Конические сечения

Сентябрь 3, 2022

Главная
Алгебра
Конические сечения

Содержание

2. Содержание История исследования (19 столетий ожидания) Коника Экспериментальное доказательство Вездесущий эллипс/применение конических сечений Словарь Список источников
3. История исследования (19 столетий молчания) Менехм Евклид Архимед Аполлоний Пергский Ферма Декарт Эйлер
4. Менехм (IV в. до н. э.) Впервые конические сечения (10) появились у Менехма (IV в. до
5. Евклид (III в. до н. э.) С именем Евклида связывают становление александрийской математики (геометрической алгебры) как
6. Архимед (ок. 287–212)) Разработал предвосхитившие интегральное исчисление методы нахождения площадей, поверхностей и объемов различных фигур и
7. Архимед (ок. 287–212))
8. Аполлоний Пергский (ок. 260–ок. 170) Аполлоний прославился в первую очередь выдающейся работой «Конические сечения» (8 книг),
9. Аполлоний Пергский (ок. 260–ок. 170) рис. 9 В работе Аполлония «Конические сечения» восемь книг; до наших
10. Аполлоний Пергский (ок. 260–ок. 170) рис. 9
11. Аполлоний Пергский (ок. 260–ок. 170) рис. 9 Из других заслуг Аполлония перед наукой стоит отметить, что
12. Аполлоний Пергский (ок. 260–ок. 170) рис. 9 Большой интерес представляют не только результаты Аполлония, но и
13. Пьер Ферма (1601–1665) рис. 9
14. Рене Декарт (1596–1650) рис. 9 «Геометрия» (аналитическая геометрия) получила наибольшую известность. «Геометрия» состоит из трех книг.
15. Леонард Эйлер (1707–1783) рис. 9 В 1748 г. Эйлер опубликовал большое сочинение «Введение в анализ бесконечных»
16. Коника Эллипс (+ частный случай окружность) Парабола Гипербола Свойства конических сечений
17. Эллипс рис. 9
18. Эллипс рис. 9
19. Парабола рис. 9
20. Парабола рис. 9
21. Гипербола рис. 9
22. Гипербола рис. 9
23. Свойства конических сечений рис. 9 Геометрическое место точек плоскости, для каждой из которых отношение расстояния до
24. Экспериментальное доказательство Опыт №1 (с вафельным стаканчиком) Опыт №2 (с карманным фонариком) Как начертить эллипс?
25. Опыт № 1 рис. 9
26. Опыт № 2 рис. 9
27. Как начертить эллипс? рис. 9
28. Вездесущий эллипс рис. 9
29. Словарь
30. Словарь
31. Словарь
32. Словарь
33. Список источников Галкин Е. В. Краткая история математики. – М.: АСТ, 2003. – 229с. Карпушина Н.
35. Скачать презентацию

Слайд 2

Содержание
История исследования (19 столетий ожидания)
Коника
Экспериментальное доказательство
Вездесущий эллипс/применение конических сечений
Словарь
Список источников

Слайд 3

История исследования (19 столетий молчания)
Менехм
Евклид
Архимед
Аполлоний Пергский
Ферма
Декарт
Эйлер

Слайд 4

Менехм (IV в. до н. э.)
Впервые конические сечения (10) появились у

Менехма (IV в. до н. э.).
Он рассматривал остроугольный, прямоугольный и тупоугольный конусы (11) и каждый из них пересекал плоскостью, перпендикулярной одной из образующих (13).
В первом случае в сечении с поверхностью конуса получался эллипс (35) (рис. 1), во втором — парабола (17) (рис. 2), в третьем — гипербола (6), точнее, одна, ветвь гиперболы (рис. 3).
Фактически он пользовался прямоугольными координатами на плоскости: за начало координат принимал вершину кривой второго порядка (12), за одну из координатных осей – главный диаметр, а другую ось проводил перпендикулярно первой в плоскости, в которой лежит кривая.

Слайд 5

Евклид (III в. до н. э.)
С именем Евклида связывают становление александрийской

математики (геометрической алгебры) как науки.
В XI книге «Начал» дается следующее определение: если вращающийся около одного из своих катетов прямоугольный треугольник, слева вернется в то же самое положение, из которого он начал двигаться, то описанная фигура будет конусом (11). Неподвижный катет, вокруг которого поворачивается треугольник, называется осью конуса (11), а круг, описываемый вращающимся катетом, называется основанием конуса.
Евклид рассматривает только прямые конусы, т. е. такие, у которых ось перпендикулярна к основанию.

Слайд 6

Архимед (ок. 287–212))
Разработал предвосхитившие интегральное исчисление методы нахождения площадей, поверхностей и объемов

различных фигур и тел.
В трактате «О коноидах и сфероидах» Архимед рассматривает шар (32) (рис. 4), эллипсоид (36) (рис. 5), параболоид (18) (рис. 6) и гиперболоид (7) (рис. 7), вращения и их сегменты и определяет их объемы.

рис. 4

рис. 7

рис. 6

рис. 5

изображения автор: Sam Derbyshir

Слайд 7

Архимед (ок. 287–212))

Слайд 8

Аполлоний Пергский (ок. 260–ок. 170)
Аполлоний прославился в первую очередь выдающейся работой «Конические

сечения» (8 книг), в которой дал содержательную общую теорию эллипса (35), параболы (17) и гиперболы (6).
Именно Аполлоний предложил общепринятые названия этих кривых; до него их называли просто «сечениями конуса».
Он ввёл и другие математические термины, латинские аналоги которых навсегда вошли в науку, в частности: асимптота (2), абсцисса, ордината.

Слайд 9

Аполлоний Пергский (ок. 260–ок. 170)
рис. 9
В работе Аполлония «Конические сечения» восемь книг; до

наших дней сохранилось семь.
В сравнении с Менехмом он становится на более общую точку зрения: берет произвольный конус, причем рассматривает две его полости, и пересекает конус плоскостью под разными углами. В случае, если плоскость пересекает все образующие(13) конуса, в ее пересечении с поверхностью конуса образуется эллипс; если она параллельна одной из образующих конуса – парабола; если плоскость пересекает обе полости конуса – гипербола.
Фактически Аполлоний пользуется косоугольной системой координат, принимая за начало координат любую точку Р кривой и направляя координатные оси по диаметру и по касательной к кривой, проходящих через точку Р.

Слайд 10

Аполлоний Пергский (ок. 260–ок. 170)
рис. 9

Слайд 11

Аполлоний Пергский (ок. 260–ок. 170)
рис. 9
Из других заслуг Аполлония перед наукой стоит отметить,

что он переработал астрономическую модель Евдокса (рис. 10), введя эпициклы (37) и эксцентрики (33) для объяснения неравномерности движения планет. Эту теорию позднее развили Гиппарх и Птолемей.
Сочинения Аполлония не влияли на развитие науки до VIII века.
С появлением аналитической геометрии, механики и новой теории движения планет Кеплера наступило возрождение идей Аполлония. Таким образом, от создания теории Аполлония до ее применения на практике потребовалось 19 столетий.

Слайд 12

Аполлоний Пергский (ок. 260–ок. 170)
рис. 9
Большой интерес представляют не только результаты Аполлония, но

и методы, которыми он пользуется. В них можно найти многочисленные мотивы более поздних достижений математики — алгебры, аналитической, проективной геометрии и местами даже дифференциальной геометрии.
Книга оказала огромное влияние на творчество последующих математиков, включая Ферма, Декарта, Ньютона, Лагранжа и многих других.
Каким образом Аполлоний, не владея математическим анализом, сумел сделать свои открытия, неясно. Возможно, у него, как у Архимеда, был некий метод бесконечно малых, который он использовал в эвристических целях, чтобы затем передоказать результат каноническими средствами античной геометрии.
Ван дер Варден пишет:
«Аполлоний виртуозно владеет геометрической алгеброй, но не менее виртуозно умеет скрывать свой первоначальный ход мыслей. Из-за этого-то его книгу и трудно понимать; рассуждения его элегантны и кристально ясны, но что его привело именно к таким рассуждениям, а не к иным каким-нибудь, — об этом можно лишь догадываться».

