Трехшарнирные системы

такая система называется трехшарнирной аркой (см. рис. 1)

ТРЕХШАРНИРНЫЕ СИСТЕМЫ

A

A

B

B

C

C

f

f

1)

2)

l

l

1

1

2

2

Если диски 1 и 2 представляют собой ломанные брусья, то система называется трехшарнирной рамой (см. рис. 2)

Расстояние между опорами А и Б называется пролетом арки - l

Расстояние от прямой соединяющей опорные шарниры А и Б до шарнира С называется стрелой подъема арки - f

шарнир С называется ключевым шарниром

ТРЕХШАРНИРНЫЕ СИСТЕМЫ

A

A

B

B

C

C

f

а)

б)

l

l

Если 0,1≤ f/l ≤ 0,3 – арки называются пологими

Если 0,3< f/l ≤ 1,0 – арки называются повышенными

Трехшарнирные системы являются статически определимыми : W=3D-2ШО-СОП=3·2-2·1-4=0,

Пята

Ключ

и геометрически неизменямыми системами

f

опорные реакции,

ТРЕХШАРНИРНЫЕ СИСТЕМЫ

A

A

B

B

C

C

1)

2)

l

l

∑МСПРАВ = 0 или ∑МСЛЕВ = 0.

Трехшарнирные системы являются распорными системами, так как горизонтальные составляющие опорных реакций направлены внутрь сооружения

Р

VА

VВ

НА

НВ

определяют которые используя три уравнения статики, а наличие ключевого шарнира С позволяет составить еще одно дополнительное уравнение:

f

f

1 и 2)

3)

и несимметричными – рис. 3

в одном уровне (см.рис. 1,2,3) и могут располагаться в разных уровнях (рис. 4) – такие системы называются ползучими арками или рамами

4)

у которых распор воспринимается затяжкой – рис. 5, 6

Затяжка

Затяжка

арка с затяжкой в уровне опор

арка с повышенной затяжкой

то такая система называется сквозной аркой или трехшарнирной фермой – рис. 7

VB0

∑МB=0; => VA = VA0

∑МCлев=0; или ∑МСправ =0;
=> Н=МС0/ f .

∑X=0; => HA = HB = H

2. Внутренние усилия

Покажем на оси арки сечение, расположенное на расстоянии X от левой опоры

Очертание оси арки y=f(x) задано

Для определения внутренних усилий рассмотрим часть арки и балочной аналогии, расположенной левее сечения

y(x) – расстояние по вертикали от оси х до сечения, ϕ(х) – угол наклона касательной, проведенной к сечению к оси х

P1·(x-a1) - H·y(x)

M0(x)

Тогда, в общем виде:

M(x)=M0(x)- H·y(x) (1)

Поперечные силы в сечениях арки

Q(x)=(VA – P1 )·cosϕ - H·sinϕ

Q0(x)

Или в общем виде:

Q(x)=Q0(x)·cosϕ - H·sinϕ (2)

Продольные силы в сечениях арки

N(x)= -(VA – P1 )·sinϕ - H·cosϕ

Q0(x)

Или в общем виде:

N(x)= -Q0(x)·sinϕ - H·cosϕ (3)

По полученным значениям усилий строят соответствующие эпюры.

Не зависимо от внешних нагрузок эпюры М, Q и N в арках криволинейны, поскольку ось арки и угол наклона касательной по длине пролета изменяются нелинейно .

Арку разбивают на достаточное число участков (10-15 в зависимости от требуемой точности расчета) и в соответствии с формулами (1), (2), (3) определяют внутренние усилия М, Q и N во всех сечениях, на границах участков.

Построение эпюр в трехшарнирных арках

В местах приложения сосредоточенных сил в эпюре Q получаем скачок на величину P·cosϕ

, а на эпюре N - скачок P·sinϕ .

от очертания оси арки.

Такая арка и называется аркой рационального очертания.

Пример:

Для заданного вида нагрузки можно подобрать такое очертание оси арки, что изгибающие моменты М и поперечные силы Q в любом ее сечении будут равны нулю.

Арка рационального очертания

Пусть трехшарнирная арка пролетом l и стрелой подъема f загружена по всей длине пролета равномерно-распределенной нагрузкой q.

Необходимо подобрать очертание оси арки, при котором М и Q в любом ее сечении будут равны нулю.

M(x)=M0(x)- H·y(x)

Приравнивая полученное выражение нулю, имеем
M0(x)- H·y(x)=0 (а)

Или
y(x)= M0(x) / H (б)

(ql)/2⋅l/2 - (ql)/2⋅l/4 = ql2/8

H = M0C / f = (ql2)/(8f)

Подставляя полученные значения M0(x) и Н в (б), получаем уравнение оси арки рационального очертания
y(x) = (4f /l2)·x(l - x)

опор

При действии на такую арку внешних нагрузок, в опорах возникают только вертикаль-ные составляющие опорных реакций.

Их определяют с помощью уравнений статики

∑МА=0; => VB ; ∑МВ=0; => VА

Для определения усилия в затяжке, проводят сечение через шарнир С и затяжку.

И записывая одно из уравнений в виде ∑МСЛЕВ =0 или ∑МСПРАВ =0 определяют усилие в затяжке NЗ .

опор

Внутренние усилия в сечениях арки с затяжкой определяют по тем же формулам (1) – (3) что и в обычных арках, только вместо распора Н принимают усилие в затяжке NЗ

M(x)=M0(x)- NЗ·y(x) Q(x)=Q0(x)·cosϕ - NЗ·sinϕ N(x)= -Q0(x)·sinϕ - NЗ·cosϕ

с повышенной затяжкой в опорах так же возникают только вертикаль-ные составляющие опорных реакций.

Их определяют с помощью уравнений статики

∑МА=0; => VB ; ∑МВ=0; => VА

Для определения усилия в затяжке, проводят сечение через шарнир С и затяжку.

Записывая уравнение в виде ∑МСЛЕВ =0 или ∑МСПРАВ =0 определяют усилие в затяжке NЗ .

арки AD и BЕ внутренние усилия опреде-ляют без учета NЗ

На участке DCЕ внутренние усилия определяют с учетом усилия в затяжке NЗ

M(x)=M0(x)- NЗ·y I(x) Q(x)=Q0(x)·cosϕ - NЗ·sinϕ N(x)= -Q0(x)·sinϕ - NЗ·cosϕ

M(x)=M0(x) Q(x)=Q0(x)·cosϕ N(x)= -Q0(x)·sinϕ

где y I(x) – расстояние по вертикали от усилия в затяжке до сечения.