Выпуклый анализ. Выпуклые множества. Лекция 6

Сентябрь 7, 2022

Главная
Алгебра
Выпуклый анализ. Выпуклые множества. Лекция 6

Содержание

2. 2. ВЫПУКЛЫЕ МНОЖЕСТВА (ПРОДОЛЖЕНИЕ) 2.5. Выпуклые оболочки.
3. 2.5. Выпуклые оболочки. Определение 9. называется выпуклой комбинацией Теорема 9 Необходимость. Предположим, что утверждение теоремы верно
4. Полагаем Имеет место равенство С другой стороны
5. Необходимость доказана. Достаточность. Достаточность доказана. следовательно, оно выпукло. любых своих двух точек, Теорема 10. – фиксированные
6. Тогда для любых имеет место Кроме того Теорема доказана. Из доказанной теоремы легко выводится, например,
7. Упражнение. Решение.
8. По аналогии с аффинной оболочкой множества введем понятие выпуклой оболочки множества. Определение 10. Пересечение всех выпуклых
9. Доказательство. Теорема 11.
10. В качестве примера заметим, что выпуклая оболочка двух точек на плоскости представляет собой отрезок прямой, их
11. Согласно теореме 10 справедливо равенство Теорема 12 (Каратеодори). Доказательство. Покажем, что число слагаемых (ненулевых!) в этом
12. В силу (1) а их сумма равна нулю, и (2)
13. Теорема доказана.
15. Скачать презентацию

Слайд 2

2. ВЫПУКЛЫЕ МНОЖЕСТВА (ПРОДОЛЖЕНИЕ)
2.5. Выпуклые оболочки.

Слайд 3

2.5. Выпуклые оболочки.
Определение 9.
называется выпуклой комбинацией
Теорема 9
Необходимость.
Предположим, что

утверждение теоремы верно

Рассмотрим произвольную выпуклую комбинацию

которое иногда непосредственно берется за определение выпуклого множества.

любого конечного числа своих точек.

Слайд 4

Полагаем
Имеет место равенство
С другой стороны

Слайд 5

Необходимость доказана.
Достаточность.
Достаточность доказана.
следовательно, оно выпукло.
любых своих двух точек,
Теорема 10.
–

фиксированные точки

– их произвольные выпуклые комбинации.

Доказательство.

Слайд 6

Тогда для любых
имеет место
Кроме того
Теорема доказана.
Из доказанной теоремы

легко выводится, например,

Слайд 7

Упражнение.
Решение.

Слайд 8

По аналогии с аффинной оболочкой множества
введем понятие выпуклой оболочки множества.
Определение 10.

Пересечение всех выпуклых множеств,

называется выпуклой оболочкой множества и

В тех случаях, когда рассматриваемое множество не выпукло

обозначается

и

Слайд 9

Доказательство.
Теорема 11.

Слайд 10

В качестве примера заметим, что выпуклая оболочка двух точек на плоскости
представляет

собой отрезок прямой, их соединяющий;

а в пространстве – выпуклый многогранник.

Определение 11.

не лежащие на одной прямой,

треугольник.

образует выпуклый многоугольник,

Слайд 11

Согласно теореме 10 справедливо равенство
Теорема 12 (Каратеодори).
Доказательство.
Покажем, что число

слагаемых (ненулевых!) в этом выражении можно уменьшить,

Слайд 12

В силу (1)
а их сумма равна нулю,
и (2)

Слайд 13

Теорема доказана.