Слайд 13

Пьер Ферма (1601–1665)
рис. 9

Слайд 14

Рене Декарт (1596–1650)
рис. 9
«Геометрия» (аналитическая геометрия) получила наибольшую известность.
«Геометрия» состоит из

трех книг. Вопросы аналитической геометрии в ней разбросаны без особой системы по всем трем книгам.
В основу «Геометрии» положены две идеи: решение геометрических задач с помощью алгебры и метода координат и понятие переменной величины. «Поворотным пунктом в математике была декартова переменная величина. Благодаря этому в математику вошли движение и тем самым диалектика (8)» — написал Ф. Энгельс в работе «Диалектика природы».
Декарт подобно Ферма, чертил только одну координатную ось с начальной точкой, указывая направления других координат точек. Но иногда он проводил и две координатные оси, правда, располагая их необычным для нас образом. Кроме того, он, и Ферма, почти не употреблял отрицательных координат, что вынуждало его обрывать кривую точками, лежащими на координатных осях.

Слайд 15

Леонард Эйлер (1707–1783)
рис. 9
В 1748 г. Эйлер опубликовал большое сочинение «Введение

в анализ бесконечных» в двух томах, из которых первый том посвящен введению в анализ, а второй — аналитической геометрии.
Рассматриваются прямоугольные и косоугольные координаты точки на плоскости
Эйлер подробно излагает общую теорию кривых второго порядка, деля эти кривые на типы и приводя их уравнения к каноническим.
Он изучает также кривые третьего порядка, деля их на 16 родов, и кривые четвертого порядка (146 родов).
В основном Эйлер завершил работу систематизации аналитической геометрии.

Слайд 16

Коника
Эллипс (+ частный случай окружность)
Парабола
Гипербола
Свойства конических сечений

Слайд 17

Эллипс
рис. 9

Слайд 18

Эллипс
рис. 9

Слайд 19

Парабола
рис. 9

Слайд 20

Парабола
рис. 9

Слайд 21

Гипербола
рис. 9

Слайд 22

Гипербола
рис. 9

Слайд 23

Свойства конических сечений
рис. 9
Геометрическое место точек плоскости, для каждой из которых

отношение расстояния до заданной точки F (фокуса) к расстоянию до заданной прямой d (директрисы), не проходящей через заданную точку, постоянно и равно эксцентриситету называется:
эллипсом, если 0≤ε<1;
гиперболой, если ε>1;
параболой, если ε=1.
Эллипс, гипербола, парабола получаются в сечениях кругового конуса плоскостями и поэтому называются коническими сечениями. Это свойство также может служить геометрическим определением эллипса, гиперболы, параболы.

Слайд 24

Экспериментальное доказательство
Опыт №1 (с вафельным стаканчиком)
Опыт №2 (с карманным фонариком)
Как начертить эллипс?

Слайд 25

Опыт № 1
рис. 9

Слайд 26

Опыт № 2
рис. 9

Слайд 27

Как начертить эллипс?
рис. 9

Слайд 28

Вездесущий эллипс
рис. 9

Слайд 29

Словарь

Слайд 30

Словарь

Слайд 31

Словарь

Слайд 32

Словарь

Слайд 33

Список источников
Галкин Е. В. Краткая история математики. – М.: АСТ, 2003.

– 229с.
Карпушина Н. Во власти сечений//Наука и жизнь, 2012. № 5.
Асимптота//Википедия: [https://ru.wikipedia.org]. – Режим доступа: https://ru.wikipedia.org (Дата обращения: 14.04.2019)
Гипербола (математика)//Википедия: [https://ru.wikipedia.org]. – Режим доступа: https://ru.wikipedia.org (Дата обращения: 14.04.2019)
Гипербола: определение, свойства, построение// Математический форум Math Help Planet: [http://mathhelpplanet.com/static.php]. – Режим доступа: http://mathhelpplanet.com/static.php?p=giperbola (Дата обращения: 14.04.2019)
Гиперболоид//Википедия: [https://ru.wikipedia.org]. – Режим доступа: https://ru.wikipedia.org (Дата обращения: 14.04.2019)
История изучения геометрического тела конус //UZTEST.RU: [http://uztest.ru/]. – Режим доступа: http://uztest.ru/abstracts/?idabstract=523545 (Дата обращения: 14.04.2019)
Коническое сечение//Википедия: [https://ru.wikipedia.org]. – Режим доступа: https://ru.wikipedia.org (Дата обращения: 14.04.2019)
Конус//Википедия: [https://ru.wikipedia.org]. – Режим доступа: https://ru.wikipedia.org (Дата обращения: 14.04.2019)
Кривая второго порядка//Википедия: [https://ru.wikipedia.org]. – Режим доступа: https://ru.wikipedia.org (Дата обращения: 14.04.2019)

