Квантовые алгоритмы Монте-Карло в непрерывном времени Представление взаимодействия. Общая формулировка CTWL-алгоритма. Процедуры о

Сентябрь 2, 2022

Главная
Алгебра
Квантовые алгоритмы Монте-Карло в непрерывном времени Представление взаимодействия. Общая формулировка CTWL-алгоритма. Процедуры о

Содержание

2. Недостатки дискретных методов Одной из главных проблем дискретных по мнимому времени квантовых методов Монте-Карло является погрешность
3. CTWL-алгоритм В 1996 г. Прокофьев, Свистунов и Тупицын предложили новый квантовый метод МК – траекторный метод
4. Представление взаимодействия Разобьем гамильтониан системы на основную часть и возмущение; это разбиение условно и диктуется только
5. Представление взаимодействия Свойства мацубаровского оператора эволюции: Статистическая сумма системы: Мацубаровская функция Грина в представлении взаимодействия: С
6. Ряд возмущений для статистической суммы Разложение по степеням возмущения для мацубаровского оператора эволюции: Выражение для статистической
7. Общая формулировка CTWL-алгоритма Недиагональная часть гамильтониана: Разложение оператора эволюции: Теперь мгновенную конфигурацию системы составляет совокупность кинков
8. Общая формулировка CTWL-алгоритма
9. Общая формулировка CTWL-алгоритма Главный элемент конфигурации – кинк сорта s и его параметры – матричный элемент,
10. CTWL-алгоритм для дискретного базиса Удобным базисом для узельной модели является представление чисел заполнения, так что за
11. Общая формулировка CTWL-алгоритма Вид мгновенных конфигураций для ферми- и бозе-систем:
12. Общая формулировка CTWL-алгоритма Простейший способ изменения конфигурации – процедура kink-antikink: Помимо процедуры kink-antikink требуются глобальные обновления
13. Общая формулировка CTWL-алгоритма Проводить вычисления более удобно в большом каноническом ансамбле, т.е. с нефиксированным числом частиц.
14. Общая формулировка CTWL-алгоритма Теперь множество вариантов конфигураций с замкнутыми траекториями оказалось дополненным фиктивными конфигурациями траекторий с
15. Общая формулировка CTWL-алгоритма Мгновенные конфигурации мировых линий с разрывами:
16. Общая формулировка CTWL-алгоритма Квантово-механические средние от физических величин по-прежнему вычисляются по состояниям без разрывов Фиктивные состояния
17. Процедура creation-annihilation Пара процессов creation-annihilation: Статистический вес новой конфигурации: Уравнение детального баланса: Согласно алгоритму Метрополиса
18. Процедура creation-annihilation Такая реализация процедуры неэффективна: Нужно сравнивать не две конкретные конфигурации, а классы конфигураций Временное
19. Процедура рождения пары кинк-антикинк Процедуры рождения и уничтожения пары кинк-антикинк с изменением чисел заполнения:
20. Процедура рождения пары кинк-антикинк Формулы для балансного уравнения:
21. Процедуры jump-antijump и reconnection-antireconnection
22. Процедуры jump-antijump и reconnection-antireconnection Процедура jump-antijump – процесс переброса хвоста траектории на другой пространственный узел Сравним
23. Процедуры jump-antijump и reconnection-antireconnection Для класса траекторий:
24. Процедура shift Процедура сдвига не нуждается в обратном процессе, потому что самf себе служит обратным процессом
25. Схема алгоритма Формируется начальная конфигурация – это могут быть, например, прямые замкнутые линии без перескоков. Можно
27. Расчет средних Среднее значение оператора: Кинетическая энергия: Диагональные средние, например число частиц, потенциальная энергия, рассчитываются легко.
28. Расчет средних Для расчета недиагональных средних следует производить сбор статистики по фиктивным состояниям. Сбор гистограммы по
29. Примеры расчетов при помощи CTWL-алгоритма Фазовая диаграмма редуцированной одномерной модели Бозе – Хаббарда:
31. Скачать презентацию

Слайд 2

Недостатки дискретных методов
Одной из главных проблем дискретных по мнимому времени квантовых

методов Монте-Карло является погрешность троттеровского разложения:
Систематическая погрешность разложения приводит к невозможности расчетов при достаточно низких температурах; кроме того, проблема неэргодичности схем расчета траекторных методов, связанная с локальностью алгоритма шахматной доски и трудностями расчета winding numbers, функций Грина и других нелокальных корреляторов, а также с работой алгоритма при постоянном числе частиц, тоже ограничивает эффективность использования дискретных методов
Малая вероятность обновления траекторий. Вероятность создания пары кинк – антикинк:

Слайд 3

CTWL-алгоритм
В 1996 г. Прокофьев, Свистунов и Тупицын предложили новый квантовый метод

