Применение определенного интеграла Геометрическое приложение. Механическое приложение.

? 1.1. Площадь плоской фигуры

Задача о вычислении площади криволинейной фигуры

Задача о вычислении площади криволинейной фигуры

Задача о вычислении площади криволинейной фигуры

Вычисление площадей в прямоугольных координатах

Если aи f(x)≥0,

Вычисление площадей в прямоугольных координатах

Если aи f(x)≤0,

Пример:

Найти площадь фигуры, заключенной между осью Ох и кривой

–

.

Пример:

Найти площадь фигуры, заключенной между осью Ох и кривой

–

.

Пример:

Вычислить площадь, ограниченную синусоидой y = sin x и осью Ox, при 0 ≤х ≤2π

Пример:

Вычислить площадь, ограниченную синусоидой y = sin x и осью Ox, при 0 ≤х ≤2π

Вычислить площадь, ограниченную кривыми
и .

Пример:

–

.

.

Пример:

Вычислить площадь, ограниченную кривыми
и .

–

.
Решение:

.

S=2-(-2)=4

Вычисление площадей кривых, заданных параметрически

Если кривая задана параметрическими уравнениями х = x(t),

Замечание

Формула

применима также для вычисления площади фигуры, ограниченной замкнутой кривой (изменение

Пример:

–

.

.

Найти площадь петли кривой

Пример:

Найти площадь петли кривой

–

.
Решение:

.

Найдем точки пересечения кривой

Пример:

Найти площадь петли кривой

.
Решение:

(0, 3b) при t = 1; (0, –3b)

Вычисление площадей в полярных координатах

Площадь криволинейного сектора, ограниченного кривой, заданной в

Пример:

Вычислить площадь лунки, ограниченной дугами окружностей

.

,

,

.

Пример:

Вычислить площадь лунки, ограниченной дугами окружностей

.
Решение:

,

,

? 1.2. Длина дуги кривой

В декартовых координатах:

Если гладкая кривая задана уравнением y = f(x), то длина l

Пример:

Найти длину полукубической параболы
от начала координат до точки

Пример:

Найти длину полукубической параболы
от начала координат до точки

Кривая задана параметрически :

x = x(t), y = y(t), (t1 ≤ t ≤ t2):

Пример:

Найти длину астроиды

.

,

,

.
Решение:

,

,

,

Пример:

Найти длину астроиды

.

,

,

.
Решение:

,

,

,

,

Кривая задана параметрически :

x = x(t), y = y(t), z = z(t), (t1 ≤ t ≤ t2):

В полярных координатах

Если задано полярное уравнение гладкой кривой ρ = ρ (ϕ) и двумя

Пример:

Найти длину кардиоиды

.

,

,

.
Решение:

,

,

,

Пример:

Найти длину кардиоиды

.

,

,

.
Решение:

,

,

,

? 1.3 Объем тела

Объем тела по площадям его параллельных сечений

Если площадь S(x) сечения

Пример:

Найти объем тела, основание которого – круг радиуса а, а сечение

Объем тела вращения

Если криволинейная трапеция ограничена графиком непрерывной функции
и

Объем тела вращения

Пример:

Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси Оу фигуры, ограниченной

Объем тела вращения

Если криволинейный сектор, ограниченный кривой

и лучами

Пример:

,

,

.
Решение:

,

,

,

Кардиоида

вращается вокруг полярной оси.

Площадь поверхности вращения

Если криволинейная трапеция ограничена графиком непрерывной функции
и

Площадь поверхности вращения

Если кривая задана параметрическими уравнениями

,

Если

Пример:

,

,

.
Решение:

,

,

,

Найти площадь поверхности, образованной вращением

Пример:

,

,

.

,

,

,

? 2 Механическое приложение

Пройденный путь

Путь, пройденный точкой за промежуток времени [t0, T], равен соответствующему

Работа

Работа, произведенная силой F при перемещении точки М из положения

Масса стержня переменной плотности

Будем считать, что отрезок [a ,b] оси х

? 3 Приближенное вычисление

Понятие о приближенном вычислении определенных интегралов

Понятие о приближенном вычислении определенных интегралов

h=0,1

Понятие о приближенном вычислении определенных интегралов

Понятие о приближенном вычислении определенных интегралов

h=0,1

Спасибо за внимание!