТОНИКА

© Дмитриев А.С. МЭИ. 2007

Вектор носит название вектора-потенциала, который является функцией координат и времени. Подставляя в уравнение Максвелла

получим:

Таким образом, вектор под операцией rot является потенциальным вектором, т.е. может быть представлен в виде скалярного потенциала:

Электрическое поле определено двумя функциями, поэтому, используя другие уравнения Максвелла получим:

Используя приведенные выше соотношения для оператора набла, имеем

Или для вектора-потенциала

Для скалярного потенциала

© Дмитриев А.С. МЭИ. 2007

Отсюда сразу получаем независимые уравнения для вектора-потенциала и скалярного потенциала:

Полученные уравнения для потенциалов совершенно эквивалентны исходным уравнениям Максвелла. Если заданы распределения плотности заряда и плотности тока, удовлетворяющие закону сохранения заряда

то интегрирование уравнений (со звездочками) позволяет найти вектор-потенциал м скалярный потенциал, а следовательно, электрическое и магнитное поля

Если потенциала не зависит от времени (электростатика), имеем уравнение Пуассона для распределения потенциала:

Уравнения для потенциалов существенно проще, чем исходные уравнения Максвелла – это основной метод нахождения электромагнитных полей !!!

© Дмитриев А.С. МЭИ. 2007

S

Работа магнитного поля равна нулю – магнитная сила перпендикулярна скорости частиц (токам). Используя уравнения Максвелла, можно записать

Но

V

© Дмитриев А.С. МЭИ. 2007

Изменение энергии поля

Поток через поверхность

Работа сил поля

Понятно, что поток через поверхность можно интерпретировать как поток энергии ЭМ поля. Заметим, что он отличен от нуля, даже если заряженные частицы и токи не пересекают этой поверхности! Отсюда можно ввести вектор

- вектор Пойнтинга

Вектор Пойнтинга – поток энергии ЭМ поля через единичную поверхность; он перпендикулярен векторам электрического и магнитного поля и образует с ними правовинтовую систему координат

Дж. Пойнтинг (1852-1914)

Перепишем уравнение в виде

Не путать вектор Пойнтинга с поверхностью!

Важно, что ЭМ убывает от любого источника поля по закону

При этом интеграл от вектора Пойнтинга, взятый даже по бесконечно удаленной поверхности не стремится к нулю, т.е.

Физически это означает, что система, теряющая энергию ЭМ поля, излучает!!!

Г.С.Ом (1789-1854)

Э. фон Сименс (1816-1892)

П. Друде (1863-1906)

Теория Друде (классический случай) (1900г.) – объяснение закона Ома

-закон Ома

Вибратор Герца (1883г.)

Впервые обнаружены электромагнитные волны, предсказанные Максвеллом (1873г.)

ФОТОНИКА

© Дмитриев А.С. МЭИ. 2007

Х. Герц
(1857-1894)

Б. Классическая модель излучения атома

Движение электрона в поле E описывается уравнением для координаты смещения:

Важной величиной является дипольный момент, определяемый как:

Можно строго показать, что покоящийся или равномерно движущийся заряд не излучает (силовые линии электрического поля везде прямые линии, выходящие из центра заряда – поле везде продольное, а электромагнитные волны – поперечные!).
ОТСЮДА: излучает только ускоренный заряд !!!

ФОТОНИКА

© Дмитриев А.С. МЭИ. 2007

Плотность потока электромагнитной энергии есть:

Направление вектора совпадает с направлением :

Структура поля излучения диполя

ФОТОНИКА

© Дмитриев А.С. МЭИ. 2007

Используя формулы Максвелла, можно получить выражения для поля излучения

Полученные соотношения показывают, что излучение диполя линейно поляризовано. Вектор потока энергии есть

ФОТОНИКА

© Дмитриев А.С. МЭИ. 2007

Полная мощность излучения есть

Окончательно получаем

ФОТОНИКА

© Дмитриев А.С. МЭИ. 2007

Оценка времени затухания для оптических частот колебаний электронов в атоме

Тогда

Фактически это и есть время высвечивания отдельного атома, что подтверждается и опытом.

ФОТОНИКА

© Дмитриев А.С. МЭИ. 2007

РАСПРОСТРАНЕНИЕ
ЭМ ПОЛЯ

ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЭМ ПОЛЯ
С ЧЕМ-ЛИБО…

+

+

+

-

-

Рассмотрим как распространяется ЭМ поле в вакууме (нет зарядов и токов!), т.е.

Уравнения Максвелла в этом случае есть

Эти уравнения имеют решения даже в отсутствие зарядов и токов, следовательно могут существовать ЭМ поля в пустоте – это и есть электромагнитные волны
ВАЖНО: ЭМ волны – переменные во времени, т.е.

Если

решения для ЭМ поля обращаются в нуль!

