Исследование устойчивости рынка ВРП методами Ляпунова. Лекция 6

модели мезоэкономической системы. Основной товар, производимый и реализуемый на рынке – валовой региональный продукт (ВРП).
Цель экономической системы – обеспечить спрос на ВРП и определенный уровень капитала, соответствующий ресурсам, технологиям.

Рис.1 – Саморегулирующийся рынок

Составные части рынка:
Т – рынок товара;
Р – рынок рабочей силы;
К – рынок капитала.

производство);
конкуренция и кооперация между предприятиями, фирмами;
свободное предпринимательство, основанное на знании законов функционирования и развития рынка.

Рынок – система самоорганизующаяся:
открытая;
нелинейная;
с кооперативным взаимодействием – обменом между собственниками товара и собственниками денег.

Механизм саморегулирования обусловлен наличием прямых и обратных связей между:
спросом и предложением в ценообразовании и производстве;
поставщиками и потребителями при обмене;
предприятиями, фирмами при конкуренции и кооперации.

и разработал методы расчета устойчивости движения систем.

Теорема: если для рынка ВРП, описываемого уравнениями стационарного движения с перекрестной эластичностью, можно найти знакоопределенную функцию S (Yi, Ye) ≥ 0, производная от
которой т.е. является знакопостоянной функцией противоположного знака, то движение устойчиво.

Yi, Ye – количество произведенного и реализованного ВРП за время t соответственно (параметры неравновесности).

Если S (Yi, Ye) ≥ 0, то условие устойчивости процесса:

функций;
методы Ляпунова – общепринятые средства анализа в точном естествознании и теоретической экономике;
экономический смысл условия (7) в том, что при поддержании достаточно высокой покупательной способности населения (IeXe) удается уменьшить экономическую энтропию.

Введем обозначения:

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

где Xe– цена спроса, Xi – цена предложения, Ie – спрос, Ii – предложение, тогда условие устойчивости процесса взаимодействия спроса и предложения на рынке ВРП :

капитала(долл.) – функция состояния;
W – объем основных фондов (долл.);
S – количество денег в обращении (руб.);
Yi – внутренняя переменная; количество ВРП, произведенного за время t (у.е.т.);
Ye – внешняя переменная; количество ВРП, реализованного за время t (у.е.т.).
S = S (Yi, Ye) – функция параметров неравновесности.

Для региона функция состояния:
C = C { S (Ye , Yi ), W, t } (8)

и экономический смысл величин:

– курс валюты;

– величина, равная приращению капитала, приходящегося на единицу приращения объема основных фондов;

– спрос;

– предложение;

– цена спроса;

– цена предложения;

– расходы, не связанные с производством.

X e и цены предложения Xi следует из соотношений:

X e – градиент капитала по внешней переменной неравновесия.

Xi – градиент капитала по внутренней переменной неравновесия.

система единиц измерения:
[Y] = у.е.т., [t] = мес., [К] = долл./руб., [C] = долл. [S] = руб. [X] = руб./у.е.т. [I] = у.е.т./мес., [σ]= руб./мес.

X e – цена спроса – это приращение капитала, приходящееся на единицу проданного ВРП с точностью до интегрирующего множителя.

X i – цена предложения – величина, равная убыли капитала при производстве единицы ВРП с точностью до интегрирующего множителя.

ВРП в неравновесном процессе обусловлено изменением количества денег в обращении S, изменением объема основных фондов W, а также сложившейся ситуацией на неравновесном рынке – игрой дохода КXeIe и издержек КXiIi+ Кσ.
Уравнение (19) может служить основой для анализа устойчивости рынка.

Ie = Ii = I0.
Капитал стационарного (гипотетического) состояния принимает минимальное значение C(t) = С0 (t) = С0.

Рис.7 – Спрос и предложение на ВРП в зависимости от цен Х (а) и стоимости капитала С (б).

стационарность.

В стационарном St состоянии:
прирост капитала минимален и его можно принять качестве исходного положения;
равновесие никогда не наступает, т.к. функции доходов (XeIe) и издержек (Хi Ii +σ) меняются во времени.

(19) и (21):

Изменение капитала:

по отношению к стационарному значению всегда положительно в силу принятого условия минимальности капитала в стационарном состоянии. Тогда стоимостное уравнение (скорость изменения капитала) имеет вид:

где – прирост капитала в единицу времени (прибыль).

Уравнения (19)-(23) используются в анализе эволюции рынка.

уравнениями с перекрестной эластичностью
можно найти знакоопределенную функцию
производная от которой
является знакопостоянной функцией противоположного знака с или тождественно равна нулю, то прирост капитала (получение прибыли)
будет неустойчивым по Ляпунову процессом.

(24)

(25)

(26)

Доказательство.
В соответствии с теоремой Ляпунова для устойчивых процессов:
если Λ = C(t) – C0 ≥ 0, а стационарное состояние (-IeXe + IiXi + σ) = 0 устойчиво (рис.3).

функция издержек:

(27), т.к.

(28)

Как при наличии спроса IeXe ≠ 0, так и его отсутствии IeXe = 0 издержки положительны IiXi + σ ≥ 0 (29). ⇒

Рис. 3 – Изменение капитала (а) и прибыли (б) со временем в устойчивом процессе.

Тогда прирост капитала (получение прибыли) IeXe > IiXi + σ
является неустойчивым процессом.

Временная эволюция в мезоэкономической системе при заданных постоянных граничных условиях (постоянной величине спроса) происходит так, что полные издержки в системе стремятся убывать и достигают минимального (положительного) значения в стационарном состоянии, т.е.

здесь

Рис. 5 – Изменение издержек со временем

– C0 > 0 функция капитала;
σe - функция спроса, σe > 0, σe < 0 ;
σi - функция предложения, σi > 0 .

Дифференцируя (31) получаем:

где т.к. σe = Const.

(вогнутая кривая на рис. 3).

– условие устойчивости процесса по Ляпунову;

Теорема И.Р. Пригожина:
выполняется и для σe ≠ Const, при малых скоростях изменения спроса
соответствует экономическому принципу минимизации издержек;
не выполняется для нелинейного рынка, имеющего несколько стационарных состояний.

Тогда из (33) получили (30) условие теоремы.

и

предложение и цены связаны уравнениями:

Решение уравнений (34) и (35) позволяет определить совместную точку (X*e , X*i):

в ее окрестности точки стремятся к ней.

В стационарном состоянии (Ie = Ii; Хe = Хi) условие устойчивости определяется:

рассмотрена устойчивость линейных процессов на рынке ВРП, когда минимальные издержки соответствуют максимально возможной прибыли.
Однако реально развитие осуществляется тогда, когда издержки (на новые технологии, технологические решения) растут.

Xi

Xe

Рис. 8 – Условие устойчивости для внешних Xe
и внутренних Xi рыночных сил.
На плоскости четыре области:
I – Xi ↑, Xe↑,
II – Xi ↑, Xe↓,
III – Xi ↓, Xe↓,
IV – Xi ↓, Xe↑.