Теория вероятностей и статистика 9 класс Глава 12. Числовые характеристики случайных величин

Август 31, 2022

Главная
Алгебра
Теория вероятностей и статистика 9 класс Глава 12. Числовые характеристики случайных величин

Содержание

2. Результаты обучения. В результате изучения материала главы 12 учащийся должен: знать определение математического ожидания конечной случайной
3. П.53. Математическое ожидание случайной величины. Для введения понятия «математическое ожидание случайной величины» необходимо разобрать задачу п.53.
4. Рассмотрим случайную величину Х.Пусть распределение случайной величины Х задано таблицей. Обозначим математическое ожидание Е(Х). Определение. Математическим
5. Задачи № 1. а),б),в).№2 решаются по формуле. №3. Е(Z) = (-8-6-4-2+2+4+6+8)·1/8=0. №4.Х- «число выпавших орлов» Е(Х)=
6. №5.Y – «сумма очков, выпавших при двух бросаниях игральной кости» Е(Y)=2·1/36+3·2/36+4·3/36+5·4/36+6·5/36+7·6/36+8·5/36+ 9·4/36+10·3/36+11·2/36+12·1/36=7. Вернуться к этой задаче
7. Задача № 9. Х – «число клеток в подбитом корабле» Е(Х)=0·0,8 +1·0,04 +2·0,06 +3·0,06+4·0,04 = 0,5.
8. Задача № 10. а). Х – «наибольшее из двух выпавших очков»
9. №10 (б). Х – «наименьшее из двух выпавших очков»
10. П. 54. Свойства математического ожидания Свойство1.Пусть Х – случайная величина, а – некоторое число. Рассмотрим случайную
11. Задача № 1. Х – «число очков, выпавших на одной игральной кости» Е(Х) = 3,5 Тогда
12. Задача № 3. р=1/11. Е(Х) = 1/11·(-3-2-1+0+1+2+3+4+5+6+7)=2 р = 1/9. Е(Y)= 1/9·(1+2+3+4+5+6+7+8+9) = 5 a). Z=X+Y,
13. Задача № 5. Т.к. бросаний 5, то всего событий 32. Х – «выпадение орлов» Е(Х)=1/32·(0+ 1·5+2·10+3·10+4·5+5·1)=
14. П.56- 57. Дисперсия и стандартное отклонение. Свойства дисперсии. Дисперсия - мера рассеивания.(п.55) Дисперсией случайной величины Х
15. Задача № 2. Проводится одно испытание Бернулли, с вероятностью успеха р. Случайная величина S – «число
16. Задача № 3. D(X) = E((Х –Е(Х))²) а).Е(Х) = -2·0,3+0·0,5+3·0,2=0 D(X)=4·0,3+0·0,5+9·0,2=1,2+1,8=3 б). Аналогично.
17. Задача №4.б). Вычислить дисперсию случайной величины Х. D(X) = E((Х –Е(Х))²) Е(Х) = 3 Е((Х-Е(Х))²) =
18. Задача № 7. а). Случайная величина Х принимает значения от 0 до 6 с равными вероятностями,
19. Задача № 8. При решении используются свойства дисперсии. a). D(X) = 3, Y=3X, D(Y)= 9D(X), D(Y)=27
20. П. 58. Математическое ожидание числа успехов в серии испытаний Бернулли Если S – число успехов в
21. Задача № 1. 2000 – окуней и 1000 – карасей. Всего 3000 рыб. Найти ожидаемое число
22. Задача № 3. n=120 а).S – «число очков кратно 3» При бросании игральной кости с равной
23. Задача № 4. Вероятность успеха 0,25. Следовательно Е(S)=16·0.25=4. Т.е. ожидаемое число правильных ответов 4. Задача №5.
24. П. 59. Дисперсия числа успехов. Дисперсия числа успехов S в серии испытаний Бернулли вычисляется по формуле
25. Задача № 1. n = 100 p = 0,36, следовательно q = 0,64. D(S) = 0,36·0,64·100
26. Задача № 3. S – число попаданий серии выстрелов по мишени. р – вероятность попадания (вероятность
28. Скачать презентацию

Слайд 2

Результаты обучения. В результате изучения материала главы 12 учащийся должен:
знать определение

математического ожидания конечной случайной величины, понимать, что математическое ожидание является обобщением среднего арифметического значений величины;
знать свойства математического ожидания и уметь использовать их при решении простых задач;
знать, что важным свойством распределения случайной величины является рассеивание величины, уметь вычислять дисперсию и стандартное отклонение;
знать формулы математического ожидания и дисперсии числа успехов в серии испытаний Бернулли.

Слайд 3

П.53. Математическое ожидание случайной величины.
Для введения понятия «математическое ожидание случайной величины»

необходимо разобрать задачу п.53.
Для проведения лотереи изготовили 100 билетов. Из них 1 билет с выигрышем в 500 р., 10 билетов с выигрышем по 100 р. и остальные 89 билетов без выигрыша. Какой средний выигрыш соответствует 1 билету?
Выигрыш является случайной величиной Х, которая может принимать значение 0;100; 500, с вероятностью 0,89; 0,1 и 0,01.
Если покупатель приобретает все 100 билетов, то выигрыш составит 1500 руб, следовательно выигрыш, соответствующий одному билету в 100 раз меньше. 15 руб. (0·89+10·100+1·500):100 = 0·0,89+100·0,1+500·0,01=15.
15 руб – это среднее значение случайной величины. Оно называется математическим ожиданием случайной величины.

