Содержание
- 2. Лекция 6. Преобразования Лоренца
- 3. 6.1.1.Постулаты. Поскольку преобразования Галилея для достаточно больших скоростей приводят к выводам, противоречащим экспериментам, и постоянство скорости
- 4. 6.1.2.Линейность преобразования координат. Ориентировку движущихся систем координат чисто геометрическими преобразованиями, сводящимися к пространственным поворотам и переносам
- 5. Общий вид этих функций определяется свойствами пространства и времени. При рассмотрении геометрических соотношений в выбранной системе
- 6. Однородность и изотропность пространства являются его главными свойствами в инерциальных системах координат. Время также обладает важнейшим
- 7. Из однородности пространства и времени следует, что преобразования (6.1.1) должны быть линейными. Для доказательства рассмотрим бесконечно
- 8. где А1, А2, А3, А4 и А5 — постоянные. Таким образом, функция Ф1 (х,y,z,t) является линейной
- 9. (6.1.5) при любых х, у, z и t. Это возможно лишь при условии а1 = а3
- 10. Величина 1/а показывает, во сколько раз длина некоторого масштаба в нештрихованной системе больше, чем в штрихованной.
- 11. где α' — коэффициент пропорциональности. Докажем, что согласно принципу относительности α = α'. Пусть некоторый стержень
- 12. (6.1.13) В нештрихованной системе этот стержень движется со скоростью υ. Длиной его считается расстояние между двумя
- 13. В штрихованной системе, принятой за неподвижную, этот стержень движется со скоростью –υ. Чтобы измерить его длину
- 14. Теперь воспользуемся постулатом постоянства скорости света. Пусть в момент времени, когда начала координат совпадают и когда
- 15. Из равенства (6.1.11), используя (6.1.10), имеем (6.1.21) откуда с учетом (6.1.20) (6.1.22) 6.1.5.Преобразования Лоренца. Преобразования (6.1.9),
- 16. Обратные преобразования согласно принципу относительности имеют такой же вид, но лишь изменяется знак скорости: (6.1.24) Переход
- 17. 6.1.6.Преобразования Галилея как предельный случай преобразований Лоренца. В предельном случае скоростей, много меньших скорости света, в
- 19. Скачать презентацию
Лекция 6. Преобразования Лоренца
Лекция 6. Преобразования Лоренца
6.1.1.Постулаты. Поскольку преобразования Галилея для достаточно больших скоростей приводят к выводам,
6.1.1.Постулаты. Поскольку преобразования Галилея для достаточно больших скоростей приводят к выводам,
принципа относительности;
принципа постоянства скорости света.
Оба эти принципа, хотя и подтверждены многочисленными экспериментами, имеют характер постулатов и поэтому иногда называются постулатом относительности и постулатом постоянства скорости света.
6.1.2.Линейность преобразования координат. Ориентировку движущихся систем координат чисто геометрическими преобразованиями, сводящимися
6.1.2.Линейность преобразования координат. Ориентировку движущихся систем координат чисто геометрическими преобразованиями, сводящимися
(6.1.1)
где в правых частях стоят некоторые функции Фь вид которых надо найти.
Общий вид этих функций определяется свойствами пространства и времени. При рассмотрении
Общий вид этих функций определяется свойствами пространства и времени. При рассмотрении
Однородность и изотропность пространства являются его главными свойствами в инерциальных системах
Однородность и изотропность пространства являются его главными свойствами в инерциальных системах
Время также обладает важнейшим свойством однородности. Физически это означает следующее. Пусть некоторая физическая ситуация возникает в некоторый момент времени. В последующие моменты времени она будет каким-то образом развиваться. И пусть такая же физическая ситуация возникает в любой другой момент времени. Если она в последующие моменты времени будет развиваться относительно этого момента точно так же, как она в первом случае развивалась относительно своего начального момента, то говорят, что время однородно. Иначе говоря,
однородность времени есть одинаковость развития и изменения данной физической ситуации независимо от того, в какой момент времени эта ситуация сложилась.
Из однородности пространства и времени следует, что преобразования (6.1.1) должны быть
Из однородности пространства и времени следует, что преобразования (6.1.1) должны быть
В силу однородности пространства и времени эти соотношения должны быть одинаковыми для всех точек пространства и для любых моментов времени. А это означает, что величины дФ1/дх, дФ1/ду, дФ1/dz, дФ1/dt не должны зависеть от координат и времени, т. е. являются постоянными. Поэтому функция Ф1 имеет следующий вид:
(6.1.2)
(6.1.3)
где А1, А2, А3, А4 и А5 — постоянные. Таким образом,
6.1.3.Преобразования для у и z. Точка начала в каждой системе координат задается равенствами х = у = z = 0, х' = у' = z' = 0. Будем считать, что в момент t = 0 начала координат совпадают. Тогда свободный член A5 в линейных преобразованиях вида (6.1..3) должен быть равен нулю и преобразования для у и z запишутся следующим образом
Ориентировка осей координат указана на рис. 4.1: ось у' параллельна оси у, а ось z — оси z. Поскольку ось х' все время совпадает с осью х, из условия у = 0 всегда следует равенство у' = 0, а из условия z = 0 — равенство z' = 0, т. е. должно быть
(6.1.4)
(6.1.5)
при любых х, у, z и t. Это возможно лишь
(6.1.5)
при любых х, у, z и t. Это возможно лишь
а1 = а3 = а4 = 0, b1== b2 = b4 = 0.
