Расчёт корреляционных функций и свёртки дискретных сигналов

основ связи и радиотехники»

Общая теория связи/Радиотехнические цепи и сигналы Практическое занятие № 3
Практическое занятие № 3
Расчёт корреляционных функций и свёртки дискретных сигналов.
Учебные цели:
Получить практический навык в практическом расчёте автокорреляционных (АКФ) и взимнокорреляционных (ВКФ) функций дискретных сигналов.
Получить практический навык в практическом расчёте автокорреляционных (АКФ) функций дискретных сигналов по формуле. 
Практически рассчитать линейную и круговую свёртку линейного сигнала с использованием Mathcad.

основ связи и радиотехники»

Общая теория связи/Радиотехнические цепи и сигналы Практическое занятие № 3

Литература:

Стр. 48..50; 53..54; 63..70

Используя MathCAD расcчитать и построить АКФ :
Интегрированием по определению АКФ.
ОПФ от энергетического спектра.
Нечетные номера: треугольный и косинусоидальный .
Четные номера : Прямоугольный и SINC-образный .

основ связи и радиотехники»

Общая теория связи/Радиотехнические цепи и сигналы Практическое занятие № 3

Домашнее задание:

основ связи и радиотехники»

Общая теория связи/Радиотехнические цепи и сигналы Практическое занятие № 3

Вопрос№2. Корреляционные модели детерминированных сигналов

Корреляция – количественная характеристика степени подобия (похожести) двух сигналов.

Корреляционная функция.

Корреляционная функция – зависимость корреляции двух в общем случае комплексных сигналов от временного сдвига τ между ними.

Для сигналов с ограниченной энергией.

Для сигналов с конечной средней мощностью.

Для периодических сигналов .

основ связи и радиотехники»

Общая теория связи/Радиотехнические цепи и сигналы Практическое занятие № 3

Это корреляционная функция двух одинаковых сигналов - самого сигнала s(t) и его копии, задержанной во времени s(t-τ), рассматриваемая как функция времени задержки τ.

Свойства АКФ вещественного сигнала R(τ).

Автокорреляционная функция вещественного сигнала (АКФ).

АКФ определяет взаимную энергию сигнала и его копии, задержанной во времени и измеряется в Джоулях.
АКФ действительная и четная функция сдвига во времени τ : R(τ )=R(- τ ) . График АКФ симметричен .
АКФ достигает максимума при τ=0 и максимальное значение АКФ равно ЭНЕРГИИ сигнала Еs. Поэтому R(0)=Es>R(τ )

основ связи и радиотехники»

Общая теория связи/Радиотехнические цепи и сигналы Практическое занятие № 3

АКФ R(τ ) и энергетический спектр сигнала
ОДНОЗНАЧНО связаны парой преобразований Фурье.

Связь АКФ сигнала R(τ) с его энергетическим спектром W(ω).

Однозначно восстановить сигнал s(t ) по его АКФ R(τ ) невозможно, так как энергетический спектр W(ω), а значит и АКФ не содержат информацию о фазовом спектре сигнала.

основ связи и радиотехники»

Общая теория связи/Радиотехнические цепи и сигналы Практическое занятие № 3

Это действительная периодическая корреляционная функция , измеряемая единицами средней мощности за период повторения (ВАТТЫ), четная по аргументу τ , максимумы повторяются через период повторения T.

Примеры:

АКФ периодического вещественного сигнала s(t+kT).

АКФ периодического сигнала связана с его линейчатым спектром через ряд Фурье:

основ связи и радиотехники»

Общая теория связи/Радиотехнические цепи и сигналы Практическое занятие № 3

Сигнал на выходе линейной системы

ЛС
(фильтр)

δ(t)

g(t)

s(t)

y(t)=s(t) g(t)

ИМПУЛЬСНАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА

СВЕРТКА

ННУ

Частотная характеристика линейной системы

Вопрос 3. Свертка сигналов

основ связи и радиотехники»

Общая теория связи/Радиотехнические цепи и сигналы Практическое занятие № 3

Под сверткой понимается математическая операция , которая выполняется в соответствии со следующим алгоритмом:
Второй сигнал отображается зеркально симметрично.
Второй сигнал задерживается по времени от – ∞ до +∞ .
Для каждого времени задержки находится произведение с первым сигналом.
Результаты произведений , полученные при каждом времени задержки суммируются.

Свертка двух сигналов во временной и частотной области

основ связи и радиотехники»

Общая теория связи/Радиотехнические цепи и сигналы Практическое занятие № 3

Выполнение свертки в частотной области

X

s(t)

g(t)

S(jω)

G(jω)

y(t)

ППФ

ППФ

ОПФ

Если второй сигнал является зеркальной комплексно-сопряженной копией первого сигнала , то результатом свертки таких сигналов является АКФ сигнала.

Согласно свойства преобразования Фурье свертке во временной области соответствует перемножение спектров двух сигналов в частотной области.

Фурье

Аналогично можно поступить и при расчете линейной свертки через циклическую.
Рассмотрим пример. Пусть  , а   . Прямое вычисление линейной свертки потребует (12 миллионов) операций умножения и сложения.
Дополним каждую из последовательностей до 8192 отсчетов нулями и применим алгоритм БПФ с прореживание по времени, тогда на вычисление одного БПФ потребуется  операций комплексного умножения или 428000 операций действительного умножения. Таких блоков БПФ будет всего 3 штуки, плюс надо учесть 8192 комплексных умножений спектров, итого   , что почти в 7.5 раз ниже чем если бы мы считали линейную свертку в лоб

может быть выполнена через ДПФ (БПФ) гораздо быстрее

3

занятие № 3

№ 3

3

клеточка – длительность одного дискрета или в Wi-Fi – длительность одного чипа
Дома: чётные номера строят АКФ для 11-значного, нечётные - для 13-значного кода Баркера

Общая теория связи/Радиотехнические цепи и сигналы Практическое занятие № 3

№ 3

Практическое занятие № 3

Баркера

Общая теория связи/Радиотехнические цепи и сигналы Практическое занятие № 3

свёртка (свёртка дискретных сигналов)
Длина первого N отсчетов, длина второго M отсчетов

Круговая (циклическая )Дискретная свертка
Обе последовательности имеют одинаковую длину N отсчетов
Чтобы выровнять длину последовательностей их дополняют нулями до длины
M+N-1.

свертка

свертки с помощью циклической свертки

Линейная свертка = дополнить сигналы нулями и сделать циклическую свертку