Методы условной оптимизации

Сентябрь 2, 2022

Главная
Алгебра
Методы условной оптимизации

Содержание

2. 09/02/2023 Постановка задач Найти минимум функции При ограничениях
3. 09/02/2023 Условия типа равенств выделяют в пространстве некоторую гиперповерхность размерности p. Используя условия типа равенств можно
4. 09/02/2023 Пример понижения размерности Выражаем x2 через x1, получаем
5. 09/02/2023 Условия типа неравенств выделяют n - мерную область D, ограниченную гиперповерхностями
6. 09/02/2023 Пример выделения области D
7. 09/02/2023 Точка минимума принадлежит области D Минимум функции при наличии ограничений совпадает с минимумом функции без
8. 09/02/2023 Точка минимума лежит вне области D Точка условного минимума лежит на одной из кривых, ограничивающих
9. 09/02/2023 Область с локальными минимумами Возможны несколько локальных условных минимумов
10. 09/02/2023 Выпуклая область Область D называется выпуклой, если отрезок прямой, соединяющий любые две точки принадлежащие D
11. 09/02/2023 Выпуклая функция Функция F(x) называется выпуклой, на области x∈X если для любых двух точек x1,x2∈X
12. 09/02/2023 Условие выпуклости области Для того чтобы область D описанная неравенствами была выпуклой, необходимо, чтобы функции
13. 09/02/2023 Метод штрафных функций Напомним постановку задачи Найти минимум функции При ограничениях
14. 09/02/2023 Метод штрафных функций Введем следующую вспомогательную функцию
15. 09/02/2023 Поясним простым примером min f(x)=x g(x)=1-x≤0 Ф(x)=x+λ(1-x)2 xλ=1-0.5/λ λ→∞ xλ→1
16. 09/02/2023 Программная реализация нахождение минимума функции одной переменной function optim global x0; x0=2 xmim=fminbnd(@foc,-5.0,5.0) function y=foc(x);
17. 09/02/2023 нахождение минимума функции двух переменных function optim global x0; x0=0.3 options = optimset('Display','iter','TolX',1.0e-3); [xmim,fmin]=fminsearch(@foc,[1.0,1.5],options) function
18. 09/02/2023 Графическое исследование двумерной функции function grf; [x,y]= meshgrid(0:0.1:4,0:0.1:2); z=-sin(pi*x).*sin(pi*y); subplot(1,2,1); surfc(x,y,z); %colormap(winter) subplot(1,2,2); %levels =
19. 09/02/2023 Получаемый график
21. Скачать презентацию

Слайд 2

09/02/2023
Постановка задач
Найти минимум функции
При ограничениях

Слайд 3

09/02/2023
Условия типа равенств
выделяют в пространстве некоторую гиперповерхность размерности p. Используя условия

типа равенств можно выразить p переменных через оставшиеся n-p и таким образом уменьшить размерность задачи на p (n=n-p) и оставить только ограничения типа неравенств.

Слайд 4

09/02/2023
Пример понижения размерности
Выражаем x2 через x1, получаем

Слайд 5

09/02/2023
Условия типа неравенств
выделяют n - мерную область D, ограниченную гиперповерхностями

Слайд 6

09/02/2023
Пример выделения области D

Слайд 7

09/02/2023
Точка минимума принадлежит области D
Минимум функции при наличии ограничений совпадает с

минимумом функции без ограничений

Слайд 8

09/02/2023
Точка минимума лежит вне области D
Точка условного минимума лежит на одной

из кривых, ограничивающих область

Слайд 9

09/02/2023
Область с локальными минимумами
Возможны несколько локальных условных минимумов

Слайд 10

09/02/2023
Выпуклая область
Область D называется выпуклой, если отрезок прямой, соединяющий любые две

точки принадлежащие D принадлежит D.

Выпуклая

Невыпуклая

Слайд 11

09/02/2023
Выпуклая функция
Функция F(x) называется выпуклой, на области x∈X если для любых

двух точек x1,x2∈X выполняется соотношение

x

F

F(x)

x2

x1

Матрица Гессе выпуклой функции положительно определена

Слайд 12

09/02/2023
Условие выпуклости области
Для того чтобы область D описанная неравенствами
была выпуклой,

необходимо, чтобы функции gk(x) , были выпуклыми.
Если целевая функция f и область D выпуклы, то приходим к задаче выпуклого программирования, для которой справедлива вся нижеприведенная теория

Слайд 13

09/02/2023
Метод штрафных функций
Напомним постановку задачи
Найти минимум функции
При ограничениях

Слайд 14

09/02/2023
Метод штрафных функций
Введем следующую вспомогательную функцию

Слайд 15

09/02/2023
Поясним простым примером
min f(x)=x
g(x)=1-x≤0
Ф(x)=x+λ(1-x)2
xλ=1-0.5/λ
λ→∞ xλ→1

Слайд 16

09/02/2023
Программная реализация
нахождение минимума функции одной переменной
function optim
global x0;
x0=2
xmim=fminbnd(@foc,-5.0,5.0)
function y=foc(x);
global x0;
y=(x-x0).^2;

%здесь записывается своя функция
return
Результат:
x0 =
2
xmim =
2

Слайд 17

09/02/2023
нахождение минимума функции двух переменных
function optim
global x0;
x0=0.3
options = optimset('Display','iter','TolX',1.0e-3);
[xmim,fmin]=fminsearch(@foc,[1.0,1.5],options)
function y=foc(x);
global x0;

%передача x0 внутрь функции
x1=x(1);
x2=x(2);
y=-sin(pi*(x1-x0)).*sin(pi*x2);
return

Слайд 18

09/02/2023
Графическое исследование двумерной функции
function grf;
[x,y]= meshgrid(0:0.1:4,0:0.1:2);
z=-sin(pix).sin(pi*y);
subplot(1,2,1);
surfc(x,y,z);
%colormap(winter)
subplot(1,2,2);
%levels = 0:-0.1:-5;
%contour(x,y,z,levels)
contour(x,y,z,10)
%colorbar
colormap(hot) %(jet) (hot) (winter)(gray)
grid

on
return

Слайд 19

09/02/2023
Получаемый график