Эконометрика. Модели обработки остатков ARMA. Лаговые модели

в частности, тренд и сезонность, и переходим к ряду остатков εt. В отличие от пространственных выборок во временных рядах остатки то-же можно моделировать.

Автоковариационная и автокорреляционная функция:

Частная автокорреляционная функция – устранено влияние всех про-межуточных членов ряда между εt и εt+τ:

и перейдем к математическим ожиданиям:

Итоговые формулы:

………………………………………………………………

Марковский процесс AR(1):

Идентификация модели: найти и

и

…………………………………………………………………………………

Матричная форма:

и MA(q):

Аналогично, AR(p) ~ MA(+∞), MA(q) ~ AR(+∞).

Стационарность и обратимость:

Ряд AR(p) стационарен, если все корни характеристического уравне-ния по модулю больше единицы.

Ряд MA(q) стационарен всегда, но обратим (представим в виде AR(p)), если все корни по модулю больше единицы.

тот, который удовлетворяет условию |θ | < 1.

помощью решения системы квадратичных уравнений

– гистограмма частных коэффициентов корре-ляции rчаст(τ).

Для AR(p) rчаст(τ) = 0 при τ > p, r(τ) экспоненциально убывает.
Для MA(q) r(τ) = 0 при τ > q, rчаст(τ) экспоненциально убывает.

Иллюстрация для модели AR(1)

rчаст(τ)

r (τ)

от будущих δt, но зависит от прошлых и текущих.

Идентификация модели: найти , и

Этап 1: нахождение α1,…,αp из системы линейных уравнений порядка p.

Подставляем выборочные значения r(k) и находим α1,…,αp.

нелинейных уравнений порядка q.

Умножаем (0) на (1), (2),…,(q), переходим к математическому ожиданию. Получаем систему из q квадратных уравнений с q неизвестными. Нахо-дим из нее θ1,…,θq.

Протиражируем соотношение (0) для t+1,…, t+q.

Замечание: удобно идентифицировать модель ARMA(p, 1), для q ≥ 2 ис-пользуются численные методы.

F_εt = εt–1.

ARMA(p, q):

Свойства:
1. F+⋅ F_ = 1, F+(F_εt) = F+εt–1 = εt.
2.
3.

Оператор «дельта»: Δ = 1 – F_:
Δεt = εt – εt–1.

на похожие множители кажется некорректным, можно использовать сум-му бесконечно убывающей геометрической прогрессии:

Часто множители не идентичны, но близки между собой:

– корни характеристического уравнения AR-модели,

zj (θ) – корни характеристического уравнения MA-модели.

Пример:

времени.

Лаг может быть распределенным – наблюдается распределенный во
времени эффект воздействия.

## Зависимость расходов населения y(t) от наблюдаемых доходов x(t).
θk – доля дохода, которая тратится через k периодов после получения.
Если наблюдаемый доход равен истинному, Σθk = 1, θk ∈ [0; 1]
Если наблюдаемый доход меньше истинного, Σθk > 1

## Инфляция негативно влияет на экономический рост не сразу, а спустя
некоторое время.

## Зависимость объемов основных фондов y(t) от инвестиций x(t).

во времени воздействия T.
2. Как правило, значение T достаточно велико.
3. Малое по сравнению с числом параметров модели число наблюдений.
4. Высокая степень корреляции между объясняющими переменными.

Решение проблемы – особая структура модели!

Общий случай – зависимость большого числа коэффициентов дистрибу-тивной лаговой модели θ0, θ1,…,θT от малого числа параметров α1,…, αm.

Частные случаи:
1. Экспоненциальное убывание силы воздействия – модель Койка.
2. Полиномиальная лаговая структура Ширли Алмон.

бесконечности.
Сила воздействия экспоненциально убывает.

Умножим исходную модель на λ и введем задержку на один период:

Вычтем второе неравенство из первого:

Итоговая модель:

Преимущества модели:
Бесконечное число параметров меняется на три: α, θ0, λ.
Исчезает проблема мультиколлинеарности.
Модель из дистрибутивно-лаговой превращается в авторегрессию.

пределе ра-вен бесконечности.
Коэффициенты представляют собой полиномы от малого числа пара-метров α1,…, αm.

α, α0,…,αm.

Итоговая модель: