Неопределенный интеграл

Сентябрь 3, 2022

Главная
Алгебра
Неопределенный интеграл

Содержание

2. При изучении дифференциального исчисления рассматривалась задача нахождения производной или дифференциала по заданной функции y=F(x), то есть
3. Например, известна скорость перемещения точки v(t), а найти нужно закон ее перемещения: S(t). Эта задача является
4. Определение: Дифференцируемая функция F(x) называется первообразной для функции f(x) на интервале (a,b), если F’(x)=f(x) на интервале
5. Первообразная для заданной функции f(x) существует только, если эта функция непрерывна на (a,b). Кроме того, первообразных
6. Определение: Выражение F(x)+C, где С - произвольная постоянная величина, определяющее множество первообразных для функции f(x) называется
7. Знак ∫ - знак неопределенного интеграла; f(x)dx – подынтегральное выражение; f(x) – подынтегральная функция.
8. Определение: Операция нахождения первообразной по заданной производной или дифференциалу называется интегрированием. Интегрирование – действие, обратное дифференцированию.
9. Придавая постоянной величине С различные значения С1, С2, С3, получим различные функции y1(x)=F(x)+C1, y2(x)=F(x)+C2, y3(x)=F(x)+C3, каждая
10. Следовательно, геометрически неопределенный интеграл представляет собой семейство интегральных кривых.
11. Пример семейства интегральных кривых
12. Чтобы находить первообразные, необходимо составить и выучить наизусть таблицу неопределенных интегралов от основных элементарных функций. Она
13. Таблица основных неопределенных интегралов
17. 1) Производная от неопределенного интеграла равна подынтегральной функции. 2. Свойства неопределенных интегралов
18. 2. Дифференциал от неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению:
19. 3) Неопределенный интеграл от дифференциала функции равен этой функции, сложенной с произвольной постоянной:
20. 4) Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла:
21. 5) Интеграл от алгебраической суммы двух функций равен алгебраической сумме интегралов от этих функций:
22. Формула интегрирования остается справедливой, если переменная интегрирования является функцией: если
23. Этот метод заключается в прямом использовании табличных интегралов и свойств. 3. Непосредственное интегрирование
25. Этот метод заключается в разложении подынтегральной функции в линейную комбинацию более простых функций с использованием известных
27. Таких методов два: а) метод замены переменной; б) интегрирование по частям. 3. Основные методы интегрирования
28. Метод основан на замене переменной в неопределенном интеграле с целью свести его нахождение к нахождению такого
29. Пример: Найти неопределенный интеграл: ∫cos2xdx Этот интеграл не является табличным. Произведем замену: y = 2x Тогда
30. Дифференциал произведения двух функций определяется формулой: d(u•v) = udv + vdu Интегрируя это равенство, получаем: u•v
31. Применение этого метода требует субъективного представления подынтегрального выражения в виде udv, причем интеграл ∫vdu не должен
38. Любой результат можно проверить дифференцированием. Например, в последнем случае:
41. Скачать презентацию

Слайд 2

При изучении дифференциального исчисления рассматривалась задача нахождения производной или дифференциала по

заданной функции y=F(x), то есть нужно было найти f(x)=F’(x) или dF(x)=F’(x)dx=f(x)dx.
Можно поставить обратную задачу: восстановить продифференцированную функцию, т.е., зная производную f(x) или дифференциал f(x)dx, найти такую функцию F(x), чтобы F’(x) = f(x).

1. Понятие неопределенного интеграла

Слайд 3

Например, известна скорость перемещения точки v(t), а найти нужно закон ее

перемещения: S(t).
Эта задача является более трудной, чем задача дифференцирования. Для решения подобных задач вводятся новые понятия и действия.

Слайд 4

Определение: Дифференцируемая функция F(x) называется первообразной для функции f(x) на интервале

(a,b), если F’(x)=f(x) на интервале (a,b).
Например, для f(x) =x2 первообразная
F(x) = x3/3, так как F’(x)=(x3/3)’=x2.
Для f(x) =cosx первообразной будет
F(x) =sinx, так как F’(x)=(sinx)’=cosx.

Слайд 5

Первообразная для заданной функции f(x) существует только, если эта функция непрерывна

на (a,b).
Кроме того, первообразных – множество, и отличаются они только постоянным слагаемым.
Действительно, sinx+2, sinx-2, sinx+C – все эти функции будут являться первообразными для функции f(x) =cosx .

Слайд 6

Определение: Выражение F(x)+C, где С - произвольная постоянная величина, определяющее множество

первообразных для функции f(x) называется неопределенным интегралом и
обозначается символом
т.е.

Слайд 7

Знак ∫ - знак неопределенного интеграла;
f(x)dx – подынтегральное выражение;
f(x) – подынтегральная

функция.

Слайд 8

Определение: Операция нахождения первообразной по заданной производной или дифференциалу называется интегрированием.
Интегрирование

– действие, обратное дифференцированию.
Его можно проверить дифференцированием, причем дифференцирование однозначно, а интегрирование дает ответ с точностью до постоянной.

Слайд 9

Придавая постоянной величине С различные значения С1, С2, С3, получим различные

функции y1(x)=F(x)+C1, y2(x)=F(x)+C2, y3(x)=F(x)+C3, каждая из которых задает на координатной плоскости кривую, называемую интегральной.
Все графики интегральных кривых сдвинуты друг относительно друга вдоль оси OY.

Слайд 10

Следовательно, геометрически неопределенный интеграл представляет собой семейство интегральных кривых.

Слайд 11

Пример семейства интегральных кривых

Слайд 12

Чтобы находить первообразные, необходимо составить и выучить наизусть таблицу неопределенных интегралов

от основных элементарных функций.
Она получается в результате обращения соответствующих формул дифференцирования.
Например, если (sinx)’=cosx, то ∫cosxdx=sinx+C.

Слайд 13

Таблица основных неопределенных интегралов

Слайд 14

Слайд 15

Слайд 16

Слайд 17

1) Производная от неопределенного интеграла равна подынтегральной функции.
2. Свойства неопределенных интегралов

Слайд 18

2. Дифференциал от неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению:

Слайд 19

3) Неопределенный интеграл от дифференциала функции равен этой функции, сложенной с

произвольной постоянной:

Слайд 20

4) Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла:

Слайд 21

5) Интеграл от алгебраической суммы двух функций равен алгебраической сумме интегралов

от этих функций:

Слайд 22

Формула интегрирования остается справедливой, если переменная интегрирования является функцией:
если

Слайд 23

Этот метод заключается в прямом использовании табличных интегралов и свойств.
3. Непосредственное

интегрирование

Слайд 24

Слайд 25

Этот метод заключается в разложении подынтегральной функции в линейную комбинацию более

простых функций с использованием известных формул.

Метод разложения

Слайд 26

Слайд 27

Таких методов два:
а) метод замены переменной;
б) интегрирование по частям.
3. Основные методы

интегрирования

Слайд 28

Метод основан на замене переменной в неопределенном интеграле с целью свести

его нахождение к нахождению такого неопределенного интеграла, который может быть найден методом разложения.
Другими словами, необходимо получить:
∫f1(x)dx = ∫f2(y)dy, где y = φ(x)

Метод замены переменной

Слайд 29

Пример: Найти неопределенный интеграл: ∫cos2xdx
Этот интеграл не является табличным.
Произведем замену: y

= 2x
Тогда dy=(y)’dx=2dx
dx = dy/2
Соответственно:

Слайд 30

Дифференциал произведения двух функций определяется формулой:
d(u•v) = udv + vdu
Интегрируя

это равенство, получаем:
u•v = ∫udv+∫vdu
Отсюда:
∫udv= u•v - ∫vdu
Это и есть формула интегрирования по частям.

Интегрирование по частям

Слайд 31

Применение этого метода требует субъективного представления подынтегрального выражения в виде udv,

причем интеграл ∫vdu не должен быть труднее, чем интеграл ∫udv.

Слайд 32

Слайд 33

Слайд 34

Слайд 35

Слайд 36

Слайд 37

Слайд 38

Любой результат можно проверить дифференцированием.
Например, в последнем случае:

Слайд 39