(6.1.6)
Поэтому преобразования для у и z принимают следующий простой вид:
(6.1.7)
где учтено, что в силу равноправности осей у и z относительно движения коэффициенты в преобразованиях должны быть одинаковыми: у3 = bз = а. Коэффициент а в формуле (6.1.7) показывает, во сколько раз длина некоторого масштаба в штрихованной системе координат больше, чем в нештрихованной. Перепишем (6.1.7) в виде
(6.1.8)
Величина 1/а показывает, во сколько раз длина некоторого масштаба в нештрихованной
Величина 1/а показывает, во сколько раз длина некоторого масштаба в нештрихованной
(6.1.9)
6.1.4.Преобразования для х и t. Поскольку переменные у и z преобразуются отдельно, переменные х и t могут быть связаны линейным преобразованием только друг с другом. Точка начала движущейся системы координат в неподвижной имеет координату х = υt,
а в движущейся системе — координату х' = 0. Поэтому в силу линейности преобразования должно быть
(6.1.10)
где α' — коэффициент пропорциональности. Докажем, что согласно принципу относительности α
где α' — коэффициент пропорциональности. Докажем, что согласно принципу относительности α
Пусть некоторый стержень покоится в штрихованной системе координат и имеет в ней длину l. Это означает, что координаты начала и конца стержня различаются в этой системе на величину l:
где α — коэффициент пропорциональности, который требуется определить.
Совершенно аналогичные рассуждения можно провести, отправляясь от движущейся системы, приняв ее за покоящуюся. Тогда в ней точка начала координат нештрихованной системы имеет координату х' = - υt', поскольку в штрихованной системе нештрихованная движется в направлении отрицательных значений оси х. Точка начала координат нештрихованной системы в нештрихованной системе характеризуется равенством х = 0. Следовательно, отправляясь от штрихованной системы, как неподвижной, приходим вместо (6.1.10) к преобразованию
(6.1.11)
(6.1.12)
(6.1.13)
В нештрихованной системе этот стержень движется со скоростью υ. Длиной его
(6.1.13)
В нештрихованной системе этот стержень движется со скоростью υ. Длиной его
Следовательно, длина движущегося стержня в неподвижной нештрихованной системе равна
(6.1.14)
Пусть теперь тот же стержень покоится в нештрихованной системе и имеет в ней длину l. Следовательно, координаты начала и конца стержня различаются в этой системе на величину l, т. е.
(6.1.15)
В штрихованной системе, принятой за неподвижную, этот стержень движется со скоростью
В штрихованной системе, принятой за неподвижную, этот стержень движется со скоростью
(6.1.16)
Следовательно, длина движущегося стержня в штрихованной системе, принятой за неподвижную, равна
(6.1.17)
Согласно принципу относительности обе системы равноправны и длина одного и того же стержня, движущегося в этих системах с одинаковой скоростью, должна быть одинаковой. Поэтому в формулах (6.1.14) и (6.1.17) должно быть (l/α) = (l/α'), т. е. α = α', что и требовалось доказать.
Теперь воспользуемся постулатом постоянства скорости света. Пусть в момент времени, когда
Теперь воспользуемся постулатом постоянства скорости света. Пусть в момент времени, когда
(6.1.18)
в которых учтено, что в обеих системах скорость света имеет одно и то же значение с. Эти равенства характеризуют положение светового сигнала, распространяющегося в направлении осей х, х' в любой момент времени каждой из систем координат. Подставляя (6.1.18) в формулы (6.1.10) и (6.1.11) с учетом того, что α = α', находим:
(6.1.19)
Умножая левые и правые части этих равенств друг на. друга и сокращая на t't, получаем
(6.1.20)
Из равенства (6.1.11), используя (6.1.10), имеем
(6.1.21)
откуда с учетом (6.1.20)
(6.1.22)
6.1.5.Преобразования Лоренца. Преобразования
Из равенства (6.1.11), используя (6.1.10), имеем
(6.1.21)
откуда с учетом (6.1.20)
(6.1.22)
6.1.5.Преобразования Лоренца. Преобразования
(6.1.23)
Обратные преобразования согласно принципу относительности имеют такой же вид, но лишь
Обратные преобразования согласно принципу относительности имеют такой же вид, но лишь
(6.1.24)
Переход от (6.1.23) к (6.1.24) можно произвести и без использования принципа относительности. Для этого надо равенства (6.1.23) рассмотреть как систему уравнений относительно нештрихованных величин и решить ее. В результате получаются выражения (6.1.24). Рекомендуем проделать это вычисление в качестве упражнения.
6.1.6.Преобразования Галилея как предельный случай преобразований Лоренца. В предельном случае скоростей,
6.1.6.Преобразования Галилея как предельный случай преобразований Лоренца. В предельном случае скоростей,