Конические сечения

Содержание

История исследования (19 столетий молчания)МенехмЕвклидАрхимедАполлоний ПергскийФермаДекартЭйлер

Менехм (IV в. до н. э.)Впервые конические сечения (10) появились у

Евклид (III в. до н. э.)С именем Евклида связывают становление александрийской

Архимед (ок. 287–212))Разработал предвосхитившие интегральное исчисление методы нахождения площадей, поверхностей и объемов

Архимед (ок. 287–212))

Аполлоний Пергский (ок. 260–ок. 170) Аполлоний прославился в первую очередь выдающейся работой «Конические

Аполлоний Пергский (ок. 260–ок. 170)рис. 9В работе Аполлония «Конические сечения» восемь книг; до

Аполлоний Пергский (ок. 260–ок. 170)рис. 9

Аполлоний Пергский (ок. 260–ок. 170)рис. 9Из других заслуг Аполлония перед наукой стоит отметить,

Аполлоний Пергский (ок. 260–ок. 170)рис. 9Большой интерес представляют не только результаты Аполлония, но

Пьер Ферма (1601–1665)рис. 9

Рене Декарт (1596–1650)рис. 9«Геометрия» (аналитическая геометрия) получила наибольшую известность.«Геометрия» состоит из

Леонард Эйлер (1707–1783)рис. 9В 1748 г. Эйлер опубликовал большое сочинение «Введение

КоникаЭллипс (+ частный случай окружность)ПараболаГиперболаСвойства конических сечений

Эллипсрис. 9

Эллипсрис. 9

Параболарис. 9

Параболарис. 9

Гиперболарис. 9

Гиперболарис. 9

Свойства конических сеченийрис. 9Геометрическое место точек плоскости, для каждой из которых

Экспериментальное доказательствоОпыт №1 (с вафельным стаканчиком)Опыт №2 (с карманным фонариком)Как начертить эллипс?

Опыт № 1рис. 9

Опыт № 2рис. 9

Как начертить эллипс?рис. 9

Вездесущий эллипсрис. 9

Словарь

Словарь

Словарь

Словарь

Список источниковГалкин Е. В. Краткая история математики. – М.: АСТ, 2003.

Похожие презентации

История исследования (19 столетий молчания)
Менехм
Евклид
Архимед
Аполлоний Пергский
Ферма
Декарт
Эйлер

Менехм (IV в. до н. э.)
Впервые конические сечения (10) появились у

Евклид (III в. до н. э.)
С именем Евклида связывают становление александрийской

Архимед (ок. 287–212))
Разработал предвосхитившие интегральное исчисление методы нахождения площадей, поверхностей и объемов

Аполлоний Пергский (ок. 260–ок. 170)
Аполлоний прославился в первую очередь выдающейся работой «Конические

Аполлоний Пергский (ок. 260–ок. 170)
рис. 9
В работе Аполлония «Конические сечения» восемь книг; до

Аполлоний Пергский (ок. 260–ок. 170)
рис. 9

Аполлоний Пергский (ок. 260–ок. 170)
рис. 9
Из других заслуг Аполлония перед наукой стоит отметить,

Аполлоний Пергский (ок. 260–ок. 170)
рис. 9
Большой интерес представляют не только результаты Аполлония, но

Пьер Ферма (1601–1665)
рис. 9

Рене Декарт (1596–1650)
рис. 9
«Геометрия» (аналитическая геометрия) получила наибольшую известность.
«Геометрия» состоит из

Леонард Эйлер (1707–1783)
рис. 9
В 1748 г. Эйлер опубликовал большое сочинение «Введение

Коника
Эллипс (+ частный случай окружность)
Парабола
Гипербола
Свойства конических сечений

Эллипс
рис. 9

Эллипс
рис. 9

Парабола
рис. 9

Парабола
рис. 9

Гипербола
рис. 9

Гипербола
рис. 9

Свойства конических сечений
рис. 9
Геометрическое место точек плоскости, для каждой из которых

Экспериментальное доказательство
Опыт №1 (с вафельным стаканчиком)
Опыт №2 (с карманным фонариком)
Как начертить эллипс?

Опыт № 1
рис. 9

Опыт № 2
рис. 9

Как начертить эллипс?
рис. 9

Вездесущий эллипс
рис. 9

Список источников
Галкин Е. В. Краткая история математики. – М.: АСТ, 2003.