Содержание
- 2. Пусть функция у = f(x) определена на некотором промежутке, и пусть x0 - некоторая точка этого
- 3. Определение. Если существует , то этот предел называется производной от функции у = f(x) по переменной
- 4. Если этот предел конечен, то производная называется конечной, если же этот предел бесконечен, то у'х —
- 5. Пример. Найдем производную у = х2 на основании определения производной. Решение. Δy=(x+Δx)2-x2 = 2x.Δx + (Δx)2.
- 6. Физический смысл - производная функции отражает скорость изменения функции при изменении ее аргумента. Например, если x
- 7. Скорость (быстрота) протекания физических, химических, биологических процессов, например скорость охлаждения тела, скорость химической реакции и т.п.,
- 8. Геометрический смысл: Производная функции у = f(x) геометрически представляет собой угловой коэффициент касательной к графику этой
- 10. При этом если существует касательная, то существует и производная, и наоборот. Случаю касательной, не параллельной оси
- 12. Определение: Если приращение функции y = f(x) в точке х можно представить в форме Δy =
- 13. Из последнего равенства следует, что Перейдя к пределу при Δх → 0, получим:
- 14. Итак, если y = f(x) дифференцируема в точке х, то приращение этой функции можно представить в
- 15. Теорема 1 (необходимое условие дифференцируемости): Если функция y = f(x) дифференцируема в точке х, то она
- 16. Эти функции непрерывны, но не имеют производной в точке x0: а) бесконечная производная; б) производной нет.
- 17. 1. Производная от постоянной величины равна нулю, т.е. если y = C, то y’ = 0:
- 18. 2. Производная алгебраической суммы конечного числа функций равна сумме производных слагаемых: (u + v + w
- 19. 3. Производная произведения двух функций определяется формулой: 4. Производная частного от деления двух функций определяется формулой:
- 20. Производные от основных элементарных функций:
- 22. Рассмотрим сложную функцию с одним промежуточным аргументом: у=f(u),u =φ(х), предполагая при этом, что функция у дифференцируема
- 23. На основании определения производной имеем так как предел равен произведению пределов.
- 24. Если учесть, что поскольку всякая дифференцируемая функция непрерывна, то получим, что
- 25. или, в других обозначениях,
- 26. Пример. Найти у', если: у = sin3 5х. Производную этой сложной функции будем находить по формуле
- 27. Предположим, что функция у = f(x) определена, монотонна и дифференцируема в некоторой области, причем производная dy/dx
- 28. Для вывода можно воспользоваться правилом дифференцирования сложной функции с одним промежуточным аргументом. Согласно представлениям о сложной
- 29. На основании правила дифференцирования сложной функции получаем: Поскольку = 1, получаем правило дифференцирования обратной функции:
- 30. Определение. Дифференциалом функции называется произведение производной этой функции на приращение ее аргумента: 3. Дифференциал функции: определение,
- 31. Как видно из определения, дифференциал функции существует лишь для дифференцируемых функций, то есть функций, имеющих производную.
- 32. Рассмотрим следующий пример: Найдем приращение Δy функции y =x2 и дифференциал этой функции: Δy = (x
- 33. Рассмотрим малые приращения аргумента. Например, пусть при x = 1 приращение аргумента равно 0,01. В этом
- 34. Таким образом, дифференциал функции, в общем случае отличаясь от приращения функции, представляет собой главную часть этого
- 35. При достаточно малых приращениях аргумента величина приращения функции приближенно равна дифференциалу этой функции: Δy ≈ dy,
- 36. Рассмотрим график функции y = f(x). Геометрический смысл дифференциала.
- 37. Пусть через точку A (x,y), лежащую на кривой графика функции, проведена касательная DF, образующая угол FDC
- 38. Поскольку углы FAE и FDC равны как соответственные при пересечении параллельных прямых АЕ и DC прямой
- 39. Учитывая, что катет АЕ = Δx, а из геометрического смысла производной следует, что tgφ = y’,
- 40. Рассмотрим функцию, равную своему аргументу: y = x. Тогда дифференциал функции равен дифференциалу аргумента: dy =y’•Δx
- 41. Формулу дифференциала функции можно записать в виде: dy = y’dy, а формулу производной – в виде:
- 43. Скачать презентацию