1.3.1. Плоские ЭМ волны в вакууме

Если поля зависят только от одной пространственной переменной, то такие поля (волны) называются плоскими. В этом случае уравнение имеет следующий вид:

где под функцией f понимается любая компонент ЭМ поля. Уравнение можно записать в форме

Если ввести новые переменные

Получим уравнение

В каждой точке x=const поле меняется со временем; в каждый данный момент времени поле различно для разных значений координаты x. Однако, если при t=0 поле имело некоторое значение, то через промежуток времени t то же самое значение поле имеет на расстоянии ct вдоль оси x от первоначальной точки. Таким образом, поле распространяется в пространстве вдоль оси x со скоростью света c в виде плоской электромагнитной волны, бегущей в положительном направлении оси x. Аналогично, часть поля

поле, распространяющееся со скоростью света в отрицательном направлении вдоль оси x. Таким образом, общее поле представляет собой электромагнитное поле, распространяющееся со скоростью света в виде плоской волны в обе стороны вдоль оси x.
Если рассмотреть плоскую волну в положительном направлении оси x, можно и уравнений Максвелла записать:

- электрическое и магнитное поля плоской волны перпендикулярны к направлению распространения

Таким образом, электромагнитные волны являются поперечными. Кроме того, электрическое и магнитное поля в плоской волне перпендикулярны друг другу и одинаковы по абсолютной величине!

Вектор Пойнтинга (плотность энергии) в плоской волне есть

© Дмитриев А.С. МЭИ. 2007

Имеем

Вектор Пойнтинга переносит плотность энергии в данном направлении со скоростью света. При этом импульс единицы объема ЭМ поля есть

Для плоской ЭМ волны

1.3.2. Монохроматические плоские ЭМ волны в вакууме

Если ЭМ поле – периодическая функция времени, то такие плоские ЭМ волны называются монохроматическими. В таких волнах все величины (потенциалы, компоненты полей) зависят от множителя:

где - циклическая частота волны

© Дмитриев А.С. МЭИ. 2007

Для монохроматической плоской волны, распространяющейся вдоль положительного направления оси x, все величины будут периодической функцией от аргумента

Векторный потенциал такой волны можно записать в форме

Информация к размышлению

Удобно использовать комплексное представление, используя формулу Эйлера:

- некоторый постоянный комплексный вектор. Понятно, что и ЭМ поле будет иметь такой же вид

Если ввести величины, называемые длиной волны и волновым вектором, согласно соотношениям

Тогда

Пользуясь соотношениями для связи вектора-потенциала с полями, получим

Представим амплитуду поля в форме

Тогда

Если представить вектор в виде

Поскольку квадрат вектора – вещественен, то

Если выбрать направление вектора вдоль оси y, а - вдоль оси z, то имеем

- волна называется линейно поляризованной. В такой волне поле везде и всегда параллельна (или антипараллельна) одному и тому же направлению. Естественно, эллиптически поляризованную волну можно представить как наложение двух линейно поляризованных волн.

ЛАЗЕРНЫЕ
Непрерывные лазеры – монохроматические, пространственно когерентные; например, HeNe, Ar, лазерные диоды
Импульсные лазеры –квазимонохроматические, пространственно когерентные

Главная проблема – суммирование вкладов отдельных осцилляторов. В силу того, что в реальной среде таких осцилляторов огромное количество, необходимо использование статистических методов. Пусть необходимо вычислить поле в данной точке (A) от системы (ансамбля) осцилляторов. Напряженность поля в точке A можно представить в виде (N – число осцилляторов):

Если переписать суммарное поле в виде , где

где - среднее по ансамблю осцилляторов значение поля. Если считать величины - независимые случайные величины, то имеем

ФОТОНИКА

© Дмитриев А.С. МЭИ. 2007

1.4.1. Излучение ансамбля осцилляторов

где

Кроме того, вследствие хаотической ориентации дипольных моментов осцилляторов, диаграмма направленности излучения изотропна. Можно также показать, что по этой же причине, излучение ансамбля осцилляторов имеет естественную поляризацию.

1.4.2. Статистика излучения ансамбля независимых осцилляторов

Рассмотрим поле напряженностью

Одну из компонент поля можно записать в виде:

Определим понятия огибающей А, фазы и интенсивности:

Здесь - означает усреднение по периоду колебаний T.

1.4.3. Спектр излучения ансамбля независимых осцилляторов

Излучение ансамбля независимых осцилляторов естественно рассматривать как стационарный случайный процесс. В этом случае спектр излучения определяется следующим соотношением:

Таким образом, получаем основные характеристики нелазерного (например, теплового) источника ЭМ поля распределения вероятности различных величин следующие:

А. Разложение по дискретным частотам
Если имеем периодическое (не обязательно монохроматическое) поле, то