МК – траекторный метод в непрерывном времени (английская аббревиатура – CTWL, Continuous-Time World Line)
Метод основывается на точном выражении для разбиения статистической суммы в представлении взаимодействия
Метод свободен от систематической ошибки, связанной с троттеровским разбиением мнимого времени, и может быть применен для исследования достаточно произвольных решеточных (и не только) моделей; возможны расчеты как в малом, так и большом каноническом ансамблях
CTWL-алгоритм напрямую суммирует ряды диаграмм для моделей в дискретном и непрерывном базисах

Слайд 4

Представление взаимодействия
Разобьем гамильтониан системы на основную часть и возмущение; это разбиение

условно и диктуется только конкретной моделью и удобством работы с конкретными базисными функциями
Мацубаровский оператор эволюции:
Вид операторов в представлении взаимодействия:
Уравнение для мацубаровского оператора эволюции:
Упорядочение по времени для двух произвольных операторов:

Слайд 5

Представление взаимодействия
Свойства мацубаровского оператора эволюции:
Статистическая сумма системы:
Мацубаровская функция Грина в представлении

взаимодействия:
С учетом временного упорядочения:

Слайд 6

Ряд возмущений для статистической суммы
Разложение по степеням возмущения для мацубаровского оператора эволюции:
Выражение

для статистической суммы:
Дискретный аналог:

Слайд 7

Общая формулировка CTWL-алгоритма
Недиагональная часть гамильтониана:
Разложение оператора эволюции:
Теперь мгновенную конфигурацию системы составляет совокупность

кинков с соответствующими энергиями переходов и временными интервалами

Слайд 8

Общая формулировка CTWL-алгоритма

Слайд 9

Общая формулировка CTWL-алгоритма
Главный элемент конфигурации – кинк сорта s и его параметры

– матричный элемент, диагональная энергия переходов и его положение на временной шкале:
Фактически CTWL-метод Монте-Карло производит полное суммирование фейнмановских диаграмм

Слайд 10

CTWL-алгоритм для дискретного базиса
Удобным базисом для узельной модели является представление чисел заполнения,

так что за возмущение выбирается недиагональная в этом базисе кинетическая энергия, и тогда кинком является перескок частицы между узлами:
Каждый кинк вносит в статистический вес малый множитель ~dτ, но это не препятствует вычислениям – взвешивается не отдельная конфигурация, а их совокупность в некотором интервале. Малость статистического веса в точности компенсируется большим количеством возможных топологически равных конфигураций, отличающихся только расположением времен на шкале мнимого времени

Слайд 11

Общая формулировка CTWL-алгоритма
Вид мгновенных конфигураций для ферми- и бозе-систем:

Слайд 12

Общая формулировка CTWL-алгоритма
Простейший способ изменения конфигурации – процедура kink-antikink:
Помимо процедуры kink-antikink требуются глобальные

обновления системы, изменяющие числа оборотов траекторий

Слайд 13

Общая формулировка CTWL-алгоритма
Проводить вычисления более удобно в большом каноническом ансамбле, т.е. с

нефиксированным числом частиц. Для того чтобы схема могла работать с переменным числом частиц, в гамильтониан можно ввести фиктивное слагаемое:
Фиктивному слагаемому в гамильтониане соответствуют кинки, создающие разрывы траекторий. При расчете физических величин учитываются только те конфигурации, в которых нет разрывов траекторий. Фиктивные конфигурации используются только как промежуточные для эффективного обновления реальных конфигураций

Слайд 14

Общая формулировка CTWL-алгоритма
Теперь множество вариантов конфигураций с замкнутыми траекториями оказалось дополненным фиктивными

конфигурациями траекторий с разрывами
Разрывы, перемещаясь по системе, могут встречаться и взаимно уничтожаться на любом узле, изменяя полное число частиц в системе и числа оборотов траекторий. Разомкнутые траектории с разрывами называются червями (worms), а сам алгоритм называется червячным алгоритмом (worm algorithm)
Фиктивные (виртуальные) состояния с присутствием червей чрезвычайно ускоряют сходимость

Слайд 15

Общая формулировка CTWL-алгоритма
Мгновенные конфигурации мировых линий с разрывами:

Слайд 16

Общая формулировка CTWL-алгоритма
Квантово-механические средние от физических величин по-прежнему вычисляются по состояниям без

разрывов
Фиктивные состояния также несут физическую информацию, например, они отражают статистику мацубаровской функции Грина
Главные процессы обновления траекторий, формирующие статистику, – процедуры изменения состояний разрывов траекторий (червей)
В статистический вес конфигурации без разрывов множитель η не входит, а потому соотношения между статистическими весами состояний без червей остаются неизменными. Следовательно, значение η можно выбирать произвольно, исходя из соображений удобства и скорости расчета
В зависимости от задачи можно либо ввести ограничение на количество червей в системе, либо допустить возможность появления произвольного числа червей