Слайд 4

Рассмотрим случайную величину Х.Пусть распределение случайной величины Х задано таблицей.
Обозначим математическое

ожидание Е(Х).
Определение. Математическим ожиданием случайной величины Х называют число
Е(Х)=х1р1+х2р2+х3р3+ … + хnрn
Е(а)=а·1. Математическое ожидание постоянной величины равняется этой величине.

Слайд 5

Задачи № 1. а),б),в).№2 решаются по формуле.
№3.
Е(Z) = (-8-6-4-2+2+4+6+8)·1/8=0.
№4.Х- «число

выпавших орлов»
Е(Х)= 0·0,5+1·0,5=0,5

Слайд 6

№5.Y – «сумма очков, выпавших при двух бросаниях игральной кости»
Е(Y)=2·1/36+3·2/36+4·3/36+5·4/36+6·5/36+7·6/36+8·5/36+
9·4/36+10·3/36+11·2/36+12·1/36=7.
Вернуться

к этой задаче в п.54, при использовании свойств.

Слайд 7

Задача № 9.
Х – «число клеток в подбитом корабле»
Е(Х)=0·0,8 +1·0,04

+2·0,06 +3·0,06+4·0,04 = 0,5.
Е(Х) = 0,5.

Слайд 8

Задача № 10.
а). Х – «наибольшее из двух выпавших очков»

Слайд 9

№10 (б). Х – «наименьшее из двух выпавших очков»

Слайд 10

П. 54. Свойства математического ожидания
Свойство1.Пусть Х – случайная величина, а –

некоторое число. Рассмотрим случайную величину Y=аХ. Тогда Е(Y)=аЕ(Х).
Свойство 2. Пусть U и V – две случайные величины. Тогда U + V – также случайная величина, и при этом Е(U+V) = E(U)+E(V).
Это значит, что математическое ожидание суммы двух случайных величин равно сумме их математических ожиданий.

Слайд 11

Задача № 1.
Х – «число очков, выпавших на одной игральной кости»

Е(Х) = 3,5
Тогда при пяти бросаниях математическое ожидание равно а).3,5·5 = 17,5
б).3,5·7 = 24,5
в).3,5·100 = 350
г).3,5·k = 3,5k
Задача № 2. Применение свойств.

Слайд 12

Задача № 3.
р=1/11. Е(Х) = 1/11·(-3-2-1+0+1+2+3+4+5+6+7)=2
р = 1/9. Е(Y)= 1/9·(1+2+3+4+5+6+7+8+9) =

5
a). Z=X+Y, E(Z) = E(X)+E(Y) E(Z)= 2+5 = 7
б). Z=X-Y E(Z) = 2-5 = -3.

Слайд 13

Задача № 5.
Т.к. бросаний 5, то всего событий 32.
Х –

«выпадение орлов»
Е(Х)=1/32·(0+ 1·5+2·10+3·10+4·5+5·1)= 80 · 1/32 = 2,5
Е(Х) = 2,5
Задача № 6 разбирается подробно в п.58.

Слайд 14

П.56- 57. Дисперсия и стандартное отклонение. Свойства дисперсии.
Дисперсия - мера рассеивания.(п.55)
Дисперсией

случайной величины Х называют математическое ожидание случайной величины
(Х –Е(Х))².
D(X) = E((Х –Е(Х))²)
Стандартное отклонение σ = √D(X)
Свойства дисперсии. 1.Пусть Х – случайная величина. Рассмотрим случайную величину
Y = аХ, где а - некоторое число. Тогда D(Y) =a²D(X)
2. Пусть Х – случайная величина . Рассмотрим случайную величину Y = X + a. Тогда
D(Y) = D(X)

Слайд 15

Задача № 2.
Проводится одно испытание Бернулли, с вероятностью успеха р. Случайная

величина S – «число успехов». Найти D(S).
Е(S) = р
D(X) = E((Х –Е(Х))²)
D(S) = р²(1- р)+(1- р)²р = р(1- р)(р + 1- р) = р(1- р) = р - р²

Слайд 16

Задача № 3.
D(X) = E((Х –Е(Х))²)
а).Е(Х) = -2·0,3+0·0,5+3·0,2=0
D(X)=4·0,3+0·0,5+9·0,2=1,2+1,8=3
б). Аналогично.

Слайд 17

Задача №4.б). Вычислить дисперсию случайной величины Х. D(X) = E((Х –Е(Х))²)

Е(Х) = 3
Е((Х-Е(Х))²) = 25·0,1+9·0,1+4·0,2+4·0,6= 6,6
D(X) = 6,6
Задачи № 5,6 решаются аналогично.

Слайд 18

Задача № 7.
а). Случайная величина Х принимает значения от 0 до

6 с равными вероятностями, т.е. р =1/7.
Найти D(X).
D(X) = E((Х –Е(Х))²)
Е(Х)=21·1/7 =3
Значения Х- Е(Х) от -3 до 3. Тогда D(Х)=4.
б). Случайная величина Y принимает значения от 1 до 7, т.е. Y = Х + 1. Следовательно, по свойству дисперсии D(Y) = D(X). Т.е. D(Y) = 4.

Слайд 19

Задача № 8. При решении используются свойства дисперсии.
a). D(X) = 3,

Y=3X, D(Y)= 9D(X), D(Y)=27
б). Y=X+5. D(Y)=D(X) D(Y)=3.
е). Y=-5X-7. D(Y)= 25D(X)=75.
Остальные решаются аналогично.

Слайд 20

П. 58. Математическое ожидание числа успехов в серии испытаний Бернулли

Если S

– число успехов в серии n независимых испытаний Бернулли с вероятностью успеха р, то Е(S) = np.

Слайд 21

Задача № 1.
2000 – окуней и 1000 – карасей. Всего 3000

рыб.
Найти ожидаемое число карасей.
E(S) = np
S = 0;1; 2;4; …;30 Е(S) = 30p
E(S) = 10

Слайд 22

Задача № 3.
n=120
а).S – «число очков кратно 3»
При бросании игральной

кости с равной вероятностью 1/6 выпадают 1, 2, 3,4,5,6.
Успехов 2 (значения 3 и 6). Следовательно вероятность события Х при однократном бросании равна 1/3.
Т.е. Е(S) = 120∙1/3 = 40.
б). Аналогично.

Слайд 23

Задача № 4.
Вероятность успеха 0,25. Следовательно Е(S)=16·0.25=4. Т.е. ожидаемое число правильных

ответов 4.
Задача №5.
Математическое ожидание случайной величины «число выпадений острием вверх» равно 135. n=300. Найти р.
Е(S) = np. р·300 = 135,
p = 0,45

Слайд 24

П. 59. Дисперсия числа успехов.
Дисперсия числа успехов S в серии испытаний

Бернулли вычисляется по формуле D(S) = npq.
n – число испытаний Бернулли
р – вероятность успеха
q – вероятность неудачи

Слайд 25

Задача № 1.
n = 100 p = 0,36, следовательно q =

0,64.
D(S) = 0,36·0,64·100 = 23,04
σ = √D(S) σ = √23,04 = 4,8
Задача № 2. а). Х – «выпавшее число очков кратно 3»
D(X) = 3000

Слайд 26

Задача № 3.
S – число попаданий серии выстрелов по мишени.
р –

вероятность попадания (вероятность успеха)
Найти дисперсию величины S.
а). D(X) = npq. р=0,3, тогда вероятность неудачи равна 0,7. число выстрелов равно 100. Тогда дисперсия равна 21.
в). При 2500 выстрелах дисперсия равна 525.

Теория вероятностей и статистика 9 класс Глава 12. Числовые характеристики случайных величин

Содержание

Результаты обучения. В результате изучения материала главы 12 учащийся должен:знать определение

П.53. Математическое ожидание случайной величины. Для введения понятия «математическое ожидание случайной величины»

Рассмотрим случайную величину Х.Пусть распределение случайной величины Х задано таблицей.Обозначим математическое

Задачи № 1. а),б),в).№2 решаются по формуле.№3. Е(Z) = (-8-6-4-2+2+4+6+8)·1/8=0.№4.Х- «число

№5.Y – «сумма очков, выпавших при двух бросаниях игральной кости»Е(Y)=2·1/36+3·2/36+4·3/36+5·4/36+6·5/36+7·6/36+8·5/36+9·4/36+10·3/36+11·2/36+12·1/36=7. Вернуться

Задача № 9. Х – «число клеток в подбитом корабле»Е(Х)=0·0,8 +1·0,04

Задача № 10.а). Х – «наибольшее из двух выпавших очков»

№10 (б). Х – «наименьшее из двух выпавших очков»

П. 54. Свойства математического ожиданияСвойство1.Пусть Х – случайная величина, а –

Задача № 1.Х – «число очков, выпавших на одной игральной кости»

Задача № 3.р=1/11. Е(Х) = 1/11·(-3-2-1+0+1+2+3+4+5+6+7)=2р = 1/9. Е(Y)= 1/9·(1+2+3+4+5+6+7+8+9) =

Задача № 5.Т.к. бросаний 5, то всего событий 32. Х –

П.56- 57. Дисперсия и стандартное отклонение. Свойства дисперсии.Дисперсия - мера рассеивания.(п.55) Дисперсией

Задача № 2.Проводится одно испытание Бернулли, с вероятностью успеха р. Случайная

Задача № 3.D(X) = E((Х –Е(Х))²)а).Е(Х) = -2·0,3+0·0,5+3·0,2=0D(X)=4·0,3+0·0,5+9·0,2=1,2+1,8=3б). Аналогично.