Квантовая механика

в одномерной бесконечно глубокой потенциальной яме
Одномерный потенциальный порог и барьер

Лекция 9

свободной частицы

Если Ψ- функция описывает ансамбль, состоящий из большого числа частиц, то величина |Ψ|2 в любой точке пропорциональна числу частиц, которые будут обнаружены в малой окрестности данной точки.

Если волновая функция Ψ описывает отдельную частицу (например, электрон в атоме), то |Ψ|2 интерпретируется следующим образом: вероятность dw(x,y,z,t) того, что частица в момент времени t находится в элементе объема dV=dx.dy.dz, выбранном вблизи точки с координатами x, y, z, пропорциональна /Ψ(x,y,z,t)/ 2 и объему, т.е.

модуля ее амплитуды /Ψ/ 2=Ψ Ψ * − интенсивность волны де Бройля, равная плотности вероятности ω, т.е. вероятности пребывания частицы в окрестности данной точки М в данный момент времени.
Волновая функция Ψ − основная характеристика состояния микрообъектов (элементарных частиц, атомов, молекул).

dP - вероятность того, что для заданного квантового состояния частицы в некоторый момент времени мы обнаружим частицу в элементарном объеме dV, окружающем точку M.

пространства конечного объема:

случае движения частиц со скоростями, много меньшими скорости света в вакууме. Уравнение постулируется.

- общее (временное) уравнение Шредингера

m − масса микрочастицы,

U(x,y,z,t) − функция координат и времени, описывающая воздействие на частицу силовых полей (в стационарном случае U(x,y,z) − потенциальная энергия частицы)

− оператор Лапласа

в частных производных должно решаться с учетом определенных начальных и граничных условий на волновую функцию.
Начальное условие задает значение волновой функции в начальный момент времени.
Граничные условия являются следствием регулярности волновой функции, обеспечивая, в частности, ее непрерывность. Эти условия формулируются на границах областей, где потенциальная функция терпит разрывы первого или второго рода. Сюда же относятся условия на волновую функцию в бесконечно удаленных точках пространства, которые обеспечивают выполнение условия нормировки:

и однозначная;
2) производные от Ψ по x, y, z, t непрерывны (в отсутствии бесконечного скачка функции U(x,y,z,t));
3) функция |Ψ|2 должна быть интегрируема, т.е. интеграл
должен быть конечным.

зависят от времени, в частности U=U(x, y, z).

Решение уравнения Шредингера может быть представлено в виде

где частота ω постоянна, а функция ψ(x,y,z) не зависит от времени.

- стационарное уравнение Шредингера

Е - полная энергия частицы.

Функции ψ, удовлетворяющие стационарному уравнению Шредингера при данном значении потенциальной энергии частицы U(x,y,z), называются собственными функциями.

Значения Е, при которых существуют решения уравнения, называются собственными значениями.

Совокупность собственных значений называется их спектром. Спектр может быть дискретный или сплошной.

оси x с постоянной скоростью V в отсутствии силовых полей, т.е. U(x, y, z)≡0, Е = Е кин.

- частное решение

- общее решение

Плотность вероятности обнаружения частицы не зависит от времени и в любой точке пространства одинакова.

принимает значения:

Частица, находящаяся в “яме”, за пределы ямы попасть не может за ее пределами ψ(x)≡0.

Из условия непрерывности волновой функции следует, что на границах “ямы”

стационарное уравнение Шредингера

Решение уравнения

(1)

уровнями энергии

для больших n

Для массивных частиц и для больших l (например, молекулы в сосуде) уровни энергии будут практически сливаться, однако при малых n и l (электроны в атоме) ΔEn сравнимо с величиной En.

(1) α = 0, sin(kl) = 0 kl = ± n π (n= 1,2,…)

энергия частицы в яме может принимать только дискретные значения

(2)

n – квантовое число,
Еn – уровень энергии.
Состояние частицы с наименьшей энергией (n =1) – основное состояние.
Все остальные состояния – возбужденные: n = 2 – первое возбужденное состоянию, n =3 – второе возбужденное состояние и т.д.

из условия нормировки (частица обязательно должна находиться внутри потенциальной ямы, следовательно, вероятность нахождения её в “яме” равна единице)

на ширине “ямы” l должно укладываться целое число полуволн де Бройля свободной частицы с энергией E= En

и значение ее пропорционально n2;
вероятность обнаружить частицу меняется от точки к точке;
если значение квантового числа n устремить к бесконечности, решение переходит в классическое.

2. Частица в бесконечно глубокой одномерной потенциальной яме

энергия частицы больше высоты барьера (E>U0), то частица беспрепятственно проходит “над барьером”, на участке 0 ≤ x ≤ l лишь уменьшается её кинетическая энергия. Если энергия частицы меньше высоты барьера (E < U0 ), то частица “отражается” от барьера и летит в обратную сторону.

Согласно квантовой механике при E > U0 существует отлич-ная от нуля вероятность того, что частица “отразится” от барьера, а при E < U0 существует отличная от нуля вероятность того, что частица проникнет “сквозь” барьер и окажется в области x > l.

Пусть частица, движущаяся слева направо, встречает на своем пути потенциальный барьер высоты U0 и ширины l.

означает, что существует отличная от нуля вероятность того, что частица проникает сквозь барьер.

3. Прохождение частицы сквозь потенциальный барьер

Явление проникновения частиц сквозь потенциальный барьер -туннельный эффект (частица как бы проходит по туннелю через классически запрещенную область).
При прохождении через барьер полная энергия частицы не меняется

Туннельным эффектом объясняются многие физические явления − контактная разность потенциалов и холодная эмиссия электронов из металлов, многие явления ядерной физики. Туннельный эффект используется в некоторых приборах радиоэлектроники (туннельный диод) и в измерительной технике (туннельный микроскоп).