Компьютерная арифметика

var a: real;
i: integer;
begin
a:=0; i:=1;
repeat
a+=0.1; i+=1;
until

Компьютерная арифметика

§ 26. Особенности представления чисел в компьютере
§ 27. Хранение в

Компьютерная арифметика

§ 26. Особенности представления чисел в компьютере

Предельные значения чисел

В математике нет предельных значений!
В компьютере – конечное число

Предельные значения чисел

система счисления с основанием B

K разрядов

Переполнение разрядной сетки —

Вещественные числа

система счисления с основанием B

F разрядов в дробной части

Неточность представления

0,1234567

1,3211
1,3212
1,3214

Сравнение вещественных чисел

хранится неточно!

неточный результат!

допустимая погрешность (10-6)

Дискретность

Целые числа дискретны.
Вещественные числа непрерывны.
Компьютер работает только с дискретными данными.
При дискретизации

Компьютерная арифметика

§ 27. Хранение в памяти целых чисел

Целые числа без знака (unsigned)

78 = 10011102

Беззнаковые данные – не могут

Целые числа без знака

1111 1111
+ 0000 0001

1 0000

Целые числа без знака: диапазон

Целые числа со знаком

Старший (знаковый) бит числа определяет его знак. Если

Целые числа со знаком

Идея: «– 1» должно быть представлено так, чтобы

Как построить дополнительный код?

Алгоритм А0: перевести число 2K – X в

Как построить дополнительный код?

Алгоритм А2:
перевести число X-1 в двоичную систему

Целые числа со знаком

Целые числа co знаком: диапазон

Компьютерная арифметика

§ 28. Операции с целыми числами

Сложение и вычитание

0000 0101

1111 0111

+

1111 1100

-4 ←

Переполнение

знаковый бит

дополнительный бит

00100001

01100000

+

010000001

96

33

-127

S’

S

0

0

1

0

11011111

10100000

+

101111111

-96

-33

127

S’

S

1

1

0

1

Умножение

9
5

→45

00001001

×

00000101

00001001

00000000

00001001

0000101101

+

-9
5

→-45

11110111

×

00000101

11110111

00000000

11110111

10011010011

+

Поразрядные логические операции

Поразрядные операции выполняются с отдельными битами числа и не

Логическая операция «И» (and, &)

данные

маска

Маска – константа, которая определяет область применения

Логическая операция «ИЛИ» (or, |)

D

D or M

M

AA16

6С16

EE16

AA16

Операция «исключающее ИЛИ» (xor, ^)

D

D xor M

M

AA16

6С16

C616

AA16

Битовые логические операции (итог)

R

1) отключить лампочки 2 и 1, не

Шифрование с помощью xor

Идея: (A xor B) xor B =

A

Текст: 2*2=4

Коды

Шифрование с помощью xor

Исходный текст: 2*2=4

'2' → 3216 xor 1716 =
'*'

Логический сдвиг

Влево:

бит переноса

С

Вправо:

С

Си:

Паскаль:

N = N << 1;
N = N >> 1;

N

Логический сдвиг

Влево:

12

24

Вправо:

12

6

Логический сдвиг влево (вправо) – это быстрый способ умножения (деления

Арифметический сдвиг (вправо)

–12

С

– 6

Примеры:

20

15

11

3

1

→ 10

→ 7

→ 5

→ 1

→ 0

–20

–15

–11

–3

–1

→ –10

→ –8

→

Циклический сдвиг

Влево:

Вправо:

Пример

Задача: в целой переменной N (32 бита) закодирована информация о цвете

Пример
Вариант 2:
Сдвинуть вправо так, чтобы число G передвинулось в младший байт.
Обнулить

Пример

Си:

R =
B =

Паскаль:

R:=
B:=

Компьютерная арифметика

§ 29. Хранение в памяти вещественных чисел

Хранение вещественных чисел

С фиксированной запятой (в первых ЭВМ):

для больших и маленьких

Хранение вещественных чисел

Теоретически оптимальный вариант (целая часть = 0):

0,0012345 = 0,12345·10-2

12,345

Нормализация

Нормализованная форма: значащая часть Z удовлетворяет условию 1 ≤ Z <

Число обычной точности (single)

-17,25 = -10001,012 = -1,0001012·24

single: 4 байта =

Диапазон вещественных чисел

Extended – тип для вычислений в сопроцессоре, единица в

Компьютерная арифметика

§ 30. Операции с вещественными числами

Сложение и вычитание

порядки выравниваются до большего
значащие части складываются (или вычитаются)
результат нормализуется

1,2345·10

Умножение и деление

1,2345·10 – 5 · 1,2345·105 = ?

значащие части умножаются

Конец фильма

ПОЛЯКОВ Константин Юрьевич
д.т.н., учитель информатики
ГБОУ СОШ № 163, г. Санкт-Петербург
kpolyakov@mail.ru