Слайд 17

Процедура creation-annihilation
Пара процессов creation-annihilation:
Статистический вес новой конфигурации:
Уравнение детального баланса:
Согласно алгоритму Метрополиса

Слайд 18

Процедура creation-annihilation
Такая реализация процедуры неэффективна:
Нужно сравнивать не две конкретные конфигурации, а

классы конфигураций
Временное окно для класса конфигураций:

Слайд 19

Процедура рождения пары кинк-антикинк
Процедуры рождения и уничтожения пары кинк-антикинк с изменением чисел

заполнения:

Слайд 20

Процедура рождения пары кинк-антикинк
Формулы для балансного уравнения:

Слайд 21

Процедуры jump-antijump и reconnection-antireconnection

Слайд 22

Процедуры jump-antijump и reconnection-antireconnection
Процедура jump-antijump – процесс переброса хвоста траектории на

другой пространственный узел
Сравним теперь исходную траекторию с прямым хвостом с классом траекторий, у которых прыжок червя (кинк) не фиксирован по времени

Слайд 23

Процедуры jump-antijump и reconnection-antireconnection
Для класса траекторий:

Слайд 24

Процедура shift
Процедура сдвига не нуждается в обратном процессе, потому что самf

себе служит обратным процессом
Процедура сдвига происходит безусловно

Слайд 25

Схема алгоритма
Формируется начальная конфигурация – это могут быть, например, прямые замкнутые

линии без перескоков. Можно взять в качестве начального состояния вообще пустое пространство с отсутствием частиц или любую другую допустимую конфигурацию
Случайным образом выбирается тип процедуры
Выбирается место действия процедуры и границы временного окна
Рассчитываются коэффициента и нормировочные множители
В зависимости от значения R процесс случайным образом принимается или отвергается
Для некоторых процессов определяются временные точки
Рассчитываются и суммируются необходимые средние от физических величин. Затем процесс повторяется, начиная с п. 2
Все погрешности величин рассчитываются в соответствии с автокорреляционным анализом

Слайд 26

Слайд 27

Расчет средних
Среднее значение оператора:
Кинетическая энергия:
Диагональные средние, например число частиц, потенциальная энергия,

рассчитываются легко. Для этого следует на каждом диагональном участке траекторий рассчитать произведение значения соответствующего оператора на этом участке на длину этого участка, и затем усреднить результат по всей конфигурации:

Слайд 28

Расчет средних
Для расчета недиагональных средних следует производить сбор статистики по фиктивным

состояниям. Сбор гистограммы по взаимному пространственно-временному положению двух хвостов червя приводит к расчету температурной функции Грина:
и ее предельного случая при равных временах – матрицы плотности:
Нормировка:

Слайд 29

Квантовые алгоритмы Монте-Карло в непрерывном времени Представление взаимодействия. Общая формулировка CTWL-алгоритма. Процедуры о

Содержание

Недостатки дискретных методовОдной из главных проблем дискретных по мнимому времени квантовых

CTWL-алгоритмВ 1996 г. Прокофьев, Свистунов и Тупицын предложили новый квантовый метод

Представление взаимодействияРазобьем гамильтониан системы на основную часть и возмущение; это разбиение

Представление взаимодействияСвойства мацубаровского оператора эволюции:Статистическая сумма системы:Мацубаровская функция Грина в представлении

Ряд возмущений для статистической суммыРазложение по степеням возмущения для мацубаровского оператора эволюции:Выражение

Общая формулировка CTWL-алгоритма

Общая формулировка CTWL-алгоритмаГлавный элемент конфигурации – кинк сорта s и его параметры

CTWL-алгоритм для дискретного базисаУдобным базисом для узельной модели является представление чисел заполнения,

Общая формулировка CTWL-алгоритмаВид мгновенных конфигураций для ферми- и бозе-систем:

Общая формулировка CTWL-алгоритмаПростейший способ изменения конфигурации – процедура kink-antikink:Помимо процедуры kink-antikink требуются глобальные

Общая формулировка CTWL-алгоритмаПроводить вычисления более удобно в большом каноническом ансамбле, т.е. с

Общая формулировка CTWL-алгоритмаТеперь множество вариантов конфигураций с замкнутыми траекториями оказалось дополненным фиктивными

Общая формулировка CTWL-алгоритмаМгновенные конфигурации мировых линий с разрывами:

Общая формулировка CTWL-алгоритмаКвантово-механические средние от физических величин по-прежнему вычисляются по состояниям без

Процедура creation-annihilationПара процессов creation-annihilation:Статистический вес новой конфигурации:Уравнение детального баланса:Согласно алгоритму Метрополиса

Процедура creation-annihilationТакая реализация процедуры неэффективна:Нужно сравнивать не две конкретные конфигурации, а

Процедура рождения пары кинк-антикинкПроцедуры рождения и уничтожения пары кинк-антикинк с изменением чисел

Процедура рождения пары кинк-антикинкФормулы для балансного уравнения: