Методы линейной алгебры в экономическом анализе Модель Леонтьева многоотраслевой экономики

Сентябрь 2, 2022

Главная
Алгебра
Методы линейной алгебры в экономическом анализе Модель Леонтьева многоотраслевой экономики

Содержание

2. Балансовые таблицы Для наглядного выражения взаимной связи между отраслями используются таблицы, которые называются таблицами межотраслевого баланса.
3. Условия анализа Народное хозяйство разбито на некоторое число и отраслей, которые производят свой однородный продукт, причем
4. Условия моделирования Имеется n различных отраслей О1,,..., Оn, каждая из которых производит свой продукт. Отрасль Оi
5. Исходные данные модели Xi,- общий объем продукции i отрасли за данный промежуток времени - валовой выпуск
6. Балансовая таблица
7. Баланс отраслей Балансовый характер этой таблицы выражается в том, что при любом i = 1, ...,
8. Формализация балансовой модели Единицы измерения всех указанных величин могут быть или натуральными (кубометры, тонны, штуки, киловатт-часы
9. Формализация балансовой модели Величины аij=xij/Xj остаются постоянными в течение ряда лет. Это обусловливается примерным постоянством используемой
10. Формализация балансовой модели Согласно гипотезе линейности имеем xij = aij*Xj (i,j= l,...,n). Коэффициенты аij называют коэффициентами
11. Формализация балансовой модели В предположении линейности соотношения модели принимают вид: Х1 = а11*x1 + а12*х2 +
12. Матричная форма модели X= Ах+у, a11 a12 a1n X1 Y1 А = а21 а22 ...a2n X
13. Модель Леонтьева Вектор X называется вектором валового выпуска, вектор Y - вектором конечного потребления, а матрица
14. Планирование с помощью балансовой модели Уравнения межотраслевого баланса используют для целей планирования. В этом случае задача
15. Нужно решить задачу: сколько следует произвести продукции различных видов, чтобы обеспечить заданный уровень конечного потребления? В
16. Ограничения модели При этом нужно иметь в виду следующие особенности системы 1. Все компоненты матрицы А
17. Продуктивные модели Леонтьева Определение. Матрица А>0 называется продуктивной, если для любого вектора у>0 существует решение х
18. Условия продуктивности Теорема 1 (первый критерий продуктивности). Если А >= 0 и для некоторого положительного вектора
19. Условия продуктивности Теорема 2 (второй критерий продуктивности). Матрица A2>=0 продуктивна тогда и только тогда, когда матрица
20. Условия продуктивности Теорема 3 (третий критерий продуктивности). Матрица А >= 0 продуктивна тогда и только тогда,
21. Правила проверки продуктивности Если сумма элементов любого столбца неотрицательной матрицы А меньше 1 , то А
22. Запас продуктивности Пусть А >= 0 - продуктивная матрица. Запасом продуктивности матрицы А назовем такое число
23. Модель равновесных цен Рассмотрим теперь балансовую модель, двойственную к модели Леонтьева - равновесных цен. Пусть, А
24. Обозначим через p=(p1,p2,рn) - вектор цен, i-я координата которого равна цене единицы продукции i-й отрасли; тогда,
25. Модель равновесных цен Часть своего дохода эта отрасль потратит на закупку продукции у других отраслей. Так,
26. Модель равновесных цен Тогда для выпуска продукции в объеме x1 первой отрасли необходимо потратить на закупку
27. Модель равновесных цен Получим равенство: X1P1 = X1(a11p1 + a21 P2 + .. + an1 Рn)
28. Модель равновесных цен Аналогично получим для остальных отраслей P2 =(a12p1 + a22 P2 + .. +
29. Модель равновесных цен Модель равновесных цен позволяет, зная величины норм добавленной стоимости, прогнозировать цены на продукцию
30. Метод наименьших квадратов Метод наименьших квадратов (часто называемый МНК) обычно упоминается в двух контекстах. Во-первых, использование
31. Общий линейный метод наименьших квадратов При аппроксимации методом наименьших квадратов аппроксимируемая функция f задается набором N
33. При этом коэффициенты cj выбираются таким образом, чтобы минимизировать сумму квадратов отклонений аппроксимирующей функции от заданных
34. Методы поиска коэффициентов
36. Скачать презентацию

