Содержание
- 2. ФИЗИЧЕСКАЯ КАРТИНА ПОТЕРИ УСТОЙЧИВОСТИ Гладкие и подкрепленные оболочки широко распространены в конструкциях летательных аппаратов. Так, например,
- 3. . Из диаграммы, построенной на рисунке, видно, что увеличение силы от нуля до значения, соответствующего точке
- 4. На рисунках а и б показаны соответственно симметричная и несимметричная формы, которые получает оболочка после потери
- 5. Точка В на диаграмме для реальных оболочек не имеет постоянного положения, перемещаясь даже в отрицательную область
- 6. Если весь отсек летательного аппарата, состоящий из обшивки и внутренних подкреплений, теряет устойчивость, то речь идет
- 7. Для определения критической нагрузки необходимо исследовать устойчивость исходной системы уравнений в окрестности точки ветвления, или, как
- 8. РАЗРЕШАЮЩИЕ УРАВНЕНИЯ ПРИ БЕЗМОМЕНТНОМ ДОКРИТИЧЕСКОМ СОСТОЯНИИ Для получения уравнений устойчивости оболочек воспользуемся статическим критерием устойчивости, сформулированным
- 9. 4. Находится такая комбинация докритических напряжений, при которой уравнения равновесия имеют ненулевое решение, удовлетворяющее заданным граничным
- 10. Рассмотрим докритическое состояние элемента оболочки. Полагая для докритического состояния в соответствии с рисунком , , ,
- 11. и изменения кривизны и кручение срединной поверхности В соответствии с физическими соотношениями возникнут дополнительные усилия и
- 12. По аналогии с пластинами для оболочки будем иметь: где κα, κβ и καβ определяются ранее указанными
- 13. УРАВНЕНИЯ УСТОЙЧИВОСТИ ДЛЯ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ОБОЛОЧКИ Рассмотрим цилиндрическую оболочку, показанную на рисунке. Вводя вместо α и β
- 14. В результате, уравнения технической теории совпадают с уравнениями теории пологих оболочек , в которых в рассматриваемом
- 15. Устойчивость цилиндрической оболочки при осевом сжатии Рассмотрим условия нагружения, показанные на рисунке. Очевидно, что докритическое поле
- 16. Предположим, что края оболочки x=0 и x=l шарнирно оперты, т. е. Решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее данным
- 17. Для различных целых чисел т получим соответствующие собственные значения интенсивности осевой нагрузки N. Минимальное из этих
- 18. Формула Лоренца-Тимошенко получена в предположении, что форма потери устойчивости является осесимметричной. Неосесимметричную форму потери устойчивости оболочки
- 19. Условие минимума приведенной нагрузки при условии непрерывности переменной дает значение критического напряжения, которое определяется равенством т.
- 20. В таблице приведены ориентировочные экспериментальные значения коэффициента устойчивости k в формуле Отмеченное различие между теоретическим и
- 21. Устойчивость цилиндрической оболочки при равномерном внешнем давлении Уравнения докритического состояния при q=p0=const дают , , Уравнение
- 22. Собственные значения наружного давления p0 зависят от числа полуволн n в окружном направлении и т в
- 23. Полагая, что , можно упростить полученное выражение следующим образом: Минимум этой функции имеет место при и
- 24. УСТОЙЧИВОСТЬ СФЕРИЧЕСКОЙ ОБОЛОЧКИ ПРИ ВНЕШНЕМ ДАВЛЕНИИ Потеря устойчивости сферической оболочки под действием внешнего давления, равномерно распределенного
- 25. Данным усилиям соответствуют нормальные напряжения В силу локального возникновения вмятины на поверхности сферы в момент потери
- 26. Оператор Лапласа в полярной системе координат для осесимметричной функции прогиба w(r) имеет вид: Положим, что форма
- 28. Скачать презентацию
ФИЗИЧЕСКАЯ КАРТИНА ПОТЕРИ УСТОЙЧИВОСТИ
Гладкие и подкрепленные оболочки широко распространены в конструкциях
ФИЗИЧЕСКАЯ КАРТИНА ПОТЕРИ УСТОЙЧИВОСТИ
Гладкие и подкрепленные оболочки широко распространены в конструкциях
При воздействии нагрузок, вызывающих сжимающие напряжения, оболочка может потерять устойчивость, при этом нарушается ее первоначальная форма и значительно снижается способность воспринимать нагрузку. Наиболее распространенными на практике случаями нагружения оболочек, приводящими к потере устойчивости, являются воздействия осевой сжимающей силы на цилиндрические и конические оболочки, внешнего давления на цилиндрические, конические и сферические оболочки.
