Простейшие СМО

Агнер Краруп Эрланг 1878-1929гг., родился в Дании

Пришел в Копенгагенскую Телефонную Компанию

Простейшие СМО

n-канальная СМО с отказами (M|M|n) - задача Эрланга

n-канальная СМО с отказами (M|M|n)-задача Эрланга

Показатели эффективности

Показатели эффективности

Пропускная способность
Q=1-Ротк –
относительная
A=λQ –
абсолютная

Показатели эффективности

k= 0 1 2 3 … n
p0 p1 p2 p3

M|M|n - задача Эрланга

Пример

Станция связи с тремя каналами (n=3), интенсивность потока

Пример 1. Имеется станция связи с тремя каналами (n=3),
интенсивность входного

М|М|1 с бесконечной очередью

…

p0=1-ρ

…

Как бы ни была нагружена система с очередью, если только она

Одноканальная СМО с неограниченной очередью

Найдем среднее число заявок в СМО Lсист

Рзан=1-pо=ρ

Пример

Одноканальная СМО - железнодорожная сортировочная станция, на которую поступает простейший поток

Найти (для стац. режима работы станции):
среднее число составов Lсист,

Решение

Интенсивность обслуживания μ=3 (состава/час), ρ=2/3,
Тогда
- Lсист=2
- Lоч=4/3

Многоканальная СМО с неограниченной очередью

Номер состояния системы равен числу заявок в

ρ/п<1

p1=ρp0, …,

Характеристики эффективности

Абсолютная пропускная способность СМО А равна среднему числу заявок,

Пример

Железнодорожная касса по продаже билетов с двумя окошками - двухканальная СМО

Одноканальная СМО с ограниченной очередью

число заявок в очереди ограничено (не может

Вер{канал занят}=1-Вер{канал свободен}=1− p0.
Pотк=Вер{заняты все места в
очереди}=pm+1=
Тогда относительная пропускная способность

Пример 2. Банк принимает решение об открытии филиала, рассматривая его как

Решение. В стационарном режиме средний доход, приносимый СМО за время τ,

D(τ)=Сср(τ)
время, после которого СМО будет приносить прибыль,

Пример 3.
При строительстве контакт-центра необходимо оптимизировать количество операторских

Пусть средняя продолжительность разговора равна 160 с, количество звонков – 240

СМО с ограниченным временем ожидания

M/M/n, очередь бесконечна, но время пребывания заявки

μ 2μ 3μ … nμ nμ+ν … nμ+rν …

λ λ λ

обозначим β=ν/μ

Замкнутые системы массового обслуживания

Рабочий-наладчик обслуживает n станков. Каждый станок может с

nλ (n-1)λ (n-2)λ … λ

μ μ μ … μ

Номер состояния равен

Абсолютная пропускная способность А –
это “среднее количество заявок, прошедших

Относительная пропускная способность Q=1, т.к. каждая заявка в конце концов будет

Среднее число заявок в системе
Lсист=ϖ.
Среднее число заявок в

Пример

Рабочий обслуживает группу из трех станков. Каждый станок останавливается в среднем

Немарковские СМО

n-канальная СМО с отказами,
с простейшим потоком заявок и
произвольным

M|G|n с отказами

M|G|n с отказами

Формулы Эрланга

Показатели эффективности

Пропускная способность
Q=1-Ротк – относительная
A=λQ – абсолютная
kср=A/μ - среднее число занятых

Немарковские СМО

Одноканальная СМО
с неограниченной очередью, простейшим потоком заявок и
произвольным

M| G| 1 с бесконечной очередью

Время обслуживания распределено по произвольному закону

Формулы Поллачека-Хинчина

M|M|1

Время обслуживания распределено по экспоненциальному закону
с мат. ожиданием tμ и

M|G|1 ?M|M|1

M|D|1

Время обслуживания не является случайным – tμ,
среднеквадратическое отклонение σμ=0
Коэффициент вариации

M|G|1?M|D|1

Немарковские СМО

Одноканальная СМО
с произвольным потоком заявок и произвольным распределением
времени

G| G| 1 с ∞ очередью

Время обслуживания распределено по произвольному закону

G| G| 1 с ∞ очередью

Время между заявками распределено по произвольному

G|G|1 с бесконечной очередью

Неравенство Файнберга

Пример

В СМО поступают заявки в среднем через 15 мин, коэффициент вариации

Пример

16/25*(0,16+0,49)*2,5-0,4*0,84

ρ = 4/5

1,04-0,33

Woch=Loch/λ

Woch=1,04/4=0,26 ч=15 мин

Пример

Если входной поток – простейший, то

Loch= 2,4

Loch = 16/25*(1+0,49)*2,5

Woch=2,4/4=0,6 ч=36 мин

Многоканальные немарковские СМО

Среднее число занятых каналов

kср=ρ

Многоканальные немарковские СМО

Если каналов много (по крайней мере >5),
то поток

Многоканальные немарковские СМО

Когда входной поток заведомо не простейший
В

«Худший» вариант (пессимистическая оценка)

n-канальную СМО на п
одноканальных

На каждую СМО будет

«Лучший» вариант (оптимистическая оценка)

n-канальную СМО одной
одноканальной,
но с интенсивностью