Слайд 2

Балансовые таблицы
Для наглядного выражения взаимной связи между отраслями используются таблицы, которые

называются таблицами межотраслевого баланса. Идея таких таблиц была сформулирована в работах советских экономистов, а первая таблица опубликована ЦСУ в 1926 г. Формализованная модель межотраслевого баланса, обеспечивающая широкие возможности анализа, была разработана в 1936 г. Русско- американским экономистом В. Леонтьевым .

Слайд 3

Условия анализа
Народное хозяйство разбито на некоторое число и отраслей, которые производят

свой однородный продукт, причем разные отрасли производят разные продукты. Такое представление является абстракцией, так как в реальной экономике отрасль определяется не только названием выпускаемого продукта, но и ведомственной принадлежностью своих предприятий. Такое представление об отрасли целесообразно, так как позволяет изучить функционирование народного хозяйства «в первом приближении».

Слайд 4

Условия моделирования
Имеется n различных отраслей О1,,..., Оn, каждая из которых производит

свой продукт. Отрасль Оi будем коротко называть «i-я отрасль». В процессе производства своего продукта каждая отрасль нуждается в продукции других отраслей (производственное потребление). Рассмотрит определенный промежуток времени [Т0, Т1] (обычно таким промежутком служит плановый год) и введем следующие обозначения:

Слайд 5

Исходные данные модели
Xi,- общий объем продукции i отрасли за данный промежуток

времени - валовой выпуск отрасли i;
xij - объем продукции отрасли i, расходуемый отраслью j в процессе производства;
Yi - объем продукции отрасли i, предназначенный к потреблению в непроизводственной сфере - объем конечного потребления.

Слайд 6

Балансовая таблица

Слайд 7

Баланс отраслей
Балансовый характер этой таблицы выражается в том, что при любом

i = 1, ..., n должно выполняться соотношение
Xi=xi1+xi2+…….+xin + Yi, означающее, что валовой выпуск Xi расходуется на производственное потребление, равное хi1 +xi2 + ... +xin, и непроизводственное потребление, равное Yi, называют соотношениями баланса.

Слайд 8

Формализация балансовой модели
Единицы измерения всех указанных величин могут быть или натуральными

(кубометры, тонны, штуки, киловатт-часы и т. п.), или стоимостными. В зависимости от этого различают натуральный и стоимостной межотраслевой балансы. Будем рассматривать стоимостные балансы.

Слайд 9

Формализация балансовой модели
Величины аij=xij/Xj остаются постоянными в течение ряда лет. Это

обусловливается примерным постоянством используемой технологии.
Т.О. для выпуска любого объема Xj- продукции отрасли j необходимо затратить продукцию отрасли i в количестве aij*Xj.-, где аij - постоянный коэффициент. Материальные издержки пропорциональны объему производимой продукции. Это допущение предполагает линейность существующей технологии.

Слайд 10

Формализация балансовой модели
Согласно гипотезе линейности имеем
xij = aij*Xj (i,j= l,...,n).
Коэффициенты

аij называют коэффициентами прямых затрат (коэффициентами материалоемкости).

Слайд 11

Формализация балансовой модели
В предположении линейности соотношения модели принимают вид:
Х1 = а11*x1

+ а12*х2 + ... + а1n*хn +Y1
X2 = а12*x1 + а22*х2 + ... + а2n*хn+Y2
…………………………………….
Xn = a1n*x1 +a2n*x2 +… +ann*xn+Yn

Слайд 12

Матричная форма модели
X= Ах+у,
a11 a12 a1n X1 Y1
А =

а21 а22 ...a2n X = X2 Y = Y2
an1 an2 ann Xn Yn

Слайд 13

Модель Леонтьева
Вектор X называется вектором валового выпуска,
вектор Y - вектором

конечного потребления, а матрица А - матрицей прямых затрат. Соотношение называется уравнением линейного межотраслевого баланса.
Данную математическую модель называют моделью Леонтьева.

