Определение полей напряжений по ориентациям напряжений

континентальной Австралии из мировой базы данных

у о. Суматра из мировой базы данных

и Евразийской плит из мировой базы данных

В ГЕОДИНАМИЧЕСКИХ ПРИЛОЖЕНИЯХ

в напряжениях. Граничные напряжения выбираются из модельных соображений, а ориентации напряжений внутри региона рассматриваются как ограничения на разыскиваемое решение.

Традиционный подход к определению напряжений в геодинамике

оси максимального сжатия [Coblentz et al., 1995]

Разница в решениях при традиционном подходе к определению напряжений

напряжений in-situ (реальность характеристик получаемого напряженного состояния) и методов математического моделирования (получение сплошных полей полного тензора напряжений)

ОСНОВНЫЕ ИДЕИ ПОДХОДА:
использование экспериментальных данных об ориентации главных напряжений непосредственно в качестве входной информации и отказ от умозрительных гипотез традиционного математического моделирования

тензора напряжений (максимальное и минимальное горизонтальные сжимающие напряжения);
ϕ - угол наклона SH,max к некоторому выделенному направлению в плоскости)

τmax= ½(SH,max-SH,min) – максимальное касательное напряжение;
P= ½(SH,max+SH,min) – среднее напряжение

Определить поле тензора напряжений T(x)– значит найти
3 скалярных поля SH,max, SH,min, ϕ или, что эквивалентно, 3 скалярных поля τmax, P, ϕ

(SH, max=- T1, SH, min=- T2, T1< T2)

в каждой точке ориентированы по направлению SH,max или SH,min

SH,min

SH,max

Модельный пример построения плоской сетки взаимно ортогональных ТГН по заданным дискретным ориентациям максимального сжимающего напряжения

e2

В ортогональной криволинейной с.к., совпадающей с ТГН

(*)

bi=b∙mi, κi – кривизна i-той ТГН

− длина дуги вдоль траектории j-го семейства

− кривизна траектории j-го семейства

Для трех неизвестных функций напряжения T1, T2, ϕ имеется два уравнения равновесия

Если траектории главных напряжений (ТГН) заданы внутри исследуемой области Ω, то функция ϕ известна и уравнения равновесия представляют замкнутую систему уравнений. Величины T1, T2 определяются без предположений об определяющих соотношениях среды.

линии известно поле ТГН. Задача: определить T(x(s)) в окрестности линии из уравнений равновесия.

При заданном 2D поле ТГН уравнения равновесия являются системой уравнений гиперболического типа с характеристиками, совпадающими с ТГН

совпадающие с линиями полярной с.к.

напряжения в блоке перед выемкой грунта

II – определение локальных ориентаций оси SH,max на основе сейсмического мониторинга

III – реконструкция поля ТГН по дискретным ориентациям SH,max

IV – решение уравнений равновесия для определения величин главных напряжений

ABCD – задача Гурса; CDE – задача Коши; CFGE – задача Гурса

CH – разлом, неизвестный до начала работ; CD – выявленная часть разлома

плит

tR – сила отталкивания от САХ

tС – сила коллизии

D′DBB′ – Западно-Европейская провинция напряжений (ЗЕПН)

Поле напряжений в литосфере Западно-Европейской платформы

напряжения, то определяется его ориентация, и наоборот. Выбор действительной ориентации tC основывается на сравнении теоретически и экспериментально определяемых режимах напряжений в литосфере ЗЕПН.

Для согласования с наблюдаемыми напряжениями растяжения и сдвиговым режимом напряжений на большей части ЗЕПН вектор tC должен быть близок по направлению к направлению SH,max и вращаться против часовой стрелки при движении на восток.

Поле напряжений в литосфере Западно-Европейской платформы

заданной на границе действительной части f1.

Оператор Шварца

D – комплекснозначная функция девиатора напряжений

Уравнения равновесия

Закон Гука

T11, T12, T22 – компоненты T в декартовых координатах x1, x2

D – биголоморфная функция

|D| - модуль D

α=arg(D)

α - аргумент D

Искомые функции

биголоморфная функция с тем же аргументом (если Dreal>0)

для поля напряжений зависит от m≥2 произвольных констант

2) решение для ТГН и τmax не зависит от объемных сил b, если они имеют гармонический потенциал

точка первого порядка

T1=T2 при x=x* → D(x*)=0

Существует 3 типа асимптотического поведения ТГН, которые топологически неэквивалентны и устойчивы к возмущениям коэффициентов A, B:

ϕ→ϕ+π

ϕ→ϕ-π

c

b

a

При обходе особой точки угол ϕ касательной к траекториям одного семейства получает приращение +π при |A|>|B| (траектории выпуклы по отношению к особой точке) и приращение -π при |A|<|B| (траектории вогнуты)

случаях

в упругой среде, т.к. при произвольно заданной функции α необходимо двумя функциями P и τmax удовлетворить трем уравнениям упругости: двум уравнениям равновесия и условию гармоничности P.

В частности, гармоническая функция α (Δα=0) допустима в 2D упругости, т.к. в этом случае α является аргументом некоторой голоморфной функции A(z) и, следовательно, аргументом би- голоморфной функции DrealA(z)

заданному полю ее аргумента α. Затем функция P вычисляется простым интегрированием уравнений равновесия

напряжений при заданных ТГН в упругости

Если в рассчитанной функции D1 зависимость от r* остается, то заданная функция α не допустима в упругости

значением голоморфной функции

Φ′(е)≠0, радиус R выбирается так, чтобы знаменатель внутри круга не обращался в 0.

Т.к. ImB(z)= 0 на γ, то B(z)=const=c3 >0.

→