Механика материалов. Теории прочности и разрушения. (Лекция 23)

Условие прочности по первой теории записывается в виде

(2)

Недостаток этой теории в том, что она учитывает только наибольшее из главных напряжений, а влияние двух остальных игнорирует.

Для эквивалентного состояния одноосного растяжения

Условие прочности по второй теории записывается в виде

(3)

При преимущественном сжатии, т. е. когда |σ3| > σ1, условие прочности принимает вид

Вторая теория прочности так же, как и первая, слабо соответствует экспериментальным данным. Она удовлетворительно совпадает с экспериментом лишь при разрушении хрупких материалов в сложных напряженных состояниях.

;

Третья теория использует следующий критерий эквивалентности: два напряженных состояния равноопасны, если у них равны максимальные касательные напряжения.

Для эквивалентного одноосного растяжения напряжением σred максимальные касательные напряжения

Условие прочности по третьей теории записывается в виде

(4)

Для большинства пластичных материалов пределы текучести при растя­жении и сжатии одинаковы, поэтому для них третья теория проч­ности достаточно надежно предсказывает наступление текучести.

Третья теория прочности дает также удовлетворительные результаты и для описания разрушения хрупких материалов в тех случаях, когда разрушение путем отрыва невозможно, и оно происходит за счет сдвига по плоскостям действия τmax. Так разрушаются хрупкие образцы при сжатии.
Таким образом, третья теория прочности позволяет рассматривать предельные состояния текучести и хрупкого сдвига с единой точки зрения.

;

Следствие. Сформулируем третью теорию прочности для брусьев, в опасных точках которых одновременно возникают нормальные и касательные напряжения (при изгибе с кручением, поперечном изгибе). В этом случае главные напряжения

следовательно, эквивалентное напряжение растяжения

Поэтому выражение (4) принимает вид

Впервые роль касательных напряжений при разрушении отметил Ш. Кулон (1776). Связь пластического течения материалов с максимальными касательными напряжениями была экспериментально установлена французским инженером Треска). На основе его исследований Б. Сен-Венан сформулировал условие (8.3) как условие пластичности и построил основные уравнения теории плас­тичности, поэтому третью теорию прочности называют теорией Треска–Сен-Венана.

В сложном напряженном состоянии энергия формоизменения в главных напряжениях определяется вторым из соотношений

По той же формуле для простого растяжения с эквивалентным напряжением
σ1 = σred получаем

(5)

Условие прочности по четвертой теории

Достоинством четвертой теории является то, что учитываются все три главных напряжения и не требуется в процессе расчета следить за их нумерацией, так как в соотношение (5) они входят равноправно. Это позволяет отказаться от строгой их расстановки в порядке убывания и связать с направлениями координатных осей.

Условие прочности по четвертой теории принимает вид

Полученная формула дает меньшее значение σred для изгиба с кручением, чем третья теория прочности.

где k – коэффициент, численно равный отношению предельных напряжений при линейном растяжении и сжатии;

Для пластичных материалов эти напряжения одинаковы, следовательно, k = 1, и условие (6) формально совпадает с теорией Треска–Сен-Венана (4). Наилучшие результаты теория Мора дает для смешанных напряженных состояний, т. е. при σ1 > 0 и σ3 < 0.

(6)

Главная идея теории Гриффитса состоит в том, что потенциальная энергия тела, накопленная им в процессе упругого деформирования, при разрушении полностью превращается в энергию образующихся новых поверхностей (поверхностную энергию).

В теории упругости показано, что высвобожденная энергия деформации U равна

Энергия, которая потребляется телом для образования двух новых поверхностей (трещины),

где γ – плотность поверхностной энергии (работа, необходимая для образования единицы новой поверхности); γ можно считать константой материала, определяемой экспериментально.

Максимум общей энергии находим из условия равенства нулю производной общей энергии по длине трещины:

Отсюда получаем критическую полудлину трещины для заданного напряжения σ

и критическое напряжение для заданной полудлины l

Если l < lcr или σ < σcr, то трещина не развивается. Если l ≥ lcr или σ ≥ σcr, то трещина стремительно и безостановочно растет, разрушая образец материала.