Слайд 14

Планирование с помощью балансовой модели
Уравнения межотраслевого баланса используют для целей планирования.

В этом случае задача ставится так: для планового периода [Т0, T1] задается вектор у конечного потребления. Требуется определить вектор х валового выпуска.

Слайд 15

Нужно решить задачу: сколько следует произвести продукции различных видов, чтобы обеспечить

заданный уровень конечного потребления? В этом случае необходимо решить систему линейных уравнений с неизвестным вектором х при заданных матрице А и векторе у.

Слайд 16

Ограничения модели
При этом нужно иметь в виду следующие особенности системы
1. Все

компоненты матрицы А и вектора у неотрицательны (определяется экономическим смыслом А и у). Обычно говорят о неотрицательности самой матрицы А и вектора у : A>= 0, y>= 0.
2. Все компоненты вектора х также должны быть неотрицательными: х >= 0.

Слайд 17

Продуктивные модели Леонтьева
Определение. Матрица А>0 называется продуктивной, если для любого вектора

у>0 существует решение х > 0 уравнения X= Ах + у.
В этом случае и модель Леонтьева, определяемая матрицей А, тоже называется продуктивной.
Т.О. модель Леонтьева продуктивна, если любой вектор у>=0 конечного потребления можно получить при подходящем валовом выпуске X >= 0.

Слайд 18

Условия продуктивности
Теорема 1 (первый критерий продуктивности).
Если А >= 0 и

для некоторого положительного вектора Y* уравнение имеет решение х>=0, то матрица А продуктивна.

Слайд 19

Условия продуктивности
Теорема 2 (второй критерий продуктивности).
Матрица A2>=0 продуктивна тогда и

только тогда, когда матрица (Е-А)-1 существует и неотрицательна.

Слайд 20

Условия продуктивности
Теорема 3 (третий критерий продуктивности). Матрица А >= 0 продуктивна

тогда и только тогда, когда сходится бесконечный ряд
Е + А+А2 + А3...

Слайд 21

Правила проверки продуктивности
Если сумма элементов любого столбца неотрицательной матрицы А меньше

1 , то А продуктивна.
Если в неотрицательной матрице А сумма элементов любой строки меньше 1 , то матрица А продуктивна.

Слайд 22

Запас продуктивности
Пусть А >= 0 - продуктивная матрица. Запасом продуктивности матрицы

А назовем такое число α > 0, что все матрицы λА, где 1 < λ < 1+α, продуктивны, а матрица (1+ α)А - не продуктивна.

Слайд 23

Модель равновесных цен
Рассмотрим теперь балансовую модель, двойственную к модели Леонтьева

- равновесных цен. Пусть, А - матрица прямых затрат, x = (x1 х2,..., хn) - вектор валового выпуска.

Слайд 24

Обозначим через p=(p1,p2,рn) - вектор цен, i-я координата которого равна цене

единицы продукции i-й отрасли; тогда, первая отрасль получит доход, равный р1х1, вторая – р2х2 и т.д.

Слайд 25

Модель равновесных цен
Часть своего дохода эта отрасль потратит на закупку продукции

у других отраслей. Так, для выпуска единицы продукции ей необходима продукция первой отрасли в объеме a11, второй отрасли в объеме а21, n-й отрасли в объеме аn, и т. д. На покупку этой продукции ею будет затрачена сумма, равная а11p1 +а21р2 + ••• + аn1pn.

Слайд 26

Модель равновесных цен
Тогда для выпуска продукции в объеме x1 первой отрасли

необходимо потратить на закупку продукции других отраслей сумму, равную x1*(а11p1 + а22р2 + ... + an1pn). Обозначим оставшуюся часть дохода, называемую добавленной стоимостью, через V1, (эта часть дохода идет на выплату зарплаты и налогов, предпринимательскую прибыль и инвестиции).

Слайд 27

Модель равновесных цен
Получим равенство:
X1P1 = X1(a11p1 + a21 P2 + ..

+ an1 Рn) + V1. Разделив это равенство на X1, получаем
P1 = (a11P1 + a21 P2 + .. + an1 Рn) + V1
где V1 = P1/X1 норма добавленной стоимости (величина добавленной стоимости на единицу выпускаемой продукции).

Слайд 28

Модель равновесных цен
Аналогично получим для остальных отраслей
P2 =(a12p1 + a22 P2

+ .. + an2 Рn) + V2
…..
Pn =(a1np1 + a2n P2 + .. + ann Рn) + Vn
Найденные равенства могут быть записаны в матричной форме : P=ATP+ V
где V = (V1, V2,..., Vn) - вектор норм добавленной стоимости.

Слайд 29

Модель равновесных цен
Модель равновесных цен позволяет, зная величины норм добавленной стоимости,

прогнозировать цены на продукцию отраслей. Она также позволяет прогнозировать изменение цен и инфляцию, являющиеся следствием изменения цены в одной из отраслей.

Слайд 30

Метод наименьших квадратов
Метод наименьших квадратов (часто называемый МНК) обычно упоминается в

двух контекстах. Во-первых, использование в регрессионном анализе, как метода построения моделей статистических данных. Во-вторых, МНК часто применяется просто как метод аппроксимации, без какой-либо привязки к статистике.

Слайд 31

Общий линейный метод наименьших квадратов
При аппроксимации методом наименьших квадратов аппроксимируемая функция

f задается набором N точек (xi , yi ). Аппроксимирующая функция g строится, как линейная комбинация базисных функций Fj (количество функций M обычно меньше числа точек N)

Слайд 32

Слайд 33

При этом коэффициенты cj выбираются таким образом, чтобы минимизировать сумму квадратов

отклонений аппроксимирующей функции от заданных значений

Слайд 34

Методы линейной алгебры в экономическом анализе Модель Леонтьева многоотраслевой экономики

Содержание

Балансовые таблицыДля наглядного выражения взаимной связи между отраслями используются таблицы, которые

Условия анализаНародное хозяйство разбито на некоторое число и отраслей, которые производят

Условия моделированияИмеется n различных отраслей О1,,..., Оn, каждая из которых производит

Исходные данные моделиXi,- общий объем продукции i отрасли за данный промежуток

Балансовая таблица

Баланс отраслейБалансовый характер этой таблицы выражается в том, что при любом

Формализация балансовой моделиЕдиницы измерения всех указанных величин могут быть или натуральными

Формализация балансовой моделиВеличины аij=xij/Xj остаются постоянными в течение ряда лет. Это

Формализация балансовой моделиСогласно гипотезе линейности имеемxij = aij*Xj (i,j= l,...,n). Коэффициенты

Формализация балансовой моделиВ предположении линейности соотношения модели принимают вид:Х1 = а11*x1

Матричная форма моделиX= Ах+у, a11 a12 a1n X1 Y1А =

Модель ЛеонтьеваВектор X называется вектором валового выпуска, вектор Y - вектором

Планирование с помощью балансовой моделиУравнения межотраслевого баланса используют для целей планирования.

Нужно решить задачу: сколько следует произвести продукции различных видов, чтобы обеспечить

Ограничения моделиПри этом нужно иметь в виду следующие особенности системы1. Все

Продуктивные модели ЛеонтьеваОпределение. Матрица А>0 называется продуктивной, если для любого вектора

Условия продуктивностиТеорема 1 (первый критерий продуктивности). Если А >= 0 и

Условия продуктивностиТеорема 2 (второй критерий продуктивности). Матрица A2>=0 продуктивна тогда и

Условия продуктивностиТеорема 3 (третий критерий продуктивности). Матрица А >= 0 продуктивна

Правила проверки продуктивностиЕсли сумма элементов любого столбца неотрицательной матрицы А меньше

Запас продуктивностиПусть А >= 0 - продуктивная матрица. Запасом продуктивности матрицы

Модель равновесных цен Рассмотрим теперь балансовую модель, двойственную к модели Леонтьева