Поведение оболочек при потере устойчивости существенно отличается от поведения стержней и пластинок. После достижения критической нагрузки деформация оболочки в закритической стадии возрастает, а нагрузка падает. В аналогичных же состояниях для стержней и пластин с увеличением деформации нагрузка непрерывно возрастает.
.
Из диаграммы, построенной на рисунке, видно, что увеличение силы от нуля
.
Из диаграммы, построенной на рисунке, видно, что увеличение силы от нуля
Поведение оболочки кардинально меняется в точке А. Попытки увеличения осевой силы за точку А, а также малые возмущения приводят к тому, что оболочка получает большие прогибы, изменяя свою геометрическую форму. Теперь на поверхности цилиндра образуются чередующиеся в шахматном порядке выпуклости и вмятины с прогибами, соизмеримыми с толщиной оболочки. Потеря устойчивости оболочкой происходит с хлопком, что на диаграмме отмечено линией, соединяющей точки А и С.
На рисунках а и б показаны соответственно симметричная и несимметричная формы,
На рисунках а и б показаны соответственно симметричная и несимметричная формы,
части, т. к. оболочка прогибается в направлении центра кривизны, затрачивая на это меньшее количество энергии, чем на выпучивание в противоположенном направлении.
Точка В на диаграмме для реальных оболочек не имеет постоянного положения,
Точка В на диаграмме для реальных оболочек не имеет постоянного положения,
Потеря устойчивости оболочкой рассмотрена на простейшем примере со сжимающей силой, однако наличие сжимающей нагрузки совсем не обязательно для потери устойчивости, т. к. это свойство самой оболочки, определяемое и ее исходной конфигурацией. Так, например, эллиптическое днище, нагруженное внутренним давлением, также может потерять устойчивость в области отрицательных тангенциальных напряжений.
В задачах устойчивости конструкций принято понимать под общей устойчивость всей конструкции в целом, а под местной — устойчивость отдельных ее частей или элементов.
Поэтому, если речь идет об эллиптическом днище, то здесь необходимо говорить о местной устойчивости.
Если весь отсек летательного аппарата, состоящий из обшивки и внутренних подкреплений,
Если весь отсек летательного аппарата, состоящий из обшивки и внутренних подкреплений,
Описанная картина изменения прогиба оболочки соответствует теоретически правильной, или идеальной оболочке.
Реальные оболочки всегда имеют начальные геометрические неправильности, которые приводят к тому, что описанная диаграмма несколько смещается вниз, причем значения верхней и нижней критических нагрузок значительно меньше, чем соответствующие значения для идеальной оболочки. В качестве иллюстрации на рисунке приводятся экспериментальные значения первой критической нагрузки, отнесенные к расчетным, для случая осевого сжатия цилиндра при различных отношениях его радиуса к толщине стенки. Экспериментальные значения, полученные различными авторами, находятся в заштрихованной области. Такой значительный разброс объясняется различной степенью геометрического несовершенства оболочек, испытанных в экспериментах.
Для определения критической нагрузки необходимо исследовать устойчивость исходной системы уравнений в
Для определения критической нагрузки необходимо исследовать устойчивость исходной системы уравнений в
РАЗРЕШАЮЩИЕ УРАВНЕНИЯ ПРИ БЕЗМОМЕНТНОМ ДОКРИТИЧЕСКОМ СОСТОЯНИИ
Для получения уравнений устойчивости оболочек воспользуемся
РАЗРЕШАЮЩИЕ УРАВНЕНИЯ ПРИ БЕЗМОМЕНТНОМ ДОКРИТИЧЕСКОМ СОСТОЯНИИ
Для получения уравнений устойчивости оболочек воспользуемся
1. Рассматривается исходное, докритическое состояние оболочки и определяются докритические напряжения.
2. Далее считается, что на систему не действует внешняя нагрузка, но в ней существует найденное докритическое напряженное состояние.
3. Системе придаются малые возмущения, соответствующие возможной форме потери устойчивости, и записываются уравнения равновесия для возмущенного состояния. Эти уравнения являются линейными и однородными относительно дополнительных перемещений и всегда включают две группы членов: члены, соответствующие упругим силам, стремящимся ликвидировать возмущения, и параметрические члены, включающие докритические напряжения и соответствующие силам, стремящимся вывести систему из исходного состояния.
4. Находится такая комбинация докритических напряжений, при которой уравнения равновесия имеют
4. Находится такая комбинация докритических напряжений, при которой уравнения равновесия имеют
Как правило, такая комбинация не является единственной, и выбирается та конфигурация, которая соответствует минимальному значению внешней нагрузки. Это значение и является критической нагрузкой.
Особенно просто решается задача устойчивости в том случае, когда начальное напряженное состояние безмоментное. Тогда, считая безмоментное решение известным, дадим оболочке малое возмущение в виде перемещений, которые создадут дополнительные деформации, внутренние усилия и моменты. В точке бифуркации оболочки (в точке ветвления) существуют два равновесных состояния, соответствующих одной и той же нагрузке. Одно из них безмоментное, а другое возмущенное. В соответствии со статическим критерием устойчивости запишем уравнение равновесия оболочки в возмущенном состоянии. При потере устойчивости оболочкой образуются сравнительно мелкие волны, так что в пределах каждой вмятины оболочку можно считать пологой, хотя и вся оболочка не является пологой.
Рассмотрим докритическое состояние элемента оболочки. Полагая для докритического состояния в соответствии
Рассмотрим докритическое состояние элемента оболочки. Полагая для докритического состояния в соответствии
, получим:
Здесь A, B и R1, R2 — коэффициенты первой квадратичной формы и главные радиусы кривизны срединной поверхности оболочки
Предположим, что решение уравнений, определяющее докритические усилия, известно. Тогда для реализации статического критерия устойчивости оболочки необходимо придать некоторое малое возмущение, характеризуемое дополнительными перемещениями и(α, β), v(α, β), w(α, β). Эти перемещения вызовут дополнительные деформации срединной поверхности
и углы поворота нормали
и изменения кривизны и кручение срединной поверхности
В соответствии с физическими
и изменения кривизны и кручение срединной поверхности
В соответствии с физическими
Здесь
мембранная и изгибная жесткость оболочки .
Далее необходимо записать уравнения равновесия оболочки в возмущенном состоянии. Как было показано на примере пластины, для записи этих уравнений можно воспользоваться обычными уравнениями равновесия, если заменить в них поперечную нагрузку условной нагрузкой, статически эквивалентной действию докритических усилий в возмущенном состоянии.
По аналогии с пластинами для оболочки будем иметь:
где κα, κβ и
По аналогии с пластинами для оболочки будем иметь:
где κα, κβ и
Принимая теперь в уравнениях равновесия для оболочки , и учитывая выражение для , получим линеаризованные уравнения устойчивости:
Методом, рассмотренным ранее, эту систему можно свести к трем уравнениям относительно трех перемещений. При и они будут однородными относительно перемещений. Согласно статическому критерию устойчивости необходимо в общем случае найти такую критическую комбинацию усилий при которой эти уравнения имеют ненулевое решение, удовлетворяющее заданным граничным условиям.
УРАВНЕНИЯ УСТОЙЧИВОСТИ ДЛЯ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ОБОЛОЧКИ
Рассмотрим цилиндрическую оболочку, показанную на рисунке.
Вводя
УРАВНЕНИЯ УСТОЙЧИВОСТИ ДЛЯ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ОБОЛОЧКИ
Рассмотрим цилиндрическую оболочку, показанную на рисунке.
Вводя
В задачах устойчивости широкое применение получила упрощенная техническая теория цилиндрических оболочек.
Эта теория отличается от общей тем, что в первом уравнении равновесия отбрасывается последний член, а в формулах для углов поворота сохраняются только члены, содержащие прогиб.
В результате, уравнения технической теории совпадают с уравнениями теории пологих оболочек
В результате, уравнения технической теории совпадают с уравнениями теории пологих оболочек
Уравнения теории пологих оболочек сводятся к одному уравнению, которое после подстановки R1, R2 и p и является линеаризованным уравнением устойчивости для цилиндрической оболочки
где
Докритические усилия определяются докритическими уравнениями равновесия, которые в рассматриваемом случае после подстановок имеют вид:
Устойчивость цилиндрической оболочки при осевом сжатии
Рассмотрим условия нагружения, показанные на рисунке.
Устойчивость цилиндрической оболочки при осевом сжатии
Рассмотрим условия нагружения, показанные на рисунке.
Тогда разрешающее уравнение устойчивости можно записать в форме:
Необходимо найти минимальное значение N=Νкр при котором уравнение имеет ненулевое решение w(x,y), удовлетворяющее соответствующим граничным условиям.
Рассмотрим сначала осесимметричную форму потери устойчивости, т. е. предположим, что прогиб w не зависит от переменной у, а возмущенная форма оболочки соответствует пунктирной линии на рисунке. При w=w(х) уравнение примет вид:
Предположим, что края оболочки x=0 и x=l шарнирно оперты, т. е.
Решение
Предположим, что края оболочки x=0 и x=l шарнирно оперты, т. е.
Решение
где т — число полуволн изогнутой поверхности вдоль образующей оболочки. Подставляя данное выражение, в дифференциальное уравнение, получим
Очевидно, это равенство будет выполняться в тривиальном случае, когда Ат=0,
т. е. w=0, что соответствует исходной форме равновесия оболочки. При Ат≠0 равенство выполняется только при условии обращения сомножителя в квадратных скобках в нуль. Из этого условия получим:
Для различных целых чисел т получим соответствующие собственные значения интенсивности осевой
Для различных целых чисел т получим соответствующие собственные значения интенсивности осевой
а само критическое усилие имеет вид:
Критические осевые напряжения будут равны:
Эта формула была выведена Лоренцем и Тимошенко. Для большинства металлов коэффициент Пуассона μ равен 0,3. Тогда выражение для критических напряжений принимает более простой вид:
и показывает, что отношение критических напряжений сжатия κ модулю упругости материала одного порядка с отношением толщины оболочки к ее радиусу.
Формула Лоренца-Тимошенко получена в предположении, что форма потери устойчивости является осесимметричной.
Формула Лоренца-Тимошенко получена в предположении, что форма потери устойчивости является осесимметричной.
Физически эти условия обозначают шарнирное крепление в отношении прогиба, защемление в отношении тангенциального перемещения и свободный край по отношению к осевым усилиям. Усилие Νx является дополнительным усилием, образующимся в результате потери устойчивости, а внешнее усилие уравновешивается докритическим усилием.
Учитывая, что прогиб должен быть еще и периодической функцией полярного угла
β=y/R, представим его в виде:
Подставляя данное выражение в разрешающее дифференциальное уравнение и повторяя рассуждения, которые привели к формуле Лоренца-Тимошенко, получим следующее равенство:
где
Условие минимума приведенной нагрузки при условии непрерывности переменной
дает значение критического
Условие минимума приведенной нагрузки при условии непрерывности переменной
дает значение критического
т. е. анализ неосесимметричной формы потери устойчивости приводит к результату, который соответствует осесимметричной форме. Критическая величина параметра ρ позволяет установить соотношение между числом осевых и кольцевых полуволн изогнутой поверхности оболочки. Отказ от допущения о непрерывности переменной ρ в формуле для критических нагрузок и учет дискретности параметров т и n позволяет обосновать приемлемость формулы Лоренца - Тимошенко для широкого класса оболочек средней длины, таких что:
Экспериментальные исследования, как говорилось в первом вопросе, показывают существенное отклонение критических усилий и напряжений у реальных оболочек от идеальных. Критические напряжения оказываются значительно ниже теоретических, причем, чем меньше относительная толщина оболочки, тем различие больше.
В таблице приведены ориентировочные экспериментальные значения коэффициента устойчивости k в формуле
Отмеченное
В таблице приведены ориентировочные экспериментальные значения коэффициента устойчивости k в формуле
Отмеченное
Устойчивость цилиндрической оболочки при равномерном внешнем давлении
Уравнения докритического состояния при
Устойчивость цилиндрической оболочки при равномерном внешнем давлении
Уравнения докритического состояния при
Уравнение устойчивости принимает вид:
В случае шарнирного опирания краев x=0 и x=l граничные условия
автоматически удовлетворяются, если задать прогиб в форме ряда:
Подставляя данное выражение в дифференциальное уравнение, после аналогичных рассуждений получим следующее равенство:
Собственные значения наружного давления p0 зависят от числа полуволн n в
Собственные значения наружного давления p0 зависят от числа полуволн n в
Отыскивая минимум функции по n для различных параметров h/R и R/l, можно получить критическое давление и соответствующую ему форму потери устойчивости. Для оболочки средней длины, такой что
можно принять, что число полуволн в окружном направлении n велико и получить приближенный аналитический результат.
Полагая, что , можно упростить полученное выражение следующим образом:
Минимум этой функции
Полагая, что , можно упростить полученное выражение следующим образом:
Минимум этой функции
и равен
Данную формулу обычно называют формулой Саутуэлла — Папковича. Она подтверждается экспериментальными результатами значительно лучше, чем формула для осевого сжатия (экспериментальные значения получаются в среднем на 70-75 % меньше теоретических).
УСТОЙЧИВОСТЬ СФЕРИЧЕСКОЙ ОБОЛОЧКИ ПРИ ВНЕШНЕМ ДАВЛЕНИИ
Потеря устойчивости сферической оболочки под действием
УСТОЙЧИВОСТЬ СФЕРИЧЕСКОЙ ОБОЛОЧКИ ПРИ ВНЕШНЕМ ДАВЛЕНИИ
Потеря устойчивости сферической оболочки под действием
Будем рассматривать идеальную сферическую оболочку, нагруженную нормальными к поверхности статическими усилиями, для которой толщина h и радиус срединной поверхности R совершенно не меняются, а материал оболочки абсолютно однороден и предел его пропорциональности значительно выше ожидаемых критических напряжений.
Для определения критических напряжений в сфере (критического внешнего давления) воспользуемся статическим критерием устойчивости и составим линеаризованное уравнение устойчивости.
Согласно уравнениям докритического устойчивого равновесного состояния рассматриваемой оболочки оно описывается усилиями:
Данным усилиям соответствуют нормальные напряжения
В силу локального возникновения вмятины на поверхности
Данным усилиям соответствуют нормальные напряжения
В силу локального возникновения вмятины на поверхности
Для случая сферической оболочки подставляя в уравнения пологой оболочки
, . Тогда эти уравнения сводятся к одному:
,
Условная нагрузка для докритических усилий, соответствующих напряжениям σ, и для кривизн пологой оболочки запишется в виде
Тогда уравнение устойчивости будет иметь вид:
Одна из возможных форм потери устойчивости сферы — осесимметричная. Представление о такой форме может дать водная поверхность, когда в воду сбросили камень. При этом высота гребней расходящихся кругов уменьшается по мере удаления от места падения камня. Для описания осесимметричной формы потери устойчивости перейдем к полярной системе координат (r, φ) на пологой сферической оболочке.
Оператор Лапласа в полярной системе координат для осесимметричной функции прогиба w(r)
Оператор Лапласа в полярной системе координат для осесимметричной функции прогиба w(r)
Положим, что форма потери устойчивости описывается функциями Беселя I0(λr) первого рода с индексом 0. Эти функции удовлетворяют уравнения вида
или
Здесь λ2 — неопределенный параметр. Тогда из дифференциального уравнения будем иметь выражение для напряжений в точке бифуркации
Минимум этой функции σ=σ(λ2) реализуется при
и равен значению
Критическое внешнее давление pкр соответствующее этому напряжению согласно формуле