Пересечение прямых и плоскостей

k2

ω2

k1

x12

N2

N1

Точкой пересечения прямой с плоскостью является точка, принадлежащая прямой и плоскости.

N∈ω

Пересечение плоскости общего положения с проецирующей плоскостью

α2

k

α

k

12

22

1

2

α2

12

22

A2

B2

C2

A1

B1

C1

x12

11

21

Линия пересечения плоскости ОП с плоскостью ЧП имеет одну из своих

Пересечение прямой с плоскостью общего положения

α

ϕ

m

K

1

2

ϕ (m∈ϕ);

ϕ∩α ⇒1,2;

1,2∩m ⇒K

Алгоритм:

x12

m2

m1

ϕ2

12

22

11

21

ϕ⊥П2 (m∈ϕ);

ϕ∩α ⇒1,2;

1,2∩m ⇒K

Алгоритм:

К1

А1

С1

В1

В2

С2

А

К2

x12

m2

m1

ϕ2

12

22

11

21

ϕ⊥П2 (m∈ϕ);

ϕ∩α ⇒1,2;

1,2∩m ⇒K

Алгоритм:

К1

А1

С1

В1

В2

С2

А

К2

Пересечение проецирующих плоскостей

α

β2

α2

k

k2

k1

β

90°

β2

α2

k2

k1

x12

90°

Построение линии пересечения двух плоскостей общего положения

α

m

K

L

β

n

α

m

K

L

β

n

К

L

α

m

β

n

L

K

Построение линии пересечения двух плоскостей общего положения заключается в определении точек

α

β

ϕ

ω

N

M

1

2

3

4

5

6

a2

b2

e2

f2

ϕ2

ω2

b1

a1

12

22

32

42

41

31

21

11

52

62

61

51

M1

N1

N2

M2

e1

f1

α(a∩b)

β(eff)

ω⊥П2

ϕ⊥ П2

ω∩α⇒12

12∩34⇒M

ω∩β⇒34

ϕ∩α⇒5…

ϕ∩β⇒6…

5…∩6…⇒N

α(a∩b)

и β(eff)

ω⊥П2

ϕ⊥ П2

ω∩α⇒12

}

ω∩β⇒34

ϕ∩α⇒5…

ϕ∩β⇒6…

}

5…∩6…⇒N

12∩34⇒M

}

MN – линия
пересечения
плоскостей
α и β

Алгоритм построения линии

Пересечение плоскости с проецирующей плоскостью

Линией пересечения двух плоскостей является прямая, принадлежащая обеим плоскостям.

А2

В2

С2

А1

В1

С1

ϕ2

12

22

12

22

x12

12 ∈ϕ т.к.

Определение видимости плоскостей

А2

В2

С2

С1

ϕ2

12

22

x12

А1

В1

12

22

Пересечение поверхности плоскостью и прямой

Пересечение проецирующей плоскости с поверхностью многогранника

А2

В2

С2

S2

A1

C1

B1

ϕ2

12

22

32

11

21

31

Пересечение с линейчатой поверхностью

парабола

гипербола

эллипс

Конические сечения

гипербола

парабола

окружность

треугольник

эллипс

ϕ2

1о1

2о1

3о1

4о1

5о1

6о1

7о1

8о1

≡8о2

2о2

3о2

4о2

5о2

≡6о2

≡7о2

1о2

21

51

71

31

41

61

81

11≡

12 ≡

22

32

42

62 ≡

52

72 ≡

≡82

Алгоритм
На поверхности обозначить ряд образующих. Обязательно включить очерковые образующие

ϕ2

(12)

62≡

M

m2

n2

22

32

42

52

61

72≡

82≡

71

81

11

51

41

31

21

M

m1

n1

Алгоритм
На поверхности обозначить ряд точек на следе плоскости. Обязательно

Пересечение прямой с гранными поверхностями

А2

В2

С2

S2

l1

A1

C1

B1

l2

ϕ2

Алгоритм построения точек пересечения прямой с поверхностью
l ∈ пл. ϕ;

Пересечение прямой с линейчатой поверхностью

Алгоритм построения точек пересечения прямой с поверхностью
l ∈ пл. ϕ;

α2

l2

N2

M2

R

R

N1

M1

l1

l2

M2

N2

≡

M1

N1

ϕ2

l1

1

2

3

6

4

N

M

5

1

2

1

2

3

4

3

4

5

6

N

M

M

N

Алгоритм построения точек пересечения
прямой ОП с конусом
Выбрать (∙) 1

α1

х14

х12

l2

l1

Алгоритм построения точек пересечения
прямой ОП со сферой